问题：问题：设 x,y,z 为整数, 且 16|(3x+y-7z),16|(6x-4y+z). 求证: 16|(4x-2y-17z)m(3x+y-14t)+n(6x-4y+2t)=4x-2y-2t+16k.比较对应系数知 3m+6n=4+16k1, m-4n=-2+16k2, -14m+2n=-2+16k3 即可。前两方程解得m=2,n=5. 代入第三方程检验合格。于是得 2(3x+y-7z)+5(6x-4y+z)-(4x-2y-z)=32x+16y-8z当x,y为整数且z为偶数时被16整除。此题不可能也不需要三个多项式线性相关，只要它们在模16的同余类中线性相关。也就是说，不是要求前两个多项式的线性组合等于第三个，而是前两个的线性组合与第三个之差被16整除。比如有三个数a，b，c
如果存在不全为0的三个数m，n，k
使得ma+nb+kc=0，就说a，b，c线性相关否则若只有当m=n=k=0时成立，则它们线性无关
其实a，b，c代表的东西很多，不一定就是数字，也可以是向量啊，等等；数量也不一定是三个，在这只是举个例子，也可以是无限多个（2）证明“16|(4x-2y-17z)”即证“16|(4x-2y-z)”线性相关的概念中学生比较陌生，但其实是初中学生容易学会的。我的高等代数教材中收入了罗才忠提供的一道初中赛题作为线性相关的应用：求方程的实数解：根号(x^2+x+1)+根号(2x^2+x+5)= 根号(x^2-3x+13). 关键在于三个多项式线性相关。判定线性相关不要用三个待定系数，造成不确定性增加学生理解难度。只要求a,b满足 a(x^2+x+1)+b(2x^2+x+5)= x^2-3x+13即可。比较对应系数得三个方程：a+2b=1,a+b=-3,a+5b=13。三个方程两个未知数不符合中学生习惯。一句话就教会了：任取两个方程（例如前两个）求出唯一解，代入剩下一个方程检验合格即可，不合格即无解。中学生知道的大学数学只有微积分。其实高等代数才是他们可以稍加点拨就可以用来攻克中学难题的利器。同余类是抽象代数的内容，但也是奥数培训必讲的内容。其基本概念和算法如余数、整除都是小学教的，再加上初中的字母运算功夫，知识也就够了，因此是奥数喜欢出题的领域。奥数喜欢的就是：简单的概念和算法，很难想到的技巧，既不超纲又有分辨率。这些技巧，很多都是抽象代数中的定理，一般证明不容易，个案验证和应用却也不难，中间就只有一层窗户纸，捅开就很平常，没捅开就高不可攀。再举一个线性相关应用例（勾股数)：求满足勾股定理x^2+y^2=z^2的全部正整数组(x,y,z)解: 0=z^2-y^2-x^2=(z+y)(z-y)-x^2(z+y)(z-y)=x^2 <=> (z+y)/x=x/(z-y)=n/m(既约分数), 得z+y=xn/m,z-y=xm/n，m,n是互素整数，并解出 z=x(n^2+m^2)/2mn, y=x(n^2-m^2)/2mn. 取x=2kmn,则y=k(n^2-m^2),z=k(n^2+m^2). 只要选k使三者都是整数即可。当n,m同为奇数,k取遍1/2的正整倍数。当n,m一奇一偶,k取遍正整数
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