111
二、（本小题满分40分）设S?1?????(n?N).证明:对任意m∈N,存在n∈N,使得[S]=m.
n
n
23n
1
??
证明:当m=1时,[S]=1;当m=2时,[S]=2;当m≥3时,对满足0≤a14
0
??
b?a
??
1
S
则N?.对?正整数m>和?正整数k>N,若都S?m?a,S?m?b,则S?S?b?a.但
0
0Nk?1kkk?1
0
b?a
11
S
k>N时S?S???b?a,矛盾!.故对任意正整数m>总存在正整数n,使得n>N时有
00
kk?1N
0
kN
0
m?m?a?S?m?b?m?1.所以[S]=m.
n
n
三、（本小题满分50分）试求所有的正整数n，使得存在正整数数列aa????a，使得和
12n
aa??1i?j?n互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.
??
ij
4
解：所求的n为k，其中k为正整数.我们用m表示aa,,?,a中模4余i的个数，i?1,2,3,4.注意到，若
i12n
aa,,?,a满足题设条件，则aa??1,1,?,a?1也满足题设条件，故可不妨设mm??m?m.
12n12n1324
22
?
CC???mmT
mm24
13
?
22
CC???mmT
1?
2mm13
24
记T?C，考察aa??ij模4不同类中的项数，有……（）
??
?
nij
4
mm??mmT
?
1423
?
mm??mmT
?1234
2
22
所以2Tm??mm?m?C?C故mm??m?m?mm??m?m.
????????????
??
1324mm??mm13241324
1324
22
kk?kk?
2
令km??m?m?m?0，则有mm??，mm??，nk?.另一方面，由（）
????
13241324
22
22
知，mm??mm?0，mm??m?m?k，由于n为正整数，则k?1，从而mm??0，
????????
1324132424
424242
??
2ll?ll??22ll??ll
2
且mm??k，令lm??m，则kl?，mm??，mm,,?
????
13132413??
444
??
4242
??
ll??22ll??ll
24
或,，满足条件（）.故nk??l满足题设条件.
??
44
??
4
综上所述，所求的n为k，其中k为正整数.
四、解：考虑一般情形，集合S由n?4个点构成，满足任意四点不共面.正整数m满足条件：在任意线
段上标上一个?m的非负整数，使得由S中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且
这个数字小于第三边上的数字.记r为线段上被标数字不同的数目，则rm??1.下面我们用数学归纳法证明：
rn?log.当n?4时，结论平凡；对n?4，取标上数字最小的边AB，记为数字d.任取异于AB,的点CS?，
2
则AC或BC边上的数字恰有一个为d.记PC??|,ACdC?S?A，QC??|,BCdC?S?B.
????????
nn
不妨设P?.由归纳假设知，对P中被标数字的数目??loglogn?1，因为d是被标记数字中最小的，
22
22
故rn??log1?1?logn.故结论成立.特别地，当n?2014时，有r?log2014，从而r?11.
??
222
从而m?10.下证，m的最小值为10.记这2014个点分别为1,2,?,2014，我们标记线段ij(i?j)上的数字为
t
t，其中t为满足2|i?j的最大非负整数.因为ij,?2014，所以t?10.现设ij,,k为任意不同的三点，若线
ss
段ij,ik被标记为同一数字s，则ij??2a，ik??2b，这里ab,均为奇数，于是
s
j??ki?k?j?k?2(b?a)，由于b?a为偶数，知线段jk上标记的数字大于s，满足题设条件；若
????
ts
线段ij,ik标记为不同的数字ts,(t?s)，则ij??2a，ik??2b，这里ab,均为奇数，于是
ts?tst?
j??ki?k?j?k?2(2b?a)，由于2ba?为奇数，知线段jk上标记的数字为t，满足题设条件.
????
综上所述，m的最小值为10. |
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