Gothedistance
必修一
第一章集合与函数
一、集合
1.集合的表示法
(1)列举法.如{1,2},{(1,2)}.
(2)描述法.一般形式是{x∈A|p(x)},其中p(x)表示x所满足的条件,“∈A”也可写在
“|”后面,当A为实数集R时可省略“∈R”.有时“|”也可省略,如{三角形}.
(3)文氏图法.
(4)特定集合的表示.整数集Z,自然数集N,正整数集N*,有理数集Q,实数集R,
复数集C,空集:?.
说明:要注意这些字母印刷字体的不同表示的集合意义不同.如C表示复数集,而C则
aM?).
(2)集合与集合:如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作
A?B或B?A.
若集合A是集合B的子集,且A中至少有一个元素不属于B,则称A是B的真子集,
记作AB或BA.
注:(1)规定?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(2)n个元素的集合共有2n个子集(包括空集及自身).
3.集合的运算
(1)交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
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(2)并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:CUA={x|x∈U,且x?A}.
补充:用图形表示集合及其运算是重要内容,请同学们注意图中各
部分的表示方法.
图中左圆表示A,右圆表示B,矩形表示U,则Ⅰ=A∩CUB,
Ⅱ=A∩B,Ⅲ=CUA∩B,Ⅳ=CU(A∪B)=CUA∩CUB,Ⅰ+Ⅲ+Ⅳ=CU(A∩B)=CUA∪B.
二、函数
1.函数的概念
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个
数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B
的一个函数,记作
∈N)要求f(x)≠0,….
注意:求定义域时不能先变形!如1
111xyxx????
,变形前后x值范围不同.
(2)人为规定的定义域:
如函数y=x2(x<0),定义域为{x|x<0}而非R.
(3)由实际意义限定的定义域:
自变量有实际意义时,还要考虑其实际意义.如圆的面积S=πr2,其定义域为{r|r>0}而
不是R.
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4.值域
(1)求值域的常用方法
①单调性法.如果f(x)在[a,b]上单调递增,则其值域为[f(a),f(b)];如果f(x)在[a,
b]上单调递减,则其值域为[f(b),f(a)].如1yxx???
②换元法.通过换元转化为其他函数.如1yxx???可设1tx??化为y=-t2+t+1(t
≥0),21yxx???可设x=cosθ(0≤θ≤π)化为y=sinθ+cosθ.
③判别式法.如2111
2222axbxcyaxbxc???
,其中1a,2a不全为0,且分子分母无非常数公因
式.
④转化法.通过换元、变形等转化成已知定义域的函数.如求
222248yxxxx??????的最小值.
⑤不等式法:见必修5.
⑨f(x)=ax2+bx+c(a>0,x∈[m,n]):设
02bxa??
,
1°当x0≤m时,值域为[f(m),f(n)];
2°当
02mnmx???
时,值域为[f(x0),f(n)];
3°当
02mnxn???
时,值域为[f(x0),f(m)];
4°当x0≥n时,值域为[f(n),f(m)].
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说明:①这4种情况可结合图象记忆,不需死记.②若只求最大值则可分x0 两种情况,若只求最小值则可分x0m三种情况,若最大值和最小值都求
则分四种情况.③a<0时可仿照上面的原理.
5.函数的单调性
(1)概念:设D是函数f(x)定义域内的一个区间.
?x1,x2∈D,x1 ?x1,x2∈D,x1f(x2),则f(x)是D上的减函数.
(2)单调函数图象的特点
增函数的图象随x增大而上升,减函数的图象随x增大而下降.
(3)单调函数的判定及证明
①定义法:?x1,x2∈D,x1 的符号,变形时往往是因式分解或配方.
②导数法:见选修.
(4)几个常用函数的单调性
②-增=减,-减=增;
③增—减=增,减—增=减,增—增=不定,减—减=不定;
(6)复合函数的单调性
①定义:设y=f(t),t=g(x),则函数y=f(g(x))叫做复合函数.
②单调性口诀:同增异减.
解释:两个函数单调性相同时,复合函数为增函数;两个函数单调性相反时,复合函数
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为减函数.如g(x)在[a,b]上单调增,f(t)在[g(a),g(b)]上单调减,则f(g(x))在[a,b]
上单调减.
6.函数的奇偶性
(1)定义
设f(x)定义域为D,?x∈D,若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)
为奇函数.
(2)图象的特点
奇函数的图象关于原点成中心对称,偶函数的图象关于y轴成轴对称.
(3)判定
先看定义域是否关于原点对称.若定义域关于原点对称,再求f(-x),看是否满足定义中
的等式.
注:f(x)为奇函数时,若f(0)有意义,则必有f(0)=0.
(4)运算
奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇±偶=非奇非偶;
奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
7.函数的图象
①关于x=m对称:满足f(2m-x)=f(x)或f(m+x)=f(m-x),注意(2m-x)+x=(m+x)+(m-x)=2m.
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②关于点(m,n)对称:满足f(2m-x)=2n-f(x).
说明:①一般地,若f(x+a)=f(b-x),则f(x)的图象有对称轴
2abx??
;若f(x+a)=f(x+b),
则f(x)的周期为|b-a|.②任何函数的图象都不可能关于直线y=n对称.
第二章基本初等函数
一、指数函数
1.指数及其运算
(,Z,2)mnmnaamnn???
1(R)ppapa???
,,nnanaan???
???
ap·aq=ap+q(以下a,b>0,p,q∈R)
ap÷aq=ap-q
(ap)q=apq
(a·b)p=ap·bp
(a÷b)p=ap÷bp
2.指数函数
(1)定义:y=ax(a>0,a≠1)
(2)图象:
③图象过定点:(0,1)
④单调性:a>1时,在R上是增函数,0<a<1时,在R上是减函数.
为奇数时
为偶数时
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二、对数函数
1.对数及其运算
(1)定义
ab=N?logaN=b(a>0,a≠1,N>0)
常用对数:lgN=log10N
自然对数:lnN=logeN,其中e=2.71828…是无理数常数.
(2)性质
①loga1=0,②logaa=1,③logaap=p,
④负数和零没有对数.
(3)运算法则
loga(M×N)=logaM+logaN
loga(M÷N)=logaM-logaN
logaNp=plogaN
(4)换底公式:loglog
logcacbba?
,其中a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0.
2.对数函数
(1)定义:y=logax(a>0,a≠1)
(2)图象:
(3)性质:
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(3)性质:
函数y=xy=x2y=x312yx?y=x-1
定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}
值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性R增
(-∞,0]减
[0,+∞)增
R增[0,+∞)增
(-∞,0)减
(0,+∞)减
定点n>0时,都过(0,0)和(1,1),n<0时,都过(1,1)
第三章函数的应用
一、函数与方程
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②条件成立时,零点不一定是唯一的.
3.二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法
叫做二分法.
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1°确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
2°求区间(a,b)的中点x1;
3°计算f(x1),若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零
点x0∈(a,x1));若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).
4°判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复2°—4°.
注:①当区间长度小于精度ε时,区间上任何一个数都可以做为零点的近似值,而并非
一定是a(或b);②经过n次对分后区间长度为2
nba?
,由
2nba???
可以估计对分区间的
次数.
二、函数模型及其应用
1.几种常见函数模型
线性函数:y=ax+b(a≠0)
反比例函数:(0)kyk
x??
指数型函数:y=a·bx+c
设f(x)=ax2+bx+c(a>0)的两根为x1,x2,
02bxa??
,m Gothedistance
①1xm?,0
20
,
()0,
()0.
xm
xmfx
fm
???
?????
??
②x1 ③1xm?,0
20
,
()0,
()0.
xm
xmfx
fm
???
?????
??
④
12()0,()0.fmxmxnfn?????????
解掌握,不要死记;②为帮助记忆,可认为a>0时,有f(+∞)>0,f(-∞)>0,例如当f(m)<0
时,函数在f(-∞)·f(m)<0,故在(-∞,m)上有一根.
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