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专题一第4讲 |
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Gothedistance
第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题
一、选择题
1.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为()
A.y=2x+1B.y=2x-1
C.y=-2x-3D.y=-2x-2
解析易知点(-1,-1)在曲线上,且y′=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,
所以切线斜率k=y′|x=-1=21=2.
由点斜式得切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
答案A
2.(2015·太原模拟)若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有
公切线,则a+b的值为()
A.-1B.0C.1D.2
解析∵f′(x)=-asinx,∴f′(0)=0.又g′(x)=2x+b,∴g′(0)=b,∴b=0.
又g(0)=1=m,∴f(0)=a=m=1,∴a+b=1.
答案C
3.(2015·邯郸模拟)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a
+b的值为()
A.2B.-1C.1D.-2
解析∵y′=3x2+a.∴y′|x=1=3+a=k,又3=k+1,∴k=2,∴a=-1.
又3=1+a+b,∴b=3,∴2a+b=-2+3=1.
答案C
4.(2015·武汉模拟)曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线与直线x+ay=1垂直,则实
数a的值为()
A.2B.-2C.12D.-12
解析依题意得y′=1+lnx,y′|x=e=1+lne=2,
所以-1a×2=-1,a=2,故选A.
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答案A
5.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x
-2的零点为b,则下列不等式中成立的是()
A.f(a)<f(1)<f(b)B.f(a)<f(b)<f(1)
C.f(1)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(1)<f(a)
解析由题意,知f′(x)=ex+1>0恒成立,所以函数f(x)在R上是单调递增的,
而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,
所以函数f(x)的零点a∈(0,1);由题意,知g′(x)=1x+1>0,
所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,
所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.
因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).
答案A
二、填空题
6.已知f(x)=x3+f′??????23x2-x,则f(x)的图象在点??????23,f??????23处的切线斜率是
________.
解析f′(x)=3x2+2f′??????23x-1,令x=23,可得f′??????23=3×??????23
2
+2f′??????23×23-1,
解得f′??????23=-1,所以f(x)的图象在点??????23,f??????23处的切线斜率是-1.
答案-1
7.(2015·成都模拟)关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a
的取值范围是________.
解析由题意知使函数f(x)=x3-3x2-a的极大值大于0且极小值小于0即可,
又f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0,得x1=0,x2=2.当x<0时,f′(x)>0;
当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,所以当x=0时,f(x)取得极大
值,即f(x)极大值=f(0)=-a;当x=2时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值=f(2)=-4
-a,所以???-a>0,-4-a<0,解得-4<a<0.
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答案(-4,0)
8.(2015·安徽卷)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三
次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a
=1,b=2.
解析令f(x)=x3+ax+b,f′(x)=3x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,
必有一个实根,④⑤正确;当a<0时,由于选项当中a=-3,∴只考虑a=
-3这一种情况,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∴f(x)极大=f(-1)=-1+3+b
=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要使f(x)=0仅有一个实根,则而f(x)极
大<0或f(x)极小>0,∴b<-2或b>2,①③正确,所有正确条件为①③④⑤.
答案①③④⑤
三、解答题
9.已知曲线C:y=eax.
(1)若曲线C在点(0,1)处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;
(2)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.
解(1)y′=aeax,因为曲线C在点(0,1)处的切线为y=2x+m,
所以1=2×0+m且y′|x=0=2,解得m=1,a=2.
(2)法一对于任意实数a,曲线C总在直线y=ax+b的上方,等价于x,a∈R,
都有eax>ax+b,
即x,a∈R,eax-ax-b>0恒成立.令g(x)=eax-ax-b,
①若a=0,则g(x)=1-b,所以实数b的取值范围是b<1;
②若a≠0,g′(x)=a(eax-1),由g′(x)=0得x=0,
g′(x),g(x)的变化情况如下:
x(-∞,0)0(0,+∞)
g′(x)-0+
g(x)极小值
所以g(x)的最小值为g(0)=1-b,所以实数b的取值范围是b<1.
综上,实数b的取值范围是b<1.
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法二对于任意实数a,曲线C总在直线y=ax+b的上方,等价于x,a∈R,
都有eax>ax+b,即x,a∈R,b<eax-ax恒成立.
令t=ax,则等价于t∈R,b<et-t恒成立.
令g(t)=et-t,则g′(t)=et-1.由g′(t)=0得t=0,
g′(t),g(t)的变化情况如下:
t(-∞,0)0(0,+∞)
g′(t)-0+
g(t)极小值
所以g(t)=et-t的最小值为g(0)=1,
所以实数b的取值范围是b<1.
10.(2015·济南模拟)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在??????1e,e上有两个零点,求实数m的取值范围.
解(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,
f′(x)=2x-2x+2,切点坐标为(1,1),
切线的斜率k=f′(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g′(x)=2x-2x=-2(x+1)(x-1)x.
因为x∈??????1e,e,所以当g′(x)=0时,x=1.
当1e<x<1时,g′(x)>0;当1<x<e时,g′(x)<0.
故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g??????1e=m-2-1e2,g(e)=m+2-e2,
g(e)-g??????1e=4-e2+1e2<0,则g(e)<g??????1e,所以g(x)在??????1e,e上的最小值是g(e).
g(x)在??????1e,e上有两个零点的条件是
??
??
?g(1)=m-1>0,
g??????1e=m-2-1e2≤0,解得1<m≤2+
1
e2,
所以实数m的取值范围是??????1,2+1e2.
11.(2015·江苏卷)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
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(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,
a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪??????1,32∪??????32,+∞,求c的值.
解(1)f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-2a3.
当a=0时,因为f′(x)=3x2≥0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,x∈??????-∞,-2a3∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈??????-2a3,0时,
f′(x)<0,所以函数f(x)在??????-∞,-2a3,(0,+∞)上单调递增,
在??????-2a3,0上单调递减;
当a<0时,x∈(-∞,0)∪??????-2a3,+∞时,f′(x)>0,x∈??????0,-2a3时,
f′(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0),??????-2a3,+∞上单调递增,
在??????0,-2a3上单调递减.
(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f??????-2a3=427a3+b,
则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f??????-2a3=b??????427a3+b<0,
从而
??
??
?a>0,
-427a3<b<0或???
??a<0,
0<b<-427a3.
又b=c-a,所以当a>0时,427a3-a+c>0或当a<0时,427a3-a+c<0.
设g(a)=427a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是
(-∞,-3)∪??????1,32∪??????32,+∞,
则在(-∞,-3)上g(a)<0,且在??????1,32∪??????32,+∞上g(a)>0均恒成立.
从而g(-3)=c-1≤0,且g??????32=c-1≥0,因此c=1.
此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],
因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,
所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,
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且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪??????1,32∪??????32,+∞.
综上c=1.
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