广东梅县东山中学2009至2010年度上学期
高三年级理科数学期末试题
命题人：古苑苑王洪新审题人：郭伟
2010、2、5
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.已知全集，集合，，那么集合等于（）
A． B．
C． D．
2.若等差数列的前5项和，且，则（）
A．12B．13C．14D．15
3.已知，则=()
A．B．C．D．
4.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时
的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时
至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为()
A.万元B.万元
C.万元D.万元
5.已知是实数，则函数的图象不可能是（）
6.已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为（）
A．恒为正值 B．等于 C．恒为负值 D．不大于
7.已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为，向区域上随机投一点A，点A落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
8.定义在R上的偶函数满足上是增函数，下列五个关于的命题中
①是周期函数； ②的图象关于对称；
③在［0，1］上是增函数 ④在［1，2］上是减函数；
⑤
正确命题的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题5分，共30分）
9.已知A（－4，0），B（2，0），以AB为直径的圆与轴的负半轴交于C，则过C点的圆的切线方程为．
10.若的展开式中的系数是80，则实数的值是.
11.若d=1(>0),则实数的值是.
12.在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．
13.设若时，恒成立，则实数的取值范围是．
14.将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使之满足条件：（1）每一个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；（2）0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，－1）点，5在（0，—1）点，6在（－1，－1）点，……，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则“放置”数字的整点坐标为．
三、解答题（共80分）
15．（本题满分1２分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若△ABC的面积是，求的值.
16．（本小题满分1分）
A=，
其中A的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为.
记，当程序运行一次时
（I）求的概率；
（II）求的分布列和数学期望.
１7.（本小题满分分）的导数为实数，.
（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数．
18．(本题满分14分)
已知斜率为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．
（I）求椭圆的方程；
（II）若已知点，点是椭圆上不重合的两点，且，
求实数的取值范围．
19．（本小题满分14分）
已知函数
（I）当时,求函数的最小值;
（II）当时,记函数的最小值为,若,试确定实数的取值范围.
20．（本小题满分分）已知正项数列的前项和为，且函数在的切线的斜率为I）求数列的通项公式；II）求证:是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 19.（14分）
20.（14分）
广东梅县东山中学2009至2010年度上学期
高三年级理科数学期末试题参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C D A D C
二、填空题（本答题共6小题，每小题5分，共30分）
9．10．
11．12．
13．14．．
三、解答题（本答题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：利用正弦定理，得
sin（B+C）=4sinAcosA,即sinA=4cosAsinA,
所以cosA=.……………………（６分）
（Ⅱ）解：由（I），得
sinA=,
由题意,得bcsinA＝,
所以bc=8,因此2.…………………（1２分）
16．（本题满分12分）
解：（I）已知，只须后四位数字中出现2个0和2个1.
…………4分
（II）的取值可以是1，2，3，4，5，.
…………8分
的分布列是
1 2 3 4 5 P …………10分
…………12分
（另解：记
.）
17．（本小题满分14分）
解:解（Ⅰ）由已知得，
由，得，．∵，，
∴当时，，递增；
当时，，递减．
∴在区间上的最大值为，∴．……………………………2分
又，，∴．
，即，得．
故，为所求．………………………………4分
（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．
⑴当切点为时，切线的斜率，
∴的方程为，即．………………………………5分
⑵当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，
∴的方程为．
又点在上，∴，
∴，
∴，
∴，即，∴．∴切线的方程为．…7分
故所求切线的方程为或．………………………………8分
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意．）
（Ⅲ）解：．
∴
．………………………………9分
二次函数的判别式为
，
令，得：
令，得………………………………11分
∵，，
∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；…13分
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．………………………………14分
18.
解：（1）∵直线的斜率为，又∵直线过点
∴直线的方程为
∵，∴椭圆的焦点为直线与轴的交点∴椭圆的焦点为
∴，又∵∴，∴
∴椭圆方程为……………4分
（2）设直线MN的方程为
由，得
……………6分
设坐标分别为
则(1)(2)…………………8分
＞0
∴,………………9分
∵，显然，且
∴
∴
代入(1)(2)，得
………………11分
∵,得
，
即
解得且.…………１４分
19.解：（1）当，
（当且仅当时取等号）.
时，的最小值为……４分
（2）当时，
………………６分
记，则
………………８分
①当时，即时，
当时，的最小值
由，得，解得………………１０分
②当时，即时，
当时，的最小值
，即
恒成立.………………１２分
由①，②可知，当时，的取值范围为………………１４分
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