高考数学复习知识点分类指导

2009年高考数学第一轮复习知识点分类指导

一、集合与简易逻辑

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若P?{0,2,5}，

（答：8） Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。

（2）非空集合S?{1,2,3,4,5}，且满足“若a?S，则6?a?S”，这样的S共有_____

个（答：7）

2. “极端”情况否忘记A??：集合A?{x|ax?1?0}，B?x|x?3x?2?0，且

A?B?B，则实数a＝______.（答：a?0,1,

2

1） 2

3.满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7）

4.运算性质：设全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，(CUA)?B?{4}，

(CUA)?(CUB)?{1,5}，则A＝_____，B＝___.（答：A?{2,3}，B?{2,4}）

，集合N＝?y|y?x2,x?M?，则

(1,?2?)(?3?,4R)，,）M?N?___（答：[4??,)；（2）设集合M?{a|a

N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则M?N?_____（答：{(?2,?2)}）

5.集合的代表元素：（1）

设集合M?{x|y?

6.补集思想：已知函数f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：(?3,）

7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）

8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件；②若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件；③已知x,y?R，“若；④“若a和b都是xy?0，则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”

偶数，则a?b是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；

2

（2）设命题p：|4x?3|?1；命题q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要

1

而不充分的条件，则实数a的取值范围是           （答：[0,]）

2

9. 一元一次不等式的解法：已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为1

(??,?)，则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______（答：{x|x??3}）

3

2

10. 一元二次不等式的解集：解关于x的不等式：ax?(a?1)x?1?0。

11

（答：当a?0时，x?1；当a?0时，x?1或x?；当0?a?1时，1?x?；当a?1

aa

1

时，x??；当a?1时，?x?1）

a

2

2

32

11. 对于方程ax2?bx?c?0有实数解的问题。（1）?a?2?x?2?a?2?x?1?0对一切

2

x?R恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,内有两个不等的实

2

根满足等式cos2x2x?k?1，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）

12.一元二次方程根的分布理论。

（1）实系数方程x?ax?2b?0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则取值范围是_________（答：（

2

b?2

的a?1

1

，1）） 4

2

（2）不等式3x?2bx?1?0对x?[?1,2]恒成立，则实数b的取值范围是____（答：?）。

二、函 数

1.映射f: A?B的概念。

（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在

N中必有象    B、N中每一个元素在M中必有原象  C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的  D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，

；（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射A到B的函数有81,64,81）

，这样的映射f有____个（答：f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”

12）

2.函数f: A?B是特殊的映射。若函数y?

12

x?2x?4的定义域、值域都是闭区间2

[2,2b]，则b＝2）

3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y?x，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）

4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）函数

y?

2

lgx?3的定义域是____(答：(0,2)?(2,3)?；（2）设函数(3,)4)

f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：①a?1；②0?a?1）

（2）复合函数的定义域：（1）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义

2域为__________（答：x|2?x?4）；（2）若函数f(x?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．

5.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法―（1）当x?(0,2]时，函数f(x)?ax?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，则a的取值范围是___（答：a??

2

1???

2

1

）； 2

（2）换元法（1）y?2sinx?3cosx?1的值域为_____（答：[?4,

2

17

；（2

）]）8

y?2x?1?的值域为_____（答：(3,??)）

t，t?0。运用换元法时，要

1

特别要注意新元t的范围）；3）y?n的值域为____

（答：；isxocs?nisxocs?x?x[?1,）

2

（4

）y?x?4?的值域为____

（答：4]）；

3x2sin??12sin??1

（3）函数有界性法―求函数y?，y?，的值域（答： y?

1?3x1?sin?1?cos?

13（0,1）、(??； (??,]、,）22

192

（4）单调性法――求y?x?(1?x?9)，y?sinx?的值域为______（答：

x1?sin2x

8011

； (0,)、[,9]）

92

y22

（5）数形结合法――已知点P(x,y)在圆x?y?1上，求及y?2x的取值范围

x?2

（答：[?

； 、[）

33

(a1?a2)2

（6）不等式法―设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值

b1b2

范围是____________.（答：(??,0]?[4,??)）。

32

（7）导数法―求函数f(x)?2x?4x?40x，x?[?3,3]的最小值。（答：－48）

2

(x?1).(x?1)

6.分段函数的概念。（1）

设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的

4x?1)

(x?0)?1　　

取值范围是____（答：(??,?2]）；（2）已知f(x)??，则不等式?[0,10]

(x?0)??1　　

3

x?(x?2)f(x?2)?5的解集是___（答：(??,]）

2

7.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法―已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?

12

x?2x?1） 2

2

x)?sinx,求fx2的解析式___（答

：（2）配凑法―（1）已知f(1?cos

112

f(x2)??x4?2x2,x?[）；（2）若f(x?)?x?2，则函数f(x?1)=___（答：

xx

x2?2x?3）；

2

（3）方程的思想―已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；

3

8. 反函数：

（1）函数y?x?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是

A、a????,1? B、a??2,???  C、a?[1,2]  D、a????,1???2,??? （答：D）

（2）设f(x)?(

2

x?12

)(x?0).求f(x)的反函数f?

1(x)（答：f?1(x)?x

．  x?1)）

1

（3）反函数的性质：

①单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函数f定义域为?,? ，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）.

aa

(x)的

14???

2x?3

，若函数y?g(x)与y?fx?17

称，求g(3)的值（答：）；

2

②已知函数f(x)?

③（1）已知函数f(x)?log3(

1

(x?1)的图象关于直线y?x对

4

；  ?2)，则方程f?1(x)?4的解x?______（答：1）

x

④已知f?x?是R上的增函数，点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那

么不等式f?1?log2x??1的解集为________（答：（2,8））；

9.函数的奇偶性。

（1

）①定义法：判断函数y?

____（答：奇函数）。

11

②等价形式：判断f(x)?x(x?)的奇偶性___.（答：偶函数）

2?12

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 （2）函数奇偶性的性质：若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).

1

若定义在R上的偶函数f(x)在(??,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)?2

38

的解集为______.（答：(0,0.5)?(2,??)）

a·2x?a?2

④f(0)?0若f(x)?为奇函数，则实数a＝____（答：1）.

2x?1

f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)

⑤设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?，G(x)?。①

22

x

判断F(x)与G(x)的奇偶性； ②若将函数f(x)?lg(10?1)，表示成一个奇函数g(x)和一

1

个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)＝x）

2

10.函数的单调性。

（1）若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，已知函数f(x)?x?ax在区间

3

[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(0,3]）)；

（2）若函数f(x)?x?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是______(答：a??3）)；

2

（3）已知函数f(x)?

ax?1

在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：x?2

1

(,??)）；  2

2

（4）函数y?log1??x?2x?的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

2

（5）已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数

12

m的取值范围。（答：??m?）

23

11. 常见的图象变换

①设f(x)?2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称，h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到，则h(x)为__________(答： h(x)??log2(x?1))

②函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)

x

b

a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与x?a

原图象关于直线y?x对称,那么

(A)a??1,b?0    (B)a??1,b?R   (C)a?1,b?0       (D)a?0,b?R  (答：

③将函数y?C)

1

得到a1

的。如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答： x??)．

2

④函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的12. 函数的对称性。

①已知二次函数f(x)?ax?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x

2

12

x?x)；  2

x?33

②己知函数f(x)?,(x?),若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称

2x?32

图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是_______（答：

x?2

）； y??

2x?1

2

③若函数y?x?x与y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：

有等根，则f(x)＝_____(答：?

x2?7x?6）

13. 函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程

f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义

(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；(2)已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函数，求f(2005)的值(答：993)；（3）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，

S11,S12?都大于0  B、S1,S2?S19都小于0，小于0，S20,S21?都大于0  C、S1,S2?S5

都小于0，S6,S7?都大于0  D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0 （答：B）

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为             。（答：225） （2）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若么

Sn3n?1

，那?

Tn4n?3

an6n?2

） ?___________（答：

bn8n?7

（3）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：

前13项和最大，最大值为169）；（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，

a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是4006） 4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数

项之积为120，则an?1为____（答：

5

）；（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若6

bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：设等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝

1

或2） 2

（3）等比数列的前n和：（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）；

126，求n和公比q. （答：n?6，q?（2）

(?C

n?1

k?0

10n

k

n

； )的值为__________（答：2046）

（4）等比中项：已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大

小关系为______（答：A＞B）

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为?，

aa

,,a,aq,aq2?（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为?2

qq

aa32

,,aq,aqq，?，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。 3

qq

5.等比数列的性质：

（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2???log3a10?      （答：10）。

gxn1loxgn(n?N*)，且（1）已知a?0且a?1，设数列{xn}满足loa?1??a

x1?x2???x

100

；（2）在等比?100，则x101?x102???x200?（答：100a100）

数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______（答：40）

若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝（答：－1）

设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为-_____（答：－2）

设数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若

an?an?1

b?R?，则(n?N)，则?an?既是等差数列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、

an?是等差数列；③若Sn?1???1?n，则?an?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

（答：②③）

6.数列的通项的求法：

已知数列3

1111

,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________（答：481632

an?2n?1?

1

） 2n?1

①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an（答：an?满足

11114,n?1

） a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?1

2,n?2222

2

3,n?1

）；②数列{an}

2n,n?2

数列{an}中，则a3?a5?______（a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n，已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?

61

） 16

1n?1?n

2

(n?2)，则an=________（答

：

an?1）

已知数列{an}中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?nan，求an（答：an?

4

）

n(n?1)

n

3n?1?1）①已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?；②已知a1?1,an?3an?1?2，

n?1

3求an（答：an?5?

2n?1）；

an?11

①已知a1?1,an?，求an（答：an?）；②已知数列满足a1=1

，

3an?1?13n?2

1

，求an（答：an?2）

n54,n?1

数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?an?1，求an（答：an?） n?1

3?4,n?23

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：（1）等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2－１，则a1?a2?a3???an＝

ｎ

2222

4n?1

_____（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，

3

如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1?23?1?22?0?21?1?20?13，那么将二

进制(111?11)2转换成十进制数是_______（答：2

2005

2005个1

1）

n

（2）分组求和法： Sn??1?3?5?7???(?1)(2n?1)（答：(?1)?n）

n

n?1)Cn?n(??1)2（3）倒序相加法：①求证：Cn?3Cn?5Cn???(2；②已知

012nn

x21117

，则＝______（答：） f(x)?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()2

1?x2342

（4）错位相减法：（1）设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，

T2?4，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.（答：①a1?1，q?2；

②Tn?2

n?1

2

n?2）；（2）设函数f(x)?(x?1)，g(x)?4(x?1)，数列{an}满足：

a1?2,f(an)?(an?

an?1)g(an)(n?N?)，①求证：数列{an?1}是等比数列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2

888

(an?1)xn，求函数h(x)在点x?处的导数h?()，并比较h?()与2n2?n的大小。

333

88

（答：①略；②h?()?(n?1)?2n?1，当n?1时，h?()＝2n2?n；当n?2时，

33

88

h?()<2n2?n；当n?3时，h?()>2n2?n） 33

n111

（5）裂项相消法：（1）求和：）；?????1?44?7(3n?2)?(3n?1)3n?11

（2）在数列{an}中，an?，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；

n?n?1

2n111

（6）通项转换法：求和：1?） ?????1?21?2?31?2?3???nn?1

四、三角函数

的终边关于直线y?x对称，则?＝_____。（答：2k??,k?Z） 63

若?是第二象限角，则是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB的周长是6cm，

2

2

该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm） 2、三角函数的定义：（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sin??cos?

72m?3        T 的值为＿＿。（答：?）；（2）设?是第三、四象限角，sin??，             B      S

4?m13

3

则m的取值范围是_______（答：（－1，)）；     O   M x 2

3.三角函数线（1）若????0，则sin?,cos?,tan?的大小关系为

8

_____(答：tan??sin??cos?)；（2）若?为锐角，则?,sin?,tan?的大

1、?的终边与

小关系为_______ （答：sin????tan?）；（3）函数y??2cosx?lg(2sinx?3)的

2?

](k?Z)）

33

m?34?2m?

4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知sin??，cos??则t(????)，an?

m?5m?52

5tan?nsi??3cos?

sin2??sin?cos??2＝____（答：；（2）已知则＝____；?）??1，

tan??1nsi??cos?12

定义域是_______（答：(2k??

,2k??

513?；）；（3）已知f(cosx)?cos3x，则f(sin30)的值为______（答：－1）。 35

9?7?

5.三角函数诱导公式（1）cos）；??tan(?)?sin21?的值为________

（答：

46

4?

（2）已知sin540(?270)?______，若?为第二象限角，则(???)??，则cos?

5

[sin(180???)?cos(??360?)]243

________。（答：；） ???

tan(180??)5100

＝___（答：?

6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）下列各式中，值为

1

的是    A、sin15?cos15?      B、cos2?sin2 C、1212

tan22.5?  D（答：C）； 2?

1?tan22.5

（2）命题P：tan(A?B)?0，命题Q：tanA?tanB?0，则P是Q的 A、充要条件 B、

充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知

37

）；（4）sin(???)cos??cos(???)sin??，

那么cos2?的

值为____（答：

525

100

的值是______（答：4）；(5)已知tan110?a，求tan50的值（用a表示）?sin101?a2

，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是

2a______（答：甲、乙都对）

7. 三角函数的化简、计算、证明

2?

1?

，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____5444

33

（答：）；（2）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(

)??，则y与x的

225

43

函数关系为______（答：y?x(?x?1)）

55

(2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值sin50(1

)（答：1）；（2）已知sin?cos?21

1,tan(???)??，求tan(??

2?)的值（答：）

1?cos

2?38

(3)公式变形使用设?

ABC中，tanA?tanB?AtanB，sinAcosA?（1）巧变角：（1）已知tan(???)?则此三角形是____三角形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升函数f(x)?5sinxcosx?x增区间为___________（答：[k??

2

x?R)的单调递?

12

,k??

5?

](k?Z)） 12

sin??tan?

（答：sin?）；（2）求证：

cot??csc?

11?tan2cos4x?2cos2x?

1?sin?；（答：1cos2x） （3）化简：?

21?2sin21?tan2tan(?x)sin2(?x)2244

322

(6)常值变换主要指“1”的变换已知tan??2，求sin??sin?cos??3cos?（答：）.

5

t2?1

(7)“知一求二”（1）若 sinx?cosx?t，则sinxcosx?   __（答：?)，特别提醒：

2

4?这里t?[；（2）若??(0,?),sin??cos??，求tan?的值。

（答：?）；

23

8、辅助角公式中辅助角的确定：（1）

若方程sinxx?c有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是

3

______(答：?)；（3）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?答：－

2

312

2)；（4）求值：??64sin20??________(答：32) 22

sin20?cos20?

9、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质：

31

（1）若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为，最小值为?，则a?__，b?＿（答：

226

1??

；（2）函数f(x)?sinx?3cosx（x?[?,]）的值域是____（答：a?,b?1或b??1）

222

[－1, 2]）；（3）若2?????，则y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是____ 、_____

(5)式子结构的转化（1）tan?(cos??sin?) ?

（答：7；－5）；（4）

函数f(x)?2cosxsin(x??x?sinxcosx的最小值是_____，

2

3

此时x＝__________（答：2；k??

12

；（5）己知sin?cos??(k?Z)）

1

，求t?sin?cos?2

122222

最小值（答：ymax?1，ymin?22?2）。

x

（3）周期性： (1)若f(x)?sin，则f(＝___（答：0）；1)?f(2)?(3)f???(200f3)

3

44

(2) 函数f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx的最小正周期为____（答：?）；(3) 设函数

的变化范围（答：[0,]）；（6）若sin??2sin??2cos?，求y?sin??sin?的最大、

f(x)?2x?)，若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立，则|x1?x2|的最小

25

值为____（答：2）

5??

2x?的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）2??

3

已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5)?______（答：－5）；

（4）奇偶性与对称性：（1）函数y?sin?

个单位，即得到函数y?2cos2x的图像。其中正确结论是_______（答：12

②④）；（5）已知函数f(x)?2sin(?x??)图象与直线y?1的交点中，距离最近两点间的距

离为，那么此函数的周期是_______（答：?）

3

，而y?sin2x,y?sinx的周期都是?, 但y?sinx?cosx的周期为2

1?

，(y3?|tanx)|的周期不变； y?|2sinx??)?y|,?|?sin2|

626

ABC中，若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C，判断?ABC的形状（答：直角

④图像向左平移三角形）。

（1）?ABC中，A、B的对边分别是a、

b，且A=60, a? b?4，那么满足条件的

；（2）在?ABC?ABC   A、 有一个解   B、有两个解  C、无解     D、不能确定（答：C）

中，A＞B是sinA?sinB成立的_____条件（答：充要）；（3）在?ABC中，

1

；(4)在?ABC中，a,b,c分别(1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____（答：?）2

是角A、B、C所对的边，若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则?C＝____（答：222?

；（5）在?ABC中，

若其面积S?，则?C=____（答：30）；（6）在?ABC60）

中，A?60, b?1，

则?ABC外接圆的直径是_______

（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C

的对边，a?A?的最大值为  （答：

；1B?C

b2?c2,则cos2

32

19

；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是;）32

6

． ?AOB,?BOC,?

COA的面积满足关系式S?AOB?S?BOC??COA，求?A（答：45?）

答：0?C?

）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若?C?75，且

19.求角的方法（1）若?,??(0,?)，且ant的值______（答：

则求???tan?是方程x2?5x?6?0的两根，?、

3?

）；（2）?ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1，则?C＝4?

_______（答：）；（3）若0???????2?且sin??sin??sin??0，

3

2?）. cos??cos??cos??0，求???的值（答：3

（1）向量的概念：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得

到的向量是_____（答：（3,0））

五、平面向量

1、向量有关概念：

下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，

终点相同。（3）若A，则A是平行四边形。（4）若是平行四边形，则BD?CAB?DC。BCDABCD

（5）若a?b,b?c，则a?c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））

1?3?

2、向量的表示方法：（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______（答：a?b）；

22?????

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. ???????????????13

e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10)    D. e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）；（3）

24????????????????????????

已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示

2?4?

为_____（答：a?b）；（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，

33

CD?rAB?sAC，则r?s的值是___（答：0）

4、实数与向量的积

5、平面向量的数量积：

（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________（答：－9）；

1?1???

（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为，则k等于____（答：1）；

224????????

b??3，则a?b等于____

（3）已知a?2,b?5,a?；（4）已知a,b是两个非零向

量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____（答：30?）

已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______（答：

12） 5

（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______

41（答：???或??0且??）；（2）已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若

33

1??

S?，则OF,FQ夹角?的取值范围是_________（答：(,)）；（3）已知2243

a?(cosx,sixnb)?,?????

(cyos,syian与b之间有关系式ka?b??kb,其中k?0，①用k表

k2?1??

示a?b；②求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角?的大小（答：①a?b?(k?0)；②

4k

最小值为

1?

，??60） 2

6、向量的运算： （1）几何运算：

（1）化简：①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____；

③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的边长

为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝_____

（答：；（3）若O是?ABC所在

平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形状为____（答：直角三角

形）；（4）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足

且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120）；

（2）坐标运算：（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?

|AP|

，则?的值为___（答：2）；（5）若点O是△ABC的外心，PA?BP?CP?0，设|PD|

＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：

1）；（2）已知2

1??????

；A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，则x?y?（答：或?）

22262?

（3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力F?F1?F2?F3的终点坐标是        （答：（9,1））

1???????????

设A(2,3),B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，则C、D的坐标分别是__________（答：

3

11

； (1,),(?7,9)）

3

已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝量、的夹角；（2）若x∈[?

，求向3

3??1

,]，函数f(x)???的最大值为，求?的值（答：842

1

； (1)150?

;(2)或1）

2???????

已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|＝_____

；  ??????????????

OP?xe?yee,e这样定义的：若12，其中12分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜

坐标为(x,y)。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆

心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x?y?xy?1?0）；

7、向量的运算律：下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；

如图，在平面斜坐标系xOy中，?xOy?60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是

22

③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,则

2?2?2??2?2???2?2?2a?bb

a?c；⑥a?a；⑦2?；⑧(a?b)?a?b；⑨(a?b)?a?2a?b?b。其中正确的

2

2

2

a

是______（答：①⑥⑨）

a

知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______（答：4）；（3）设????????????

PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）

3

(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，则m?       （答：）；（2）以原点

(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已

2

O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B?90?，则点B的坐标是________ （答：

(1,3)或（3，－1））；（3）已知n?(a,b),向量n?m，且n?m，则m的坐标是________ （答：

(b,?a)或(?b,a)）

10.线段的定比分点：

37

若点P分AB所成的比为，则A分BP所成的比为_______（答：?）

43

1

（2）已知A(a,0),B(3,2，直线y?ax与线段AB交于M，且AM?2MB，则a等于?a)

2

_______（答：２或－４）

11.平移公式：（1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，则按向量a把点(?7,2)平移到点______

（答：（－８，３））；（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是

1???7（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP??MN，则点P的坐标为_______（答：(?6,?)）；

33

y?cos2x?1，则a＝________（答：(?

4

,1)）

12、向量中一些常用的结论：

若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、   （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：(?

24

； ,)）

33

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足

OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

六、不等式   1、不等式的性质：

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a?b,则ac?bc②若ac?bc,则a?b；③若a?b?0,则a?ab?b；④若a?b?0,则

2

2

2

2

2

2

；

11

；ab

baab

⑤若a?b?0,则?；  ⑥若a?b?0,则a?b；⑦若c?a?b?0,则；?

abc?ac?b11

⑧若a?b,?，则a?0,b?0。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；

ab

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______（答：1?3x?y?7）；

2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小（答：当

444

1+logx3＞2logx2；当1?x?时，1+logx3＜2logx2；当x?时，0?x?1或x?时，333

1+logx3＝2logx2）

3. 利用重要不等式求函数最值

21

（1）下列命题中正确的是A、y?x?的最小值是2    B

、y?的最小值是2

x44

C、y?2?3x?(x?

0)的最大值是2?    D、y?2?3x?(x?

0)的最小值是

xx

xy

2?C）；（2）若x?2y?1，则2?4的最小值是______

（答：；（3）正数

11

； x,y满足x?2y?1，则?的最小值为______

（答：3?xy

4.常用不等式有：如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_____（答：

9,???）

5、证明不等式的方法：

（1）已知a?b?c，求证：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；(2) 已知a,b,c?R，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；（3）已知a,b,x,y?R，且证：

2

2

2

2

2

2

222222

11

,x?y，求ab

xy222222

；(4)已知a,b,c?R，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)； ?

x?ay?b

2

6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式(x?1)(x?2)?0。（答：{x|x?1或

；（2）

不等式(x??0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；（3）x??2}）

设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为

；（4）要使满足关于x的?，则不等式f(x)?g(x)?0的解集为____（答：(??,1)?[2,??)）

不等式2x?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式

2

x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是_____.（答：[7,

7.分式不等式的解法：（1）解不等式

81

)） 8

5?x

； ??1（答：(?1,1)?(2,3)）

x2?2x?3

ax?b

（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式?0的解集

x?2

为____________（答：(??,?1)?(2,??)）.

8.绝对值不等式的解法：解不等式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)?(2,??)）；若不等式

4

（答：}） |3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。

3

22

9、含参不等式的解法：（1）若loga?1，则a的取值范围是_____（答：；a?1或0?a?）

33

ax21

x(a?R)（答：a?0时，{x|x?0}；a?0时，{x|x?或x?0}；（2）解不等式

ax?1a1

；（3）关于x的不等式ax?b?0 的解集为(??,1)，则不a?0时，{x|?x?0}或x?0}）

a

x?2等式（－1,2）） ?0的解集为__________（答：

ax?b

22

11.恒成立问题（1）设实数x,y满足x?(y?1)?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______

（答：1,??）；（2）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a2

的取值范围_____（答：a?1）；（3）若不等式2x?1?m(x?1)对满足m?2的所有m都成

7?13?1(?1)n?1n立，则x的取值范围_____（答：（,））；（4）若不等式(?1)a?2?对

22n

点P关于直线x?y?0对称，则点Q的坐标为_______（答：(b,a)）；（2）已知直线l1与l2的夹角平分线为y?x，若l1的方程为ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________（答：；（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________bx?ay?c?0）（答：y=3x＋3）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：；18x＋y?51?0）（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：2x?9y?65?0）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知A?x轴，B?l:y?x，C（2，1），?ABC周长的最小值为______

。

9、简单的线性规划： 已知点A（—2，4），B（4，2），且直线l:y?kx?2与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________（答：?－?，－3???1，＋??）

（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件

1

||xy||??1

下，取最小值的最优解是____（答：

（－1，1））；（2）点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________（答：

2

）；（3）不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如3

x?y?2?0

果实数x,y满足?x?y?4?0，则z?|x?2y?4|的最大值_________（答：21）

2x?y?5?0t?

10、圆的方程：

（1）圆C与圆(x?1)?y?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________（答：

2

2

x2?(y?1)2?1）；（2）圆心在直线2x?y?3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是

__________（答：(x?3)?(y?3)?9或(x?1)?(y?1)?1）；（3）

已知P(?是圆

2

2

2

2

x?rcos?（?为参数，0???2?)上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的?值

y?rsin?

2?

22

为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：x?y＝4；；x?4?0）；

3

（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____

1２

（答：[0，2]）；（5）方程x2+y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：；k?）

2

x?3cos?（?为参数，0????)}，N??(x,y)|y?x?b?，若

（6）若M?{(x,y)|

y?3sin?

M?N??，则b的取值范围是_________

（答：－）

11、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：|a|?

２

1

） 13

12、直线与圆的位置关系：（1）圆2x?2y?1与直线xsin??y?1?0(??R,??

22

2

22

；（2）若直线ax?by?3?0与圆x?y?4x?1?0切k?z)的位置关系为____（答：相离）

k?，

于点P(?1,2)，则ab的值____（答：2）；（3）直线x?2y?0被曲线x?y?6x?2y?15?0所截得的弦长等于

（答：；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是4）；（5）已知M(a,b)(ab?0)是圆O:x?y?r

2

22

222

内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax?by?r，则A．m//l，且l与圆相交   B．l?m，且l与圆相交  C．m//l，且l与圆相离    D．l?m，且l与圆相离（答：

22

C）；（6）已知圆C：x?(y?1)?5，直线L：mx?y?1?m?0。①求证：对m?R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B

两点，若AB?L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60?或120?  ③最长：y?1，最短：x?1）

13、圆与圆的位置关系

x2y2

双曲线2?2?1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别

ab

以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为    （答：内切）

14、圆的切线与弦长：

设A为圆(x?1)?y?1上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：(x?1)?y?2）； （2）弦长问题：  八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF1?PF2?4 B．PF1?PF2?6 C．PF1?PF2?10        D．PF1

2

22

22

PF2

2

12（答：C）

程

表8示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2?

x2

（2）第二定义已知点Q(22,0)及抛物线y?上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是

4

_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程

x2y2

（1）椭圆：（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：

3?k2?k

1122

；（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x?y(?3,?)?(?,2)）

22

的最小值是___

2）

x2y25

（2）双曲线：（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲

942

x2

线的方程_______（答：；（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，?y2?1）

4

离心率e?2的双曲线C过点P(4,?)，则C的方程为_______（答：x2?y2?6）

（3）抛物线：

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

x2y2

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：椭圆：已知方程

m?12?m

3

(??,?1)?(1,)）

2

4.圆锥曲线的几何性质：

25x2y2（1）椭圆（1）若椭圆，则m的值是__（答：3或）；（2）??1的离心率e?

35m5

以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

（2）双曲线（1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______

（答：

122或）；（2）双曲线ax?by?

1a:b4或）；2

34

x2y2

（3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值

ab

范围是________（答：[

；  ,]）

32

2

（3）抛物线；设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为________（答：(0,

1

； )）16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：

ab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

22

（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______

x2y2??1恒有公共点，则m的取值范围（答：(-,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆

35m

x2y2

是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线??1的右焦点直线交双曲线于

12

A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；

x2y2

（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

ab

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲

线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；

（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（1）过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有______

2

x2y2

（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916

y2?42

______

（答：??,；（3）过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B）

32????

两点，若AB?4，则满足条件的直线l有____条（答：3）；（4）对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：

2

（答：相离）；（5）过抛物线y?4x的焦点Fy0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______

2

作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

11

_______（答：pq

x2y2

1）；（6）设双曲线??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右

169

准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：

等于）；（7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x

2y?16?0的最短距离（答：

2

2

）；（8）13

直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：

①；②a??1）；

x2y2

7、焦半径（1）已知椭圆??1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线

2516

352

）；（2）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于3

5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M

x2y2

的坐标为_____（答：7,(2,?4)）；（4）点P在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它到

259252

右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；（5）抛物线y?2x上的两点A、

12

x2y2

B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆??1

43

内有一点P(1,?1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP?2MF 之值最小，则点M的坐

的距离为____（答：标为_______（答：(

26

； ,?1)）

3

8、焦点三角形（1）短轴长为5，离心率e?

2

的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线3

交椭圆于A、B两点，则?ABF2的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线

x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为椭圆的方程为           （答：x?y?4）；（3）椭圆94

→→

）上的动点，当PF2 ·PF1 <0时，点P的横坐标的取值范围是

（答：(；（4）6

双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支

2

交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________

（答：；（5）

2

2

已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60，

S?PF1F2

x2y2

123．求该双曲线的标准方程（答：??1）；

412

2

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：                     10、弦长公式：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线y?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；

x2y2

11、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆??1弦被点A（4，2）平分，那么这

369

条弦所在的直线方程是        （答：x?2y?8?0）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆x2y2

2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭2ab

x2y2

圆的离心率为_______

（答：）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆??1上有不

243

同的两点关于直线y?4

x?m对称（答：?；

）??

特别提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！

12．你了解下列结论吗？

x2y2

与双曲线??1有共同的渐近线，且过点(?3,23)的双曲线方程为_______（答：

916

4x2y2

1） 94

13．动点轨迹方程：

已知动点P到定点F(1,0)和直线x?3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：

y2??12(x?4)(3?x?4)或y2?4x(0?x?3)）；

线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m?0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以

x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（

答：

y2?2x）；

(1)由动点P向圆x?y?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为

2

2

2

2

2

（答：x?y?4）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它

2

22

到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y?16x）；(3) 一动圆与两圆⊙M：x?y?1和⊙N：x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

动点P是抛物线y?2x?1上任一点，定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2，则M的

1

轨迹方程为__________（答：y?6x2?）；

3

（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点使|OP||?MN|P，

，求点P的轨迹。（答：x?y?a|y|）；（2）若点P(x1,y1)在圆x?y?1

2

2

2

2

2

22

上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是____（答：y?2x?1(|x|?)）；（3）过抛物

1

2

果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：①过点P一定可以作直线l与ａ、ｂ都相交； ②过点P一定可以作直线l与ａ、ｂ都垂直；③过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行； ④过点P一定可以作直线l与ａ、ｂ都平行。其中正确的结论是_____（答：②）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____（答：

24）；（6）已知平面??平面??a,b??,b?a?A,c??且c//a,求证：b、c是异面直线．

5、异面直线所成角?的求法：（1）正四棱锥P?ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，3

M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线a,b所成的角为?

3，且直线c?a，则异面直线b,c所成角的范围是____（答：[??； ,]）62

6、异面直线的距离的概念：（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，C1D使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（2）如图，在正方体BABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点A1

所连接的直线中，与EF平行的直线有____条（答：1）； DC7直线与平面的位置关系：（1）下列命题中，正确的是 Ａ、若直线a平行于平

F面?内的一条直线b , 则 a// ? Ｂ、若直线a垂直于平面?的斜线b在平面?内AB的射影，则a⊥b  Ｃ、若直线a垂直于平面?,直线b是平面?的斜线，则a与

b是异面直线  Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________（答：线段B1C）。

10、直线与平面平行的判定和性质：

（1）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β，a⊥β      B、α∩β＝b，且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且a?β（答：D）；

（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。

11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）如果命题“若x?y,y∥z，则x?z”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是  A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂ?α，ｃ?α  B、a⊥b ，ｂ∥α C、α⊥β，ａ∥β  D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：

D）；（3）AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF。

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