Gothedistance
第2讲直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1.(2015·晋城模拟)若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|
＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()
A.12B.14C.16D.18
解析由题意知抛物线的焦点为F??????12，0，AB垂直于x轴，设与抛物线的一个
交点A(x0，2)，代入抛物线方程可解得x0＝1，即AB直线方程为x＝1，所以
焦点F到直线AB的距离为12.
答案A
2.已知A，B，P是双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，
若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝23，则该双曲线的离心率为()
A.52B.62C.2D.153
解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双
曲线上，所以
??
??
?x21a2－y21b2＝1，
x22
a2－
y22
b2＝1，
两式相减，得kPAkPB＝b
2
a2＝
2
3，
所以e2＝a
2＋b2
a2＝
5
3，故e＝
15
3.
答案D
3.(2015·四川卷)过双曲线x2－y
2
3＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线
的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()
A.433B.23C.6D.43
解析焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－y
2
3＝0，
将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±23，∴|AB|＝23－(－23)＝43.
选D.
Gothedistance
答案D
4.(2015·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)有相
同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()
A.5＋12B.2＋1
C.3＋1D.22＋12
解析依题意，得F(p，0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以
y＝2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以p
2
a2－
4p2
b2＝1.又因为c＝p，所以
c2
a2
－4c
2
c2－a2＝1，化简，得c
4－6a2c2＋a4＝0，即
??
?
??
?c
a
4
－6??????ca
2
＋1＝0.所以e2＝3＋
22，e＝2＋1.
答案B
二、填空题
5.已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N
两点，则弦|MN|的长为________.
解析由???y＝2（x－1），8x2＋9y2＝72，得11x2－18x－9＝0.
由根与系数的关系，得xM＋xN＝1811，xM·xN＝－911.
由弦长公式|MN|＝1＋k2|xM－xN|＝5·??????1811
2
＋4×911＝3600112＝6011.
答案6011
6.(2015·南阳模拟)直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的
横坐标为2，则k的值是________.
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由???y＝kx－2，y2＝8x，
消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
Gothedistance
由题意得
??
??
?Δ＝[－4（k＋2）]2－4×k2×4＞0，
x1＋x2＝4（k＋2）k2＝2×2，
∴???
k＞－1，
k＝－1或k＝2，即k＝2.
答案2
7.过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，
若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
??
??
?x21a2＋y21b2＝1，
x22
a2＋
y22
b2＝1，
∴（x1－x2）（x1＋x2）a2＋（y1－y2）（y1＋y2）b2＝0，
∴y1－y2x
1－x2
＝－b
2
a2·
x1＋x2
y1＋y2.
∵y1－y2x
1－x2
＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－b
2
a2＝－
1
2，∴a
2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ca＝22.
答案22
8.(2015·郑州模拟)已知点A(－2，0)，B(2，0)，过点A作直线l与以A，B为焦
点的椭圆交于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与圆
x2＋y2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________.
解析根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，①
由题意设椭圆方程为x
2
a2＋
y2
a2－4＝1(a
2＞4)，②
由直线l与圆x2＋y2＝1相切，得|2k|1＋k2＝1，解得k2＝13.将①代入②，得(a2－
3)x2＋a2x－34a4＋4a2＝0，设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，由
Gothedistance
根与系数的关系，得x1＋x2＝－a
2
a2－3，又线段MN的中点到y轴的距离为
4
5，
所以|x1＋x2|＝85，即－a
2
a2－3＝－
8
5，解得a
2＝8.所以该椭圆的标准方程为x
2
8＋
y2
4＝1.
答案x
2
8＋
y2
4＝1
三、解答题
9.(2015·陕西卷)已知椭圆E：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为
c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A，B两
点，求椭圆E的方程.
解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝bcb2＋c2＝bca，
由d＝12c，得a＝2b＝2a2－c2，解得离心率ca＝32.
(2)法一由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝10，
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k
＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k（2k＋1）1＋4k2，x1x2＝4（2k＋1）
2－4b2
1＋4k2，
由x1＋x2＝－4，得－8k（2k＋1）1＋4k2＝－4，解得k＝12，
从而x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝1＋??????12
2
|x1－x2|
＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2），
Gothedistance
由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3，
故椭圆E的方程为x
2
12＋
y2
3＝1.
法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＋4y21＝4b2，x22＋4y22＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝y1－y2x
1－x2
＝12，
因此直线AB的方程为y＝12(x＋2)＋1，
代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝1＋??????12
2
|x1－x2|
＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2）.
由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3，
故椭圆E的方程为x
2
12＋
y2
3＝1.
10.(2015·北京卷)已知椭圆C：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
2，点P(0，1)和
点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上
是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，
说明理由.
解(1)由题意得
??
??
?b＝1，
c
a＝
2
2，
a2＝b2＋c2
解得a2＝2，
Gothedistance
故椭圆C的方程为x
2
2＋y
2＝1.
设M(xM，0).因为m≠0，所以－1＜n＜1.
直线PA的方程为y－1＝n－1mx.
所以xM＝m1－n，即M??????m1－n，0.
(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n).
设N(xN，0)，则xN＝m1＋n.
“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得|OM||OQ|
＝|OQ||ON|”，
即yQ满足y2Q＝|xM||xN|.
因为xM＝m1－n，xN＝m1＋n，m
2
2＋n
2＝1.
所以y2Q＝|xM||xN|＝m
2
1－n2＝2.
所以yQ＝2或yQ＝－2.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，2)或(0，
－2).
11.(2015·福建卷)已知椭圆E：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)过点(0，2)，
且离心率e＝22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断
点G??????－94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明
理由.
解法一(1)由已知得，
??
??
?b＝2，
c
a＝
2
2，
a2＝b2＋c2.
解得
?
?
?a＝2，
b＝2，
c＝2.
Gothedistance
所以椭圆E的方程为x
2
4＋
y2
2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0).
??
??
?x＝my－1，
x2
4＋
y2
2＝1
得(m2＋2)y2－2my－3＝0.
所以y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－3m2＋2，
从而y0＝mm2＋2.
所以|GH|2＝??????x0＋94
2
＋y20＝??????my0＋54
2
＋y20＝(m2＋1)y20＋52my0＋2516.
|AB|2
4＝
（x1－x2）2＋（y1－y2）2
4
＝（1＋m
2）（y1－y2）2
4
＝（1＋m
2）[（y1＋y2）2－4y1y2]
4
＝(1＋m2)(y20－y1y2)，
故|GH|2－|AB|
2
4＝
5
2my0＋(1＋m
2)y1y2＋25
16
＝5m
2
2（m2＋2）－
3（1＋m2）
m2＋2＋
25
16
＝17m
2＋2
16（m2＋2）＞0，
所以|GH|＞|AB|2.
故点G??????－94，0在以AB为直径的圆外.
法二(1)同法一.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则GA→＝??????x1＋94，y1，GB→＝??????x2＋94，y2.
由
??
??
?x＝my－1，
x2
4＋
y2
2＝1
得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
Gothedistance
所以y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－3m2＋2，
从而GA→·GB→＝??????x1＋94??????x2＋94＋y1y2
＝??????my1＋54??????my2＋54＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋54m(y1＋y2)＋2516
＝－3（m
2＋1）
m2＋2＋
5
2m
2
m2＋2＋
25
16
＝17m
2＋2
16（m2＋2）＞0，
所以cos〈GA→，GB→〉＞0.
又GA→，GB→不共线，所以∠AGB为锐角.
故点G??????－94，0在以AB为直径的圆外.
|
|
