|
典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A?2，0?为长轴端点时，a?2，b?1， x 2 椭圆的标准方程为： 4 y 2 1 1； （2）当A?2，0?为短轴端点时，b?2，a?4， x 2 椭圆的标准方程为： 4 y 2 16 1； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：?2c? a 2 c 33 2? 13 ∴3c2?a2， ∴e? 3 ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为 xa 22 y?1， 2 1 / 20 x?y?1?0?2由?x2，得?1?a?x2?2a2x?0， 2 2?y?1?a ∴xM? x1?x2 2yMxM 2 1?aa 2 2 ，yM?1?xM? 11?a 2 ， kOM? 1a 2 14 ，∴a2?4， ∴ x 2 4 y?1为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆 x 2 25 y9 2 9? 1上不同三点A?x1，y1?，B?4?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的 5? 距离成等差数列． （1）求证x1?x2?8； （2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 证明：（1）由椭圆方程知a?5，b?3，c?4． 由圆锥曲线的统一定义知： AFa 2 ca ， c x1 ∴ AF?a?ex1?5?同理 CF?5? 45 45 x1． x2． 95 ∵ AF?CF?2BF，且BF? 4 ， ∴ ?5? 4???18 ， x1???5?x2?? 5??55? 即 x1?x2?8． （2）因为线段AC的中点为?41 y?y2? ，所以它的垂直平分线方程为 2? 2 / 20 y? y1?y2 2 x1?x2y1?y2 x?4?． 又∵点T在x轴上，设其坐标为?x0，0?，代入上式，得 x0?4? y1?y2 2 2 2?x1?x2? 又∵点A?x1，y1?，B?x2，y2?都在椭圆上， ∴ y12? y2? 22 925925 2 25?x? 2 1 25?x? 22 ∴ y1?y2?? 925 x1?x2??x1?x2?． 将此式代入①，并利用x1?x2?8的结论得 x0?4?? 9 3625 ∴ kBT 0 5??． 4?x04 典型例题五 例5 已知椭圆 x 2 2 4 y3 1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到 左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M存在，设M?x1，y1?，由已知条件得 a?2，b? 3，∴c?1，e? 12 ． ∵左准线l的方程是x??4， ∴MN?4?x1． 又由焦半径公式知： 3 / 20 MF1?a?ex1?2?MF2?a?ex1?2? 1212 x1， x1． ∵MN 2 MF1?MF2， 2 ∴?x1?4???2? 1 1??? x1??2?x1?． 2??2? 整理得5x12?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1?? 125 ． ① 另一方面?2?x1?2． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （3）本例也可设M2cos?3sin?存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 典型例题六 例6 已知椭圆 x 11?2 y?1，求过点P??且被P平分的弦所在的直线方程． 2?22? 2 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y?整理得 1 1?? k?x??．代入椭圆方程，并22?? 1?2k?x 2 2 2k?2kx? 2 2 12 k?k? 2 32 0． 由韦达定理得x1?x2? 2k?2k1?2k 2 ． 12 ∵P是弦中点，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直线方程为2x?4y?3?0． ． 4 / 20 分析二：设弦两端坐标为?x1，y1?、?x2，y2?，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率： y1?y2x1?x2 ． 解法二：设过P??的直线与椭圆交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，则由题意得 22? 11? x122 y1?1，?2?2?x22 y2?1，??2 x1?x2?1，? y1?y2?1. ①② ③④ 2 2 2 ①－②得 x1?x2 2 2 y1?y2?0． ⑤ y1?y2x1?x2 12 12 将③、④代入⑤得??，即直线的斜率为?． 所求直线方程为2x?4y?3?0． 说明： （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用． 典型例题七 例7 求适合条件的椭圆的标准方程． 6?； （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点?2， （2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 xa 222 ybx 22 1求出a?148， 2 b?37，在得方程 2 x 2 148 y 2 37 1后，不能依此写出另一方程 y 2 148 37 1． 5 / 20 为所求点，因此yM?3，且M在椭圆上．故xM?23．所以M233． 说明：本题关键在于未知式AM?2MF中的“2”的处理．事实上，如图，e? 12 ， 即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值． 典型例题九 例9 求椭圆 x 2 3 y?1上的点到直线x?y?6?0的距离的最小值． 2 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为?直线的距离为 3cos??sin??6d? 2 2sin?????6 3? 2 x? 3cos?， 设椭圆上的点的坐标为 y?sin?. 3cos?，sin?，则点到 ． 当sin? 1时，d最小值?22． ?3? 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程． 典型例题十 例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e? 32 3?2? ，已知点P?0?到 这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标． 分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要 善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力． 7 / 20 解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 xa 22 yb 22 1，其中a?b?0待定． 由e? 2 ca 22 a?ba 2 22 1? ba 22 可得 ba e? 2 34 12 ，即a?2b． 设椭圆上的点?x，y?到点P的距离是d，则 2 3?y?9?2?2 x??y???a?1??y?3y? 2??2?b?4?? 2 2 2 d 2 1?? 4b?3y?3y???3?y???4b2?3 42?? 2 2 9 其中?b?y?b． 如果b? 12 ，则当y??b时，d2（从而d）有最大值． 2 由题设得 7? 3?? b??，由此得b? 2?? 2 7? 32 12 ，与b? 12 矛盾． 因此必有b?由题设得 12 2 成立，于是当y?? 12 时，d2（从而d）有最大值． 7? 2 4b?3，可得b?1，a?2． ∴所求椭圆方程是 x 2 4 y 2 1 1． 由y?? 12 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点?? 3，? 1?? ，点?2?? 3，? 1? 到点2? 3? P?0?的距离是7． ?2? x?acos??y?bsin? 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是? 0???2?，?为参数． ，其中a?b?0，待定， 由e? 2 ca 22 a?ba 2 22 b? 1???可得 a? 2 8 / 20 ba e? 2 34 12 ，即a?2b． 设椭圆上的点?x，y?到点P?0?的距离为d，则 2? 2 2 3? d 2 3?3???22 x??y???acos???bsin??? 2?2??? 2 4b2?3b2sin2??3bsin?? 2 94 1??2 3b2?sin????4b?3 2b?? 如果 12b 1，即b? 12 ，则当sin???1时，d2（从而d）有最大值． 2 由题设得成立． 7? 2 3?? b??，由此得b? 2??12b 7? 32 12 ，与b? 12 矛盾，因此必有 12b 1 于是当sin???由题设知 时d2（从而d）有最大值． 7? 2 2 4b?3，∴b?1，a?2． x?2cos? ∴所求椭圆的参数方程是?． y?sin?? 12 由sin??? ，cos??? 32 ，可得椭圆上的是?? 3，? 1?? ，?2?? 3，? 1? ． 2? 典型例题十一 例11 设x，y?R，2x?3y?6x，求x?y?2x的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x?3y?6x与椭圆方程的结构一致．设x?y?2x?m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值． 解：由2x?3y?6x，得 2 2 2 2 2 2 22 22 9 / 20 3?? 2?x??y?? ??1 93???? 2?4? 2 可见它表示一个椭圆，其中心在?点． 设x2?y2?2x?m，则 ?x?1??y2?m?1 2 3 ，0?点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）?2? 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m?1?m??1?． 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m?1?1，此时m?0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m?1?4，∴m?15． ∴x2?y2?2x的最小值为0，最大值为15． 典型例题十二 xy 例12 已知椭圆C2?2?1?a?b?0?，A、B是其长轴的两个端点． ab b如何变化，?APB?120．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP?，求证：不论a、 22 （2）如果椭圆上存在一个点Q，使?AQB?120，求C的离心率e的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从?APB和?AQB的正切值出发做出估计，因 10 / 20 此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：x?a，y?b，根据?AQB?120?得到 2ayx?y?a 2 2 2 将x?a???3， 22 ab 22 2 b、消去x，用a、以便利用y?bc表示y，y代入， 列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成． 解：（1）设F?c，0?，B?a，0?，A??a，0?． ?x?c?b2 P? ?22 2222?ca bx?ay?ab
于是kAP? b 2 a?c?a? ，kBP? b 2 a?c?a? ． ∵?APB是AP到BP的角． b 2 ∴tan?APB? ac?a1? 2 b 4 2 ac?a2 2 b 2ac 2 2 ac?a ∵a2?c2 ∴tan?APB??2 故tan?APB??3 ∴?APB?120?． （2）设Q?x，y?，则kQA? yx?a ，kQB? yx?a ． 由于对称性，不妨设y?0，于是?AQB是QA到QB的角． y y 2ay? 2222 yx?y?a 2 ∴tan?AQB?1? x?a 2 ∵?AQB?120， ∴ 2ayx?y?a 2 2 2 3 222 整理得3?x?y?a??2ay?0 ∵x?a? 22 ab 22 y 2 2 a?2 ∴3??1?b2?y?2ay?0 11 / 20 PF1?4b?PF2?4b?b?3b． 由椭圆第二定义， PF1d1 e，d1为P到左准线的距离， ∴d1? PF1e 23b， 即P到左准线的距离为23b． PF2d2 解法二：∵ e，d2为P到右准线的距离，e? ca 32 ， ∴d2? PF2e 233 b． 又椭圆两准线的距离为2? a 2 c 833 b． ∴P到左准线的距离为 833 b? 233 b?23b． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义． 典型例题十五 x?4cos?,? 例15 设椭圆?(?为参数)上一点P与x轴正向所成角?POx?，求 3?y?23sin?.P点坐标． 分析：利用参数?与?POx之间的关系求解． 解：设P(4cos?,23sin?)，由P与x轴正向所成角为 3 23sin?4cos? 3 ， ∴tan?，即tan??2． 而sin??0，cos??0，由此得到cos?? 55 ，sin?? 255 ， ∴P点坐标为( 455 , 45 )． 13 / 20 典型例题十六 例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆 xa 22 22 yb 1 (a?b?0)上的一点，P到左焦 点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2，求证：r1?a?ex0，r2?a?ex0． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离． 解：P点到椭圆的左准线l：x?? PF1PQ a 2 c 的距离，PQ?x0? a 2 c ， 由椭圆第二定义，?e， ∴r1?ePQ?a?ex0，由椭圆第一定义，r2?2a?r1?a?ex0． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式． 典型例题十七 例17 已知椭圆 P是椭圆上一点． 2 2 x 9 y 5 1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点 (1) 求PA?PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标； (2) 求PA? 32 PF2的最小值及对应的点P的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解． 14 / 20 解： (1)如上图，2a?6，F2(2,0)，AF2?PF1?PF2?2a?6 2，设P是椭圆上任一点，由 ， PA?PF2?AF2 ，∴ PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?等号仅当PA?PF2?AF2时成2， 立，此时P、A、F2共线． 由PA?PF2?AF2，∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?号仅当PA?PF2?AF2时成立，此时P、A、F2共线． x?y?2?0, 建立A、F2的直线方程x?y?2?0，解方程组?2得两交点 2 5x?9y?45? P1(97?1514 2, 57?1514 2)、P2( 97?1514 2, 57?1514 2)． 2，等 综上所述，P点与P1重合时，PA?PF1取最小值6?PA?PF2取最大值6? 2． 2，P点与P2重合时， (2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a?3，c?2， 23 ∴e? 32 ．由椭圆第二定义知 PF2PQ e? 23 ，∴PQ? 32 PF2 ，∴ PA? PF2?PA?PQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右 92 准线方程为x?． 15 / 20 ∴A到右准线距离为 6551e 72 ．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条 件的点P坐标(,1)． 说明：求PA? PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧 用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段． 典型例题十八 例18 (1)写出椭圆 x 2 2 9 y 4 1的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题． x?3cos? 解：(1) ?(??R)． y?2sin?? (2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设 (3cos?,2sin?)为矩形在第一象限的顶点，(0??? 2)， 则S?4?3cos??2sin??12sin2??12 故椭圆内接矩形的最大面积为12． 说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便． 典型例题十九 例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且?F1PF2?60?． (1)求椭圆离心率的取值范围； 16 / 20 (2)求证?PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为 xa 22 yb 22 ，P(x1,y1)（y1?0）． ?1（a?b?0） KPF2?KPF11?KPF2KPF1 2 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60???3，设 P(x1,y1)，F1(?c,0)，F2(c,0)，化简可得 x1a 2 3x1? 2 3y1?2cy1? 2 3c?0．又 2 y1b 2 2 1，两方程联立消去x1得3cy1?2bcy1? 2222 3b?0，由y1?(0,b]，可以 4 确定离心率的取值范围；解出y1可以求出?PF1F2的面积，但这一过程很繁． 思路二：利用焦半径公式PF1?a?ex1，PF2?a?ex1，在?PF1F2中运用余弦定理，求x1，再利用x1?[?a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出?PF1F2的面积． 思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1?PF2?2a求解． xa 22 解：(法1)设椭圆方程为 c?0， yb 22 ，P(x1,y1)，F1(?c,0)，F2(c,0)，?1（a?b?0） 则PF1?a?ex1，PF2?a?ex1． 在?PF1F2中，由余弦定理得 cos60?? 12? (a?ex1)?(a?ex1)?4c 2(a?ex1)(a?ex1) 2 2 2 2 ， 解得x1? 2 2 4c?a3e 2 2 ． 2 (1)∵x1?(0,a]， ∴0? 4c?a3e 2 22 a，即4c?a?0． 222 17 / 20 22?m?n?mn 2?(m?n)?3mn ∵m?n?2a， ∴4c2?4a2?3mn，即mn? 1 23343(a?c)?2243b． 2∴S?PFF?12mnsin60??b． 2 即?PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有 关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1?PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问 题找到解决思路． 典型例题二十 例20 椭圆x a2222?yb?1(a?b?0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P， 使OP?AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围． 分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP?AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程． 解：设椭圆的参数方程是??x?acos? y?bsin?(a?b?0)， 则椭圆上的点P(acos?,bsin?)，A(a,0)， bsin? acos?bsin?acos??a∵OP?AP，∴???1， 即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos?? 2 222222b222a?b22， ∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?b2a?b?1，又b?a?c 2 ∴0? ac22?2， ∴e?2 2，又0?e?1，∴2 2?e?1． 说明：若已知椭圆离心率范围(证明？ 22,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP?AP．如何 转载请保留出处，http://www./doc/e1204bf9941ea76e58fa04df.html |
|
|
