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分形理论及其在材料非线性力学行为研究中的应用 华南理工大学机电工程系（510640） 刘亚俊 叶邦彦 夏伟 摘要 分形是一门正处于迅速发展中的新学科，其影响范围和应用领域也在日益扩大。本文简要介绍了分形的基本概念，以及分形应用于材料力学行为研究中的进展情况。 关键词 分形 力学行为 Fractal Theory and Its Applications in the Study of Mechanics Behavior of Materials Liu Ya-jun， Ye Ban-yan ，Xia Wei （Department of mechanical engineering South China University of Technology GuangZhou 510640） Abstract Fractal Theory is a rapidly developing subject of science. Its influence range and application field are enlarging nowadays. The basic concept of fractal is introduced and its applications in the mechanics behavior of materials are also reviewed in this paper. Keywords Fractal Mechanics Behavior 一． 引言 中文“分形”一词，译自英文fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。分形几何是描述自然界中传统的欧基里德几何所不能描述的一类复杂无规对象的几何学。例如：弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙的材料断面等等。这类图形的特点是极不规则或极不光滑。我们把这类对象都划为分形的范畴[1]。 1967年，法国数学家Benoit Mandelbort[2]发表了《英国的海岸线有多长》的著名论文，他在论文中分析了海岸线长度随着测量精度的改变而不断增加的特性，认为“（海岸线）是无极限的，或者甚至是不确定的”，这些形状不是类似直线的一维；或类似平面的二维；指出海岸线具有精细结构（也就是说，它具有任意小的比例的细节）和满足标度不变性的特点。据此，Mandelbort提出了分形的概念。 分形理论建立以来，很快引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有很重要的价值。在生物学、物理学、材料科学、计算机图形学等学科领域，分形理论的应用都取得了很好的成果。 二、分形的基本概念 与传统的几何学相比，分形几何具有这样的特点： 1． 从整体上看，分形图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，不能够用欧几里德几何中的圆和直线简单加以描述。 2. 在不同尺度上，分形的规则性又是相同的。分形的局部到整体，都是自相似的。当然，也有一些分形图形并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。 分形理论是近一、二十年才发展起来的一门新理论，因而目前还仍处于不断发展中。 维数是几何对象的一个重要特征量。直观地说，维数就是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标的数目，或者说独立方向的数目，称为拓扑维数 。 根据相似性，一般地，如果某图形是由把全体缩小为 的 个相似图形构成，那么此指数 就具有维数的意义，此维数被称为相似维数。 相似维数常用 表示，根据定义， 完全没有是整数的必要，如果某图形是由全体缩小 的 个相似形所组成，即 ，所以相似维数 为 提出相似维数是把经验维数扩大为非整数值的划时代进展，但按照其定义，它的适用范围就非常有限，因为只有对具有严格相似性的有规分形，才能应用这一维数。而Hausdorff维数则适用于包括随机图形在内的任意图形。 为了能定量地表述包括非整数在内的维数，波恩大学数学家Felix Hausdorff在1919年从测量的角度引进了Hausdorff维数的定义。 大部分维数的定义都是基于“用尺度 进行量度“这样的设想，都用这样的方法进行测量；忽略尺寸小于 的不规则性，并且察看当 时，这些测量值的变化。所以也可以用同样的方法来描述Hausdorff维数。 维数和测量有密切关系。为了测量一块平面图形的面积，可以用一个边长为 、面积为 的“标准”方块去覆盖它。所得的方块数就是它的面积（以 为单位）。如果用标准长度 去测面积，那就会得到无穷大，相反，用标准立体 去测没有体积的平面，结果是零。 我们看到，用 维的标准体 去测量某个几何对象时，只有 与拓扑维 一致时，才能得到有限的结果。如果 ，结果是 ；如果 ，则得到0。由此得出结论：对于一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺”去量，则可得到一确定的数值 ；若用低于它维数的“尺”去量它，结果为无穷大；若用高于它维数的“尺”去量它，结果为零。其数学表达式为 可得： 式中的 就称为Hausdorff维数。 三、分形理论及其在材料力学行为研究中的应用 如前所述，分形几何学是研究被经典数学家称之为“病态”的不规则集合，这些不规则集合一般来说是不光滑的，定量地表述这种不规则性是分维。 近年来，分形无论是在理论本身还是在各个领域的应用均取得了很大的进展。重点是研究分形的物理机理及其现实存在的范围和程度，其研究步骤可归结为如下四步[4]： 1） 自相似性程度的证实和论述 2） 决定自相似性存在范围的上、下限 3） 分维值的测定 4） 寻找分形形成的物理机理 在分形理论上，人们已从单一维的分形描述过渡到多标度分形分析。所谓多标度分形是定义在分形上的多个标度指数的奇异测度组成的无限集合。在一个分形体上，不同物理量的不连续分布决定了相应于给定奇异测度分布的无限分形集，因而不同的分布决定了在分形物体上的不同多标度分形谱，它是物体微观特性的一个反映。 我们讨论某一物理量在一个几何结构上的分布时，是将该几何结构分为若干小的部分，第 部分（ ）用 标志，其相应的线度为 ，在每一微小区域中产生的某种行为称为 。对于具有临界行为的物理现象，一般有 为标度指数。在不同区域内，指数 可以不同，从而可定义一个完整的序列来描述临界点附近的性质 对于许多非线性问题而言，标度指数序通常构成一个“谱”，这个谱的性质反映了所研究问题的某种有别于其他的特性。 以下我们具体谈谈分形理论应用在材料非线性力学行为研究中的一些新的进展。 1．微结构、混沌、分维 材料微结构处于高阶有序和无序之间的范围。材料微结构单元可以分为空穴、位错、晶粒边界、分散的粒子。材料在损伤演化过程中，其微结构将经历从有序到无序（混沌）的过程，同时对它们的空间占位即维数也发生连续变化。如空穴（维数 ）凝结而形成位错（ ），位错形成晶格边界（ ），进而在fcc点阵中位错的堆积而形成hcp粒子（ ）。也就是说微结构单元是发展式转换的，其空间占位是连续变化的。这种连续变化随着材料内部的各向异性、无序、逾渗（percolation），微结构的混沌、分形结构的形成等等现象的出现。 混沌意味着无序。对于微结构的混沌就意味着在材料微结构已无法区别晶格尺寸、晶格边界、粒子占位等微结构参数，一切均杂乱无章。这个状态定义为“几何混沌”。 在结晶材料中，微结构的无序程度可由微结构熵 来表示 混沌就定义为 ，这里 是每一类结构的数目， 为气体常数， 是分子体积。 对于微结构无序的定量表示就是分维。可以定性的想象，分维 对应于微结构点元到线元的变化； 对应于微结构线元到面元的变化（位错 晶界）； 对应于微结构面元到体元的变化（晶界 粒子）。单一根位错线不是直线（ ），单一晶界不是光滑的（ ），都表现出分形的特征。 给定一个位错场，通常对直线位错，可假定位错密度 与位错空间占位 存在如下关系 当考虑到位错的分形效应时，位错线的真正长度应该为 其中 为常数， 为分维。 这样 位错的不规则分布可能起源于光滑位错线与点缺陷的相互作用或直线位错的相互交截。 类似地，设 为晶界密度， 为晶界占位， 晶粒平均尺寸。在经典分析中， 考虑到晶粒边界的粗糙性，晶界密度 应当修正为： 式中 相关于平均晶粒尺寸： ， 是真实的晶界长度，码尺 的取值范围可为 ，这里的 为晶界厚度的一半。对于大塑性变形的晶界，自相似分形在较大范围内存在。 产生晶界的初始粗糙性的原因可能是材料在固熔或淬火过程中的热变形所致。在材料损伤过程中，这种粗糙性将不断发展，因为在滑移面、剪切带的塑性变形明显导致多重剪切、晶界的错位和褶皱。 2． 滑移线、塑性剪切带与分形 根据塑性微观理论，在屈服应力下塑性变形的产生主要是由于材料内部位错的形成，位错运动所形成的垛及内部缠结，晶格之间的错位，进而形成滑移场。以 表示滑移线结构的占位， 代表其高度时，材料的宏观塑性剪切变形 可以对单位体积内所有滑移线微观剪切变形（ ）进行求和来获得： 在微观照片上，很容易测得 和 ，因此人们对滑移线的分形模拟关注不多。事实上，Cantor集能够较好地模拟局部剪切现象。经典的Cantor集，是对给定的单位直线段进行三等分，去掉中间一段，保留端点。将省下的两端再三等分，去掉中间段保留端点。如此操作继续下去即可得到Cantor尘集，其分维为 。在局部塑性剪切情况，滑移步和剪切量均是随机的。可以构造一些随机的Cantor集来模拟这种局部剪切现象。 滑移线场完整的分形描述是相当困难的。因为滑移分布不仅取决于应变的范围和应变量，而且取决于材料微结构的特征。这个领域的分形研究还很薄弱，有待于去开拓和进一步的探究。 3． 损伤、断裂与分形 应用分形理论研究材料的损伤断裂已取得一系列成果[5-7]。首先材料断裂后，其断裂表面凹凸不平，是一个近似的分形表面。材料断裂表面的不规则性反映了在断裂时损伤断裂的能量耗散与微结构效应。而这种不规则性又可由分形得到很好的模拟。这样可以根据材料断口的分形特征追溯到材料断裂的宏观力学行为。 材料断裂的微观形式主要表现为沿晶断裂、穿晶断裂及其耦合形式。在同一晶粒尺寸的材料中，沿晶和耦合断裂具有最快的扩展速度，如果不考虑分形就不可能定量地反映这些规律性，也不可能直接建立微观与宏观相结合的表达式。 材料断裂的计算机模拟是一个很重要的研究方向。建立在逾渗模型、DLA（diffusion-limited aggregation）、Laplace分形以及其它分形模型的材料断裂计算机模拟已经普遍开展。尽管这些模拟并不能完全描述大多数真实断裂过程中所发生的丰富现象，但他们为发展更符合实际的材料断裂模型提供了坚实的基础。 4． 材料摩擦、磨损与分形 大量研究表明[8-10]：粗糙表面形貌具有统计自仿射分形特征，用分形参数可望实现粗糙表面的合理表征。 对于分形表面，其轮廓线的测度 与测量尺度 之间有如下的幂律关系： 为表征分形表面，已引进了许多不同的分维定义和计算方法，如盒计数法、功率谱法、变差法、结构函数法和均方根法等。 目前，用分形几何研究粗糙度表面接触问题的方法有两种：1）由Majumdar和Bhushan等基于W-M分形函数提出的M-B分形模型；2）由Warren和Thomas等以Cantor集来抽象近似提出的接触模型。这两种方法在一定应用范围内具有合理性和实用价值，但是因为粗糙度表面接触问题所涉及到的因素很多，各种因素的相互作用也很复杂，因此还有待进一步加以改进和完善。 研究材料磨损规律而建立磨损数值模型，一直是摩擦学的重要研究方向之一。Zhou[11]等根据M-B分形接触模型和Archard的粘着磨损公式建立了基于分形参数的磨损公式，用此公式研究了材料性能参数和分形参数等对磨损的定量影响。另外，在磨损预测方面，将分形维数作为磨损临界值的研究方向也值得加以重视[12]。 四．结束语 从Mandelbort创立分形理论至今不过仅仅三十余年的时间，但其发展相当迅速，并已取得许多重要成果。分形理论为解决材料的力学行为中的非线性复杂问题提供了新的途径和有力的理论工具，也确实取得了一些成果和进展。但总的来说，分形在力学中的应用研究才刚刚起步，在许多领域还有许多基础性的工作还有待我们去做。将分形理论引入到现有的力学框架中去，必将使我们对材料的非线性力学行为产生更为深入的认识，从而推动材料宏微观力学的理论和应用的发展。 参考文献 [1] Mandelbrot BB. The Fractal Geometry of Nature. NewYork : W.H.Freeman , 1982:1-56 [2] Mandelbrot BB．Science, 1967, 156: 636 [3] 谢和平. 分形最新进展与力学中的分形. 力学与实践，1993，（2）：9 [4] Xie H. Chinese Science Bulletin. 1989, 34(15): 1292-1296 [5] Xie H. Acta Mechanica Sinica. 1988,4(3): 255-264 [6] Xie H. Fractals in Rock Mechanics. A.A.Balkema. Publishers. 1992 [7] Ganti S, Bhushan B. Generalized fractal analysis and its application [8] Majumdar A，Bhushan B. Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanices of surface. ASME Journal of Tribology, 1990, 112: 205-216 [9] Gagnepain J J, Roques-Carmes C. Fractal approach to two-dimensional and three-dimensional surface roughness. Wear, 1986, 109:119-126 [10] Majumdar A，Bhushan B. Fractal model of elastic-plastic contact between rough surface. ASME Journal of Tribology, 1991, 113: 1-11 [11] Zhou G Y, Leu M C, Blackmore D. Fractal geometry model for wear prediction. Wear, 1993, 170: 1-14 [12] 张人佶. 油润滑下钢严重磨损表面的分形特征. 摩擦学学报，Vol 13（4）1993：343 http://blog.sciencenet.cn/blog-4562-9251.html 此文来自科学网刘亚俊博客，转载请注明出处。 上一篇：略谈云岗石窟佛雕造型设计 下一篇：金属切削理论发展的历史回顾 |
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