离散型随机变量数学期望的几种求法
江智利135300吉林省柳河县第九中学
摘要：通常情况下，我们都用定义法求离散型随机变量的数学期望，有时候，要求的分布列是很困难的、复杂的，即使分布列能求出,但这个和也比较难求。因此,寻找其它解决离散型随机变量数学期望的求法是必要的。本文详细讨论了离散型随机变量数学期望的几种求法，并比较各种方法的差异。
关键词：离散型随即变量；数学期望；概率分布。
Thedivedingmethodofcalculatingexpectofthedispersed
randomvariables
NO.nineMiddleschool,DepartmentofMathematicsJiangzhili
Abstrct:Oldinarly,wecalculateexpectofthedispersedrandomvariablesbydefinition.butsometimes,Itisdiffculttogetsepquenceofdistributionsandevenifwegettheexpect:.Thesumisalsohardtoget.Inthispaper.wemainlydiscussthemethodofcaculatingtheexpectationofdiscreterandomvariable.compareeverymethod.
Keywords:thedispersedrandomvariables;expect;
数学期望是随机变量的重要数字特征，反映了随机变量取值的平均情况，一般概率论书仅给出定义，而不少问题的均值用定义求解较繁杂。本文给出数学期望的其他几种求法及技巧。
1.定义法
例1.若随机变量服从二项分布,试求它的数学期望.
解:这时
所以=
=
=
例2.质点在轴上从点作随机游动,若第次往右移动一个单位距离(令位移距离变量=1)的概率为,左移一个单位距离(令=-1)的概率为<0,,且各次游动相互独立,经过次游动,质点所处的位置为,求的均值.
解:由于为质点随机游动,次后的质点位置,
所以=,,.这里与的奇偶性相同,=,意味着向右移动次,向左移动次
=2
=2=
注：定义法是一种最基本的方法，当随机变量是离散的，要求它的数学期望值，根据公式，只需求得随机变量取值及其分布列就可以了。该方法思路明确，但有时候求分布列是不容易的，且运算比较麻烦。
2．巧用对称性
例3一副扑克牌共有张，其中有3张K，随机洗牌后，从顶上开始一张接一张的翻牌，直到第二张K出现为止。试求翻过牌数的平均值。
解：设=“从顶上翻过的牌数”，=“从底下翻过的牌数”。由对称性知与的分布完全相同，则=，而+=+1，有+=+1，故==。
例个正随机变量,…,独立同分布,则<时有=。
解：由对称性可知=。而==
故=
注：本题若用数学期望的定义来求，须先求出的概率分布，再套用定义，其计算较复杂，而利用对称性很轻松地即可解得，还给人一种美的享受。
．分解随机变量法
例将只球（-号）随机地放进只盒子（-号）中去，一个盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记为总的配对数，求（）。
解：令（=1,2,…,5）则
=
由于一共有个盒子，所以第个球放在第个盒子中的概率为，从而的分布列为：
01
1-=1，2，…，
所以（=1，2，…，）
注:本例题如果用先的分布列的方法来求()显然是麻烦的,而表示的是配对数,是与计数有关的随机变量,因此,我们采用分解的方法来求出的数学期望()是比较简捷的.
例一客车载有位乘客,自始发站开出,乘客有个车站可以下车.如果到达一站没有乘客下车就不停车,以表示停车的次数,求().(设每位乘客在各个车站下车是等可能的,并且设各个乘客是否下车是相互独立的)
解：令
因为任一位乘客在第个车站不下车的概率为（因为共有个车站），而各乘客是否下车是相互独立的，一共有3位乘客，所以第个车站无人下车的概率为，从而的分布列为：
01
1-=1，2，…，
…,
根据数学期望的性质：
而…,
所以
注：从例和例可以看到，离散型随机变量分解的方法的确是求离散型随机变量的数学期望的简捷方便的方法之一。
．利用微分法求解
例设随机变量服从几何分布（，），求。
解：因为
根据概率分布的性质得
两边对求导数，得
即
因此
注：本题随机变量的分布列中含有参数，因此，我们对概率分布的性质两边关于参数求导来解决问题，从而达到求解的目的.
．套用公式法
例从装有黑、白、红球各一个的袋子中任意地摸球，每次摸后都把球放回袋子中，直至三种颜色的球都出现为止.求平均摸球次数.
解:设需要摸球次数为,
=“摸了()次还没有摸到黑球”,
=“摸了()次还没有摸到白球”,
=“摸了()次还没有摸到红球”.
则()等价于摸了()次至少还有一种颜色的球没有摸到,
于是有,,
.
由三事件加法公式得:
而
故
=
=
例在贝努力实验中,每次实验成功的概率为,实验进行到成功与失败均出现时停止,求平均实验次数.
解:设成功与失败均出现时的实验次数为,则
…，（）
=
=
=
注:对于某些随机变量直接求其概率分布比较困难,而求比较容易,则可套用上述公式求得期望值.
．利用期望性质法
我们仍以例2的求解来说明这种方法。
解：由于质点的每步移动都是相互独立的，并且是同分布的，即每一步的数学期望为,则
这种方法是形象思维的一个例子,非常直观,该种方法大大简化了题目:把看作质点所走过的路程,质点所处的位置看作质点的位移,每走一个单位路程,它的位移平均值为,由数学期望的性质可知,步的位移平均值应为.
以上六种方法，每一种方法都有自己的独特之处，充分显示了各种方法之间以及与定义法的差异性。
本文在述写过程中，得到了殷烁老师的热心帮助，大力支持，特此表示衷心的感谢。
参考文献：
[1]徐传胜.离散型随机变量数学期望的求法探究[J]
[2]李秀珍.离散型随机变量数学期望的求解方法[J].2000年
[3]吴庆丰.玉林师范学院学报第3期.2006年
[4]魏宗舒.概率论与数理统计教程.北京.高等教育出版社
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