2001年第11期数学通报39
“两二次曲线相切”甘“△=0”?
丁根雄(浙江省桐庐中学311500)
1楔子
例1对。的不同取值讨论圆+y一2ax
+o—1=0与抛物线y={的交点个数．
解把y2={代入圆的方程，可得△=
174—2a,由△：0得n：等，此时圆与抛物线相
内切，由圆的运动位置易得：
J
．
＼
(1)当1
(2)当o=1时，两曲线有3个交点；
(3)当『。I<1或。=等时，两曲线有2个
交点；
(4)当o=一1时，两曲线有1个交点
(5)当。<一1或。>导时，_两曲线没有交
点．
2疑点
(1)由图可知当。=一1时，圆与抛物线相切
当n=1时，圆与抛物线有3个交点，其中一个是
切点，为什么由／"x=0仅得到。=这一种相
切的情形?
f+y+2x=0
(2当Ⅱ=一时，由i：1得：
X2+喜：0，此时△：25>0；当。：1时，由
{x：2+：3—,2i_=01得：一号：0，此时：{2得：一{=，此时△=【y=
9>0．判别式大于零，怎么可能相切呢?
例2取何值时，曲线+萼：1
与2=6(一号)有交点?
解由{：：解由(：
Y=6(x一
／
、，
八／．＼
＼
f—m≤2(1
lIyI≤√3(2)
1≥{(3)
【△=(8—2m)一4(m2—16)≥0(4)
由(4)式得：m≤4，又由式得：=m一4
±—=—i，结合(3)式有：
：m一4±、厂≥—÷，因m≤4，
所以m一4+≥．
j—
1≤m≤{，此时(1)(2)同时得到满
足，于是当一1≤m≤{时两曲线有交点．显
然，△：o时，m=4，因4匠【一1，7】，所以两
曲线此时无交点，所以两曲线不可能相切．
2001年第11期数学通报
(2)△=0是否两曲线相切的必要条件?
在例1中，取n=l或一1，圆与抛物线相切，但
△的值分别为与罟；在例2中，取m—1或
{，椭圆与抛物线相切，△的值分别为144与16
(3)两二次曲线相切的必要条件是：△=
0(△r=0)或△=0(△=0)．
让找们来考察：
f+Y一2ax+Ⅱ一1=0
{，1．消去得：
【Y
4+(1—4a)Y+n—1：0．
若把。=一1代人，得：y2(4y+5)：v
=0j△=o2—4×1X0=0；
若把o=1代人，得：(4y一3)=0r=
0或Y=±，其中方程=0的判别式△=o2
—4×1X0=0．
f_二+25—1
叉考察{广6f：)一，消去得：l广=I一号J
+(66—12m)+36m．一108m一63：0．
若把m=一{代人，得：(y+72)=0
=0j△=o2—4X1x0=0．
若把m={代人，得：y2(+24)=0y=
△=o2—4x1×0=0．
再考察1[-
(
x
2+
一
y2)=1
+(一)z：1．消去
得：2312—2y+1=△=0；消去得：2
一24''2+l=△：0
．
事实上，按两曲线相切的定义可知．两曲线的
切点，就是两曲线的二重交点．两二次曲线的方程
l厂(，Y)=0与g(，Y)=0联立求解得切点的坐
标P(0，y0)，其中横坐标0与纵坐标至少有
一个是二重根，否则就不是二重交点，即由
{厂【c’．00消去或分别得到关于或的方
程．或通过对坐标系进行适当的平移、旋转，至少
可把，(，y)=0与g(，Y)=0中的一个化成标
准形式，然后消元，得到关于r或的方程．因为
每一个实系数多项式都可以分解为实系数的一次
或二次不可约因式的乘积，又两曲线有切点，即有
二重交点，所以必能得到一个关于Y(Y)或()
的一元二次方程．从而△(△一)或△(△-)中
至少有一个等于零．于是两二次曲线相切的必要
条件是△=0(△r=0)或△=0(△-=0)．
(4)两二次曲线相切的充分条件是△=
0(△，=0)或△=0(△=0)?
答案显然是否定的，如例2，当m=4时，△
=0，但两曲线无交点，两曲线就不可能相切了
4反思
如何求解此类问题比较好?仅用判别式求解
一般较繁(如例2)，用数形结合法是一种较为理
想的方法(如例1)，另外利用公切线求解也可以
(如例3)．
例3当。为何值时，两曲线=一Y+{与
=一+。(。>0)有切点?
解设两曲线在P(x0．Yo)处相切．则在点
P处两曲线的切线为公切线，此时两切线方程分褂
为：y=一1一XO+得y=一2+2n—
故有：
f一2。=一(斜率相同)，
{一2yo5=2一(>O,y轴上截距相等)，
【知：一+丢(P。在曲线上)．
一得
…1：
当。={，=1时，可求得n=；
：椭：时．可求得。：
4√2+1
4。
所以当。=17或n
=时，两曲线有
切点，切点坐标分别为(，)与
({，，)．
参考文棘
I陈正光等高中总复习优化{i}计(数学)津津教育出版社，1999
2{壬樟辉敫学思维论．南宁：广西教育出版社．1990
3江苏师范学院敫学系解析几何．北京：高等教育出版社．1982
4张禾瑞等．高等代数北京：人民教育出版牡，I卿
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