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高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十七 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

2015-11-09  读新

专题十七 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

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1.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,lC交于AB两点,|AB|12PC的准线上一点,则△ABP的面积为(  ).                   

A18                                      B24 

C36                                      D48

答案: C [不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x.代入y22pxy±p,即|AB|2p,又|AB|12,故p6,所以抛学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!物线的准线方程为x=-3,故SABP×6×1236.][来源:Zxxk.Com]

2.设M(x0y0)为抛物线Cx28y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是(  )

A(0,2)                                   B[0,2]

C(2,+)                           D[2,+)

答案:C [x28y焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|MF|y02.F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2(y2)2(y0学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!2)2.

由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故4y02y02.]

3.若点O和点F(2,0)分别为双曲线-y21(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则O·F的取值范围为(  )

A[32,+)                  B[32,+)

C.                          D.

答案:B [如图,由c2a214a23

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双曲线方程为y21.

P(xy)(x)

O·F(xy)·(x2y)x22xy2

x22x1x22x1(x)

g(x)x22x1(x),则g(x)[,+)上单调递增.g(x)ming()32.O·F的取值范围为[32,+)]

4.定学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1yx2a到直线lyx的距离等于曲线C2x2(y4)22到直线lyx的距离,则实数a________.

解析 因曲线C2x2(y4)22到直线lyx的距离为 2 ,则曲线C1与直线l不能相交,即x2axx2ax0.

C1y学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!x2a上一点为(x0y0)

则点(x0y0)到直线l的距离d,所以a.

答案 

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本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.

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复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程()的方法,掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用,掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用,如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数,通过函数的最值研究几何中的最值.

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必备知识

有关弦长问题

有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1y1)P2(x2y2),则所得弦长|P1P2| |x2x1||P1P2||y2y1|,其中求|x2x1||y2y1|时通常使用韦达定理,即作如下变形:

|x2x1|

|y2y1| .

(2)弦的中点问题

有关弦的中点问题,应灵活运用点差法设而不求法来简化运算.

圆锥曲线中的最值

(1)椭圆中的最值

F1F2为椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,P为椭圆的任意一点,B为短轴的一个端点,O为坐标原点,则有

|OP|[ba]

|PF1|[acac]

|PF1|·|PF2|[b2a2]

④∠F1PF2F1BF2.

(2)双曲线中的最值

F1F2为双曲线-=1(a0b0)的左、右焦点,P为双曲线上的任一点,O为坐标原点,则有

|OP|a

|PF1|ca.

(3)抛物线中的最值

P为抛物线y22px(p0)上的任一点,F为焦点,则有

|PF|

A(mn)为一定点,则|PA||PF|有最小值.

必备方法

1定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.

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该类问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证明.难度较大.                

【例1】在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2(x5)2y29外,且对C1上任意一点MM到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

(1)求曲线C1的方程;

(2)P(x0y0)(y0±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点ABCD.证明:当P在直线x=-4上运动时,四点ABCD的纵坐标之积为定值.

[审题视点]  

 

[学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!课记录]

[审题学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解,或者转化为根据抛物线的定义求解均可;(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系,其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元,根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积,最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证.

(1)解 法一 M的坐标为(xy),由已知得|x2|3.

易知圆C2上的点位于直线x=-2的右侧,于是x20

所以x5.

化简得曲线C1的方程为y220x.

法二 由题设知,曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离.因此,曲线C1是以(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线.故其方程为y220x.

(2)证明 当点P在直线x=-4上运动时,P的坐标为(4y0),又y0±3,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为yy0k(x4),即kxyy04k0.于是3.

整理得72k218y0ky90.

设过P所作的两条切线PAPC的斜率分别为k1k2,则k1k2是方程的两个实根,故k1k2=-=-.

k1y220y20(y04k1)0.

设四点ABCD的纵坐标分别为y1y2y3y4,则y1y2是方程的两个实根,所以y1y2.

同理可得y3y4.

于是由三式得

y1y2y3y4

6 400.

所以,当P在直线x=-4上运动时,四点ABCD的纵坐标之积为定值6 400.

学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯! 解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.

【突破训练1 设抛物线Cy24xFC的焦点,过F的直线LC相交于AB两点.

(1)L的斜率为1,求|AB|的大小;

(2)求证:·是一个定值.

(1)解 F(1,0),∴直线L的方程为yx1

A(x1y1)B(x2y2),由学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!x26x10

x1x26x1x21.

|AB|

·

·8.学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!

(2)证明 设直线L的方程为xky1

由得y24ky40.

y1y24ky1y2=-4,=(x1y1),=(x2y2)

O·x1x2y1y2

(ky11)(ky21)y1y2

k2y1y2k(y1y2)1y1y2

=-4k24k214=-3.

·是一个定值.

该类试题设计巧妙、命制新颖别致,常求特定量、特定式子的最值或范围.常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇,成为近年高考热点.                   

【例2】如图,椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线lC相交于AB两点,且线段AB被直线OP平分.

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学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!(1)求椭圆C的方程;

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.

[审题视点]  

 

[听课记录][来源:Zxxk.Com]

[审题视点] (1)利用椭圆的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为求解.

(2)由题意可知直线l的斜率存在,设为ykxm,结合椭圆方程,线段AB被直线OP平分可求k值.然后以AB为底,点P到直线AB的距离为高表示出SABP的表达式,借助导数求最值.[来源:学科网]

解 (1)设椭圆左焦点为F(c,0),则由题意得

所以椭圆方程为+=1.

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(2)A(x1y1)B(x2y2),线段AB的中点为M.

当直线ABx轴垂直时,直线AB的方程为x0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB的方程为ykxm(m0)

由消去y,整理得

(34k2)x28kmx4m2120(1)

Δ64k2m24(34k2)(4m212)0

所以线段AB的中点M.

因为M在直线OPyx上,所以=.

m0(舍去)k=-.

此时方程(1)3x23mxm230,则

Δ3(12m2)0

所以|AB|·|x1x2|·.

设点P到直线AB距离为d,则

d==.

设△ABP的面积为S,则

S|ABd·.

其中m(2 0)(0,2 )

u(m)(12m2)(m4)2m[2 2 ]

u(m)=-4(m4)(m22m6)

=-4(m4)(m1)(m1)

所以当且仅当m1-,u(m)取到最大值.

故当且仅当m1-,S取到最大值.

综上,所求直线l方程为3x2y2 20.

学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯! 求最值或范围常见的解法:(1)几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用图形性质来解决;(2)代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求最值;(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等.

【突破训练2】已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2P为双曲线右支上一点,则·的最小值为(  ).            学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!       

A.-2  B.-  C1  D0

答案: A [由已知得A1(1,0)F2(2,0).设P(xy)(x1),则·(1x,-y)·(2x,-y)4x2x5.f(x)4x2x5,则f(x)[1,+)上单调递增,所以当x1时,函数f(x)取最小值,即·取最小值,最小值为-2.]


此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,探究平分面积的线、平分线段的线,或探究等式成立的参数值.常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合,形成知识的交汇.                   

【例3】如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,且=2.

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(1)求该椭圆的标准方程;

(2)设动点P满足:=+2,其中MN是椭圆上的点,直线OMON的斜学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!率之积为-.问:是否存在两个定点F1F2,使得|PF1||PF2|为定值?若存在,求F1F2的坐标;若不存在,说明理由.

[审题视点]  

 

[听课记录]

[审题视点] (1)利用e2ac.

(2)P(xy)M(x1y1)N(x2y2),由2可得xx12x2yy12y2,又点MN在椭圆x22y24上,可得x2y4x2y4,再结合直线OMON的斜率之积为-.可求得点P满足方程x22y220.由椭圆的定义可求解.

 (1)e==,=2,解得a2c=,b2a2c22,故椭圆的标准方程为+=1.

(2)P(xy)M(x1y1)N(x2y2),则由=+2,得(xy)(x1y1)2(x2y2)(x12x2y12y2)

xx12x2yy12y2.因为点MN在椭圆x22y24上,

所以x2y4x2y4

x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)

(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)

204(x1x22y1y2)

kOMkON分别为直线OMON的斜率,由题设条件知

kOM·kON==-,因此x1x22y1y20

所以x22y220.

所以P点是椭圆+=1上的点,设该椭圆的左、右焦点为F1F2,则由椭圆的定义|PF1||PF2|为定值,又因c==,因此两焦点的坐标为F1(-,0)F2(0)

学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯! 探究是否存在的问题,一般均是先假设存在,然后寻找理由去确定结论,如果真的存在,则能得出相应结论,如果不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论.[来源:..Z.X.X.K]

【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中,经过点(0)且斜率为k的直线l与椭圆+y21有两个不同的交点PQ.

(1)k的取值范围;

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.

解 (1)由已知,得直线l的方程为ykx+,

代入椭圆方程,得+(kx)21

整理,得x22kx10,①

直线l与椭圆有两个不同的交点PQ等价于

Δ8k24×4k220

解得k<-或k>,

k的取值范围为∪.

(2)P(x1y1)Q(x2y2)

由方程①,得x1x2=-,②

y1y2k(x1x2)2.

A(0)B(0,1),=(-,1)

所以+与共线等价于

x1x2=-(y1y2)

将②③代入上式,解得k=,

(1)k<-或k>,故没有符合题意的常数k.

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圆锥曲线有应得

椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活,学生时常感到无从下手.常遇到面积最大最小问题,距离的最长最短问题,不定量的最大最小问题等等,下面给同学们提供两种解法,只要掌握了它们,就可以有应得.

一、几何法求最值

【示例1? 抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上,过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于AB两点,且满足+=(4,-12)

(1)求直线l和抛物线的方程;

(2)当抛物线上一动点P从点A学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!动到点B时,求△ABP面积的最大值.

[满分解答] (1)根据题意可设直线l的方程为ykx2,抛物线方程为x2=-2py(p0)

x22pkx4p0.(2)

设点A(x1y1)B(x2y2),则x1x2=-2pky1y2k(x1x2)4=-2pk24.

所以(4,-12),所以

解得故直线l的方程为y2x2,抛物线方程为x2=-2y.(6)

(2)P(x0y0),依题意,知当抛物线过点P的切线与l平行时,ABP的面积最大.

y=-x2求导,得y=-x,所以-x02,即x0=-2y0=-x=-2,即P(2,-2)

此时点P到直线l的距离

d.(9)

x24x40

x1x2=-4x1x2=-4

|AB| ·

·

4 .

于是,ABP面积的最大值为

×4 ×8 .(12)

老师叮咛当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时,可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线,则两条平行线间的距离,就是所求的最值,切点就是曲线上取得最值的点,这种求最值的方法称为切线法.

切线法的基本思想是数形结合,其中求曲线的切线方程需要利用导数知识,判断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性,通过图形来确定何时取得最大值,何时取得最小值.

二、函数法求最值

【示例2】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率e ,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)在椭圆C上,是否存在点M(mn),使得直线lmxny1与圆Ox2y21相交于不同的两点AB,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

[满分解答] (1)e ,得ab

椭圆C1,即x23y23b2

P(xy)C上任意一点,

|PQ| [来源:||Z|X|X|K]

byb.

b1,则-b>-1,当y=-b时,|PQ|max 3,又b0,得b1(舍去)

b1,则-b1,当y=-1时,|PQ|max 3,得b1.

椭圆C的方程为y21.(6)

(2)法一 假设存在这样的点M(mn)满足题意,则有n21,即n21,-m.由题意可得SAOB|OA|·|OB|sinAOBsinAOB

AOB90°时取等号,这时AOB学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!为等腰直角三角形,

此时圆心(0,0)到直线mxny1的距离为

,得m2n22,又n21,解得m2n2,即存点M的坐标为满足题意,且AOB的最大面积为.(12)

 

法二 假设存在这样的点M(mn)满足题意,则有n21,即n21,-m

又设A(x1y1)B(x2y2),由,消去y(m2n2)x22mx1n20

n21代入整理得(32m2)x26mxm20

Δ8m2(3m2)0

SAOB|OA|·|OB|sinAOBsinAOB

AOB90°SAOB取得最大值

此时·x1x2y1y20,又y1y2·

x1x20

33m(x1x2)(32m2x1x20

代入上式整理得2m49m290

解得m2m23(舍去)

m±n± ±

M学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的坐标为,使得SAOB取得最大值.(12)

老师叮咛当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时,我们常常先建立对应的函数关系式,然后利用函数方法求出对应的最值,称这种方法为函数法,这是解析几何问题中求最值的常用方法.函数法是研究数学问题的一种最重要的方法,用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时,除了重视建立函数关系式这个关键点外,还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围,这些限制范围恰好制约了最值的取得,因此在解题时要予以高度关注.                   

【试一试】 抛物线y=-x2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是(  )

A.  B.  C.  D3

答案: A [可知过抛物线点的切线与直线4x3y80平行时,所求的距离最小,y=-2x.令-2x=-,解得x,从而切点坐标为,切线方程为y=-,即4x3y0,由两平行线间距离公式,得点到直线的距离的最小值为d.故选A.]

 

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