5年高考题 3年模拟题专项分类练习之空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

第一节  空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

第一部分  五年高考荟萃

2009

年高考题

一、选择题

1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(         ).

A.2??

B. 4??

C. 2

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2?,四棱锥的底面 边长为2，高为3，

1

所以体积为?

3

2

33

正(主)视图     侧(左)视图

所以该几何体的体积为2??答案:C

.

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.

俯视图

2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为 （A）48+12

3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 （A）1：1    (B) 1：2    (C) 2：1    (D) 3：2

x1

4.在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为(       ). A.

13

（B）48+24   （C）   （D）

B.

2

C.

12

D.

2

23

2

2?

【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即x?[?1,1]时,?

x

2

2

, ∴0?cos

x

2

1

区间长度为1, 而cos答案  C

x

2

的值介于0到

12

之间的区间长度为

12

,所以概率为

12

.故选C

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cos度型几何概型求得.

5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为

12

x

2

的范围,再由长

。则该集合体的俯视图可以是

答案: C

6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体

的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“?”的面的方位是 A. 南    C. 西

B. 北    D. 下

解：展、折问题。易判断选B

7.如图，在半径为3的球面上有A,B,C

三点，?ABC?90?,BA?BC，

2

球心O到平面ABC的距离是?

3

，则B、C两点的球面距离是

4?3

A.            B.?           C.          D.

2?

答案

B

86

3

3

23

A.

B.         C.          D.

答案  C

9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三

棱锥的主视图是（

）

答案   B

二、填空题

10..图是一个

几何体的三视图，若它的体积是a=_______ 答案

3

，则

11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a?__________

12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3． 答案  18

【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1?3?3?9，上面的长方体体积为3?3

1?9，因此其几何体的体积为18

13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为                    m3

答案  4

14. 直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于          。

解:在?A

BC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?由正弦定理,可得?ABC

TO?BO外接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在R

中，易得球半径R?

2

故此球的表面积为4?R?20?.

15．正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为?，则正三棱

柱的体积为     ． 答案   8

16．体积为8的一个正方体，其全面积与球

O的表面积相等，则球O的体积等于

答案

17．如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O?

是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为

2

A、B

2?3

，则?AO1B答案

18.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，

满足的等量关系是___________.

答案

S1?2S2?3S3

S1S2

4

19.若球O1、O2表示面积之比

答案  2 三、解答题

20．（本小题满分13分）

，则它们的半径之比

R1R2

=_____________.

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥

P?EFGH，下半部分是长方体ABCD?EFGH。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD?平面PEG.

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

（２）该安全标识墩的体积为：V?VP?EFGH?VABCD?EFGH    ?

13

40?60?40?20?32000?32000?64000

2

2

cm?

2

（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.      由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH ,   ?PO?HF      又EG?HF   ?HF?平面PEG

又BDPHF

BD?平面PEG；

2005—2008年高考题

一、选择题

1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2

，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（

） I

G 侧视 D

图1 答案  A

2.（2008海南、宁夏理）的线段，在该

几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（    ）

B

E

图2

D

E

E

A．

B

E

B．

C．

E

D．

A．

334

B．

33

C．

3

4

D．

312

答案 B

5.（2006安徽）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

3

1

A

．

B．?            C．

3

23

           D

3

答案  A

【解析】此正八面体是每个面的边长均为a

的正三角形，所以由8?

a?14

2

知，

A。

323

6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是

233

，那么正方体的棱长等于（   ）

423

433

A.22           B.              C.            D.

答案  D

【解析】正方体外接球的体积是

323

，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于

3

，选D.

7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成

的角是60°则该截面的面积是  (   )    A．π        B.2π          C.3π        D.23? 答案  A

【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是该截面的面积是π，选A.

8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (    )

A. 1∶3           B. 1∶3               C. 1∶33             D

. 1∶9 答案   C

【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为

21

12

R=1，

2

a，

故所求的比为1∶33，选C.

9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为?，则球的表面积为 (   ) A.82?  答案 B

10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且 ?ADE、?BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为  (   )

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B.8?          C.42?         D.4?

A.C.

2343

B.

D.

3332

二、填空题

11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边                               形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球

8

的体积为      ． 答案

4?3

【解析】令球的半径为R，

六棱柱的底面边长为a，高为h，显然

有

R，???V?6?42?h?9

a?18???

2?R?1?V?4?R3

4

. ??

6a?3?33?h?

12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱

3，那么这个球的体积为_________ 答案

43?

1【解析】∵正六边形周长为３，得边长为

2

，故其主对角线为１，从而球的直径2R?

2

∴R?1  ∴球的体积V?43

.

13. （2007天津理·12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2，3，则此球的表面积为    ． 答案  14π

14.（2007全国Ⅱ理·15

）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为    cm2. 答案  2?15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P?

ABC

DEF，则此正六棱

锥的侧面积是________．

答案

F

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且

【解析】显然正六棱锥P?ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥

P?ABCDEF的高依题意可得为2，依此可求得.

第二部分   三年联考汇编

2009年联考题

一、选择题

1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（   ）

A． C．

1623a

33

B．

1256

a a

3

3

a                       D．

答案  D

2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（  ）

A．2a                         B．a

C．3a                       D．

2

22

a

a

34

2

a

答案   C

3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，

则组成此几何体的长方体木块块数共有(   )

A．3块           B．4块         C．5块       D．6块 答案 B

4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面

为60?的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（   ） A.                           B.

2

，且一个内角

正视图 侧视图

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俯视图

C . 4                            D. 8

答案   C

5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为(     )      A

B

．

2?6

C6

D4r

答案   C

6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正

视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面 积为(   )

5?

A．Z2?                         B．

2

C．4?                         D．5? 答案 B

7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右

图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为(   )

A．9与13                      B．7与10

C．10与16                     D．10与15 主视图

答案   C

8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是(

)

2

A.

(20?cm

B.21 cm

俯视图

左视图

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C. (24?cm2              D. 24 cm  答案   A

9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得几何体的表面积是(   )

A.22?          B.12?        C.4?＋24           D.4?＋32 答案  D 二、填空题

10.（辽宁省抚顺一中2009

届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是            . 答案

11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面?BC1D是面积为6的直角

A1

C

1

三角形，则此三棱柱的体积为         .

B1

答案  83

12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.

侧(左)视图

D

A

CB

第（11）题

答案  80

13.(2009珠海二模)一个五面体的

俯视图

三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角

形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．

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(A) 4    (B) 6     (C) 8    (D)12 答案A

7.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （    ）

A．3?

16?C．

3

B．2? D．以上都不对

答案C

二、填空题

1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若

AB?BC?CA?3，则球的体积为。

答案

323

2

2.（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得截面的面积为2?cm，已知 球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是        cm3.

理第11题

答案 43? 三、解答题

z2?1

sinx?i1.（2009上海普陀区）已知复数z1?cosx?i，

（i是虚数单位），且

z1?z2?

P.

当实数x???2?,2??时，试用列举法表示满

足条件的x的取值集合

解：如图，设BC中点为D，联结AD、OD.

由题意，OB?OC?2,?BO

C?60?,所以△OBC为故BC?2，且OD?又S△ABC?所以AO

12

等边三角形，

第19题图

C

B

C?AD?3?AD?3，

2

而圆锥体的底面圆面积为S???OC?4?,

13

3

第19题图

所以圆锥体体积V?

S△

ABC?AO?

.

C

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2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1.  (1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小； (2)若直线A1C与平面ABC所成角为45°,  求三棱锥A1-ABC的体积.

（1）因为BC?B1C1，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC所成角         -------(3分) ∠ABC=90°, AB=BC=1，所以?BCA?即异面直线B1C1与AC所成角大小为

4

，     -------(2分) 。      -------(1分)

4

4

（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A?平面ABC，所以?A

1CA即为直线A1C与平面ABC所成角，所以?A1C

A?-------(2分)

Rt?ABC中，AB=BC=1

得到AC?

。

Rt?AA1C中，得到AA1?AC?

------(2分)

所以VA

1?

ABC

13

S?ABCAA1?

6

-------(2分)

3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，（如图）

E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．

AF1

1

（1） 求三棱锥A1?D1EF的体积；

求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函（1）VA?DEF?VE?ADF?

1

1

1

1

数表示）

C 13

1?1?

13

．

（2）取A1D1的中点G，所求的角的大小等于?GEF的大小，

22

Rt?GEF中tan?GEF?

，所以EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小

是

arctan

22

．

4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCDOA?底面ABCD，OA?2，M为OA的中点．

是边长为2的正方形，

（Ⅰ）求四棱锥O?ABCD的体积； 选校网 www.xuanxiao.com  专业大全 历年分数线

解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD的面积S?4，……………………………2分 所以，求棱锥O?ABCD的体积V?（Ⅱ）方法一（综合法）

设线段AC的中点为E，连接ME，

则?EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角） ………………………………..1分  由已知，可得DE?

(2)?(3)

2

2

13

4?2?

83

………………………………………4分

2,EM?

2

3,MD?5，

(5)

DEM为直角三角形      …………………………………………………………….2分

tan?EMD?

DEEM

23

， …………………………………………………………….4分

EMD?arctan

323

．

所以，异面直线OC与MD所成角的大小arctan

323

．   …………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系，

则O(0,0,2),C(2,2,0),M(0,0,1),D(0,2,0), ………………………………………………2分

OC?(2,2,?2)，MD?(0,2,?1)， …………………………………………………………………………..2分

设异面直线OC与MD所成角为?，

cos??

5

．……………………………………3分

∴OC与MD所成角的大小为arccos

5

．……………………………………………1分

2007—2008年联考题

一、选择题

1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中， E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD   的体积是                              （   ）

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12

24

12

24

答案  B

2.(2008江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为?，则球的体积为      (    )   A.

82?3

B.

8?3

C.

32

3

D. 8?

答案

A

3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B

、C，任意两点之间的球面距离

都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4?，则此球的体积为

A.       B.      C.

D.  答案

D

4.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)已知?ABC中，AB=2

，BC=1，?ABCPA=PB=PC=2，则三棱锥P—ABC的体积是（   ）    A2

120

（   ）

，平面ABC外一点P

满足

B．

3

C4

D6

答案  D

25.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为    ）

3

A．

83

     B．2π        C．4π D．

43

答案C

6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是        (    ) A. 4          B. 6           C. 8               D. 10 答案  A

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