圆锥曲线经典解答题汇编
目录
1.轨迹问题................................................................................................................................................................................1
2.中点弦及弦长公式的运用....................................................................................................................................................5
3.最值问题................................................................................................................................................................................9
4.面积问题...............................................................................................................................................................................11
5.求解参数范围问题..............................................................................................................................................................14
6.对垂直的处理......................................................................................................................................................................15
7.比例问题..............................................................................................................................................................................18
8.直线过定点或多点共线问题..............................................................................................................................................20
9.定值问题..............................................................................................................................................................................21
10.相切与公共切线问题........................................................................................................................................................25
1.轨迹问题
1.如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹
解：（1）设M（y20,y0），直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为－k，方程为200().yykxy???
∴由200
2
()yykxy
yx
??????
???
，消200(1)0xkyyyky????得
解得200
21(1),FFkykyyxkk?????
∴
00
220
0002
22
112
1
4(1)(1)2EFEFEF
kyky
yykkkk
kykykyxxy
kkk
???
???????
?????(定值)
所以直线EF的斜率为定值
（2）90,45,1,EMFMABk?????当时所以直线ME的方程为200()yykxy???
由200
2
yyxy
yx
??????
???
得200((1),1)Eyy??
同理可得200((1),(1)).Fyy???
设重心G（x,y），则有
2222
0000
0000
(1)(1)23
333
(1)(1)
333
MEF
MEF
yyyyxxxx
yyyyxxxx
????????????
??
???????????
??
消去参数0y得2122().9273yxx???
x
y
OA
B
E
F
M
2.已知椭圆)0(1
2
2
2
2????babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF?
点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022???TFTFPT
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF??||
1
；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为).,(yx
由P),(yx在椭圆上，得
2222222
12||()()().bcFPxcyxcbxaxaa?????????
由0,??????acxacaax知，所以.||
1xacaPF??
………3分
证法二：设点P的坐标为).,(yx记,||,||2211rPFrPF??
则.)(,)(222221ycxrycxr??????
由.||,4,2
11222121xacarPFcxrrarr???????得
证法三：设点P的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0??xaca
由椭圆第二定义得
accaxPF??||||21
，即.||||||2
1xacacaxacPF????
由0,???????acxacaax知，所以.||
1xacaPF??
…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为).,(yx
当0||?PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|0||0|2??TFPT且时，由0||||2??TFPT，得2TFPT?.
又||||2PFPQ?，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，aQFOT??||21||
1
，所以有.222ayx??
综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx??…………………………7分
解法二：设点T的坐标为).,(yx当0||?PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|0||0|2??TFPT且时，由02??TFPT，得2TFPT?.
又||||2PFPQ?，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（yx??,），则
???
???
?
??
???
.2
,2
yy
cxx
因此
????????.2,2yycxx
①
由aQF2||1?得.4)(222aycx?????②
将①代入②，可得.222ayx??
综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx??……………………7分
3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yx?上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO?．
（Ⅰ）求AOB?得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）AOB?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
③
④
解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则
???
???
?
??
??
3
3
21
21
yyy
xxx
…（1）
∵OA⊥OB∴1???OBOAkk,即12121???yyxx，……(2)
又点A，B在抛物线上，有222211,xyxy??，代入（2）化简得121??xx
∴32332)3(31]2)[(31)(31322
21221222121????????????xxxxxxxxyyy
所以重心为G的轨迹方程为3232??xy
（II）2
2212122222122212222212121))((21||||21yyyxyxxxyxyxOBOASAOB?????????
由（I）得66666
121211112222(1)2212222AOBSxxxx?????????????
当且仅当6261xx?即121????xx时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
4.如图，动圆2221:Cxyt??,1
与椭圆2C：2219xy??相交于A，B，C，D四点，点12,AA分别为2C
的左，右顶点。
(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大
面积；
(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。
【解析】(Ⅰ)设A(0x，0y)，则矩形ABCD的面积S=004|||xy，
由220
019xy??
得，220
019xy??
，
∴2200xy=220
0(1)9xx?
=22
0199()924x???
，
x
y
O
A
B
当2
092x?
，2
012y?
时，maxS=6，
∴t=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.
(Ⅱ)设????1111,,,-AxyBxy，又知????12-3,0,3,0AA，则
直线1AA的方程为??1
1=+3+3
yyxx①
直线2AB的方程为??1
1
-=-3-3yyxx②
由①②得??22221
221-=-3-3yyxx
③
由点??11,Axy在椭圆0C上，故可得21
12+=13xy
，从而有221
12=1-3xy??????
，代入③得
??22-=1<-3,<09xyxy
∴直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程为??22-=1<-3,<09xyxy……12分
5.如图，动点M到两定点(1,0)A?、(2,0)B构成MAB?，且2MBAMAB???，设动点M的轨迹为C。
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线2yxm???与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR?，求||
||PRPQ
的取值范围。
y
xBAO
M
【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方
程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想
[解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,0?y.
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，,±3）
当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=MABMAB???
2tan1tan2
,即2)1||(1
1
||2
2
||
??
??
??
x
yx
y
x
y
化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）
综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分
(II)由方程
??
???????0332
22yx
mxy消去y，可得03422????mmxx。（）
由题意，方程（）有两根且均在（1，+?）内，设34)(22????mmxxxf
所以
??
?
?
??
?
?
?
??????
?????
???
0)3(4)4(
0341)1(
1
2
4
22
22
mm
mmf
m
解得，m>1,且m?2
设Q、R的坐标分别为),(),,(00RRyxyx，由PRPQ?有
)1(32,)1(32202??????mmxmmxR
所以
)11(32
41
)11(32
)11(32
)1(32
)1(32
22
2
2
2
mm
m
mm
mm
x
x
PQ
PR
Q
R
??
???
??
??
???????
由m>1，且m?2，有
.7
m
1132
41,347
)11(32
411
22
?
??
????
??
???
）（
且
m
所以
PQPR
的取值范围是??)347,7(7,1??
2.中点弦及弦长公式的运用
6.设A、B是椭圆???223yx上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于
C、D两点.
（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为??????223,3)1(yxxky代入，整理得
.0)3()3(2)3(222????????kxkkxk①
设是方程则212211,),,(),,(xxyxByxA①的两个不同的根，0])3(3)3([422???????kk?②
)3,1(.3)3(2221Nkkkxx由且????是线段AB的中点，得.3)3(,12221??????kkkxx
解得k=-1，代入②得，?>12，即?的取值范围是（12，+?）.
于是，直线AB的方程为.04),1(3???????yxxy即
解法2：设则有),,(),,(2211yxByxA
.0))(())((33,3212121212
222
2121???????
????
?
??
??yyyyxxxx
yx
yx
?
?
依题意，.)(3,
21
2121yyxxkxxAB??????
.04即),1(3的方程为直线
).,12(的取值范围是
.12313,在椭圆内)3,1(又由
.1从而,6,2,的中点是)3,1(
22
2121
???????
???
????
???????
yxxyAB
N
kyyxxABNAB
?
?
?
（II）解法1：.02,13,???????yxxyCDABCD即的方程为直线垂直平分?代入椭圆方程，整理得
.04442?????xx③
是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(xxyxMCDyxDyxC③的两根，
3403400113131,(),2,(,).22222xxxxxyxM????????????且即
于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||
432????????xxkCD
④
将直线AB的方程代入椭圆方程得,04???yx.016842?????xx⑤
同理可得.)12(2||1||212???????xxkAB⑥
.||||.,)12(2)3(2,12CDAB?????????时当?
假设在在?>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为
.2232|42
3
2
1|
2
|4|00????????yxd⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
.|2|2321229|2|||||22222CDABdMBMA???????????
故当12??时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，2||CD为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆?△ACD为直角三角形，A为直角即|,|||||2DNCNAN???
).2||)(2||()2||(2dCDdCDAB???⑧
由⑥式知，⑧式左边=.212??
由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(??????,122923???????
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆
7.如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，12）到抛物线C：2y=2px（P＞0）的准线的距离为54。点M（t，1）
是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。
（1）求p,t的值。
（2）求△ABP面积的最大值。
【解析】
（1）由题意得215
124
pt
p
???
????
?
，得12
1
p
t
???
???
?
.
（2）设??1122(,),,AxyBxy，线段AB的中点坐标为(,)Qmm
由题意得，设直线AB的斜率为k（k0?）.
由211
222
2px
2px
y
y
????
???
，得211221()()()yyyykxx????，得21km??
所以直线的方程为1()2ymxmm???，即2220xmymm????.
由2
2
220xmymmyx????????
??
，整理得22220ymymm????，
所以244mm??，122yym??，2122yymm??.从而得
22122111444AByymmmk??????，
设点P到直线AB的距离为d，则
2
2
122
14
mmd
m
???
?
，设?ABP的面积为S，则22112()2SABdmmmm???????.
由2440mm????，得01m??.
令2tmm??，102t??，则2(12)Stt??.
设2(12)Stt??，102t??，则216St???.
由2160St????，得610,
62t????????
，所以
max69S?
，故?ABP的面积的最大值为69.
8.己知斜率为1的直线l与双曲线C：??22
22100xyabab??＞，＞
相交于B、D两点，且BD的中点为??1,3M．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DFBF?，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【参考答案】
3.最值问题
9.如图，椭圆22:1(0)xyMab
ab????
的离心率为3
2
，直线xa??和yb??所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ)设直线:()lyxmm???R与椭圆M有两个不同的交点,,PQl与矩形ABCD有两个不同的交点,ST.求||
||PQST
的最大值及取得最大值时m的值.
【答案】(21)(I)22
23324cabeaa?????
……①
矩形ABCD面积为8，即228ab??……②
由①②解得：2,1ab??，
∴椭圆M的标准方程是221
4xy??
.
(II)222244,58440
,xyxmxmyxm????????????
，
设1122(,),(,)PxyQxy，则2
1212844,55mxxmxx?????
，
由226420(44)0mm?????得55m???.
22284442||245
555mPQmm????????????
.
当l过A点时，1m?，当l过C点时，1m??.
①当51m????时，有(1,1),(2,2),||2(3)SmTmSTm??????，
2
22||454461||5(3)5PQmSTmtt???????
，
其中3tm??，由此知当13
4t?
，即45,(5,1)
33tm??????
时，||
||PQST
取得最大值25
5
.
②由对称性，可知若15m??，则当5
3m?
时，||
||PQST
取得最大值25
5
.
③当11m???时，||22ST?，2||25
||5PQmST??
，
由此知，当0m?时，||
||PQST
取得最大值25
5
.
综上可知，当5
3m??
和0时，||
||PQST
取得最大值25
5
.
y
Q
P
N
M
F
Ox
4.面积问题
10.P、Q、M、N四点都在椭圆221
2yx??
上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与
FN共线，且0PFMF??．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一
条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1
将此式代入椭圆方程得(2+2k)2x+2kx－1=0
设P、Q两点的坐标分别为(1x，1y)，(2x，2y)，则
22
122222,22kkkkxxkk??????????
从而22222
1212228(1)||()()(2)kPQxxyyk???????
亦即2
222(1)||2kPQk???
(1)当k≠0时，MN的斜率为－1k，同上可推得
2
2
122(1(1))
||1
2()
kMN
k
??
?
??
故四边形面积
22
22
114(1)(1)4(2)
1||||
122(2)(2)52
kkkk
SPQMN
????
???
????
令u=2
21kk?
得4(2)12(1)5252uSuu??????
∵u=2
21kk?
≥2
当k=±1时u=2，S=169且S是以u为自变量的增函数∴1629S??
②当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2。∴S=12|PQ||MN|=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为169。
11.如图，21,FF分别是椭圆C：
2
2ax+
2
2by=1（0??ba）的左、右焦点，A是椭圆C
的顶点，B是直线2AF与椭圆C的另一个交点，1F?A2F=60°.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△ABF1的面积为403，求a,b的值.
【解析】（I）
1216022cFAFacea????????
（Ⅱ）设2BFm?；则12BFam??
在12BFF?中，22212122122cos120BFBFFFBFFF??????
2223(2)5ammaamma???????
1AFB?面积211133sin60()4032252
10,5,53
SFFABaaa
acb
???????????
????
12.如图，椭圆C：22+1xyab?(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线l
与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)求?ABP的面积取最大时直线l的方程．
【解析】(Ⅰ)由题：12cea??；(1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：22(2)1dc????10．(2)
由(1)(2)可解得：222431abc???，，．
∴所求椭圆C的方程为：22+143xy?．
(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝12x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝12x0．
∵A，B在椭圆上，
∴
22
0
220
+1233343
4422+1
43
AA
ABAB
AB
ABABBB
xy
xyyxxk
xxyyyxy
???
??????????????
???
?
．
设直线AB的方程为l：y＝﹣32xm?(m≠0)，
代入椭圆：
22
22
+143
33303
2
xy
xmxm
yxm
???
???????
???
?＝-
．
显然222(3)43(3)3(12)0mmm????????．
∴﹣12＜m＜12且m≠0．
由上又有：ABxx?＝m，AByy?＝233m?．
∴|AB|＝1ABk?|ABxx?|＝1ABk?2()4ABABxxxx??＝1ABk?24
3m?
．
∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：312
11ABABmmdkk????????
．
∴S?ABP＝12d|AB|＝12|m＋2|24
3m?
，
当|m＋2|＝24
3m?
，即m＝﹣3或m＝0(舍去)时，(S?ABP)max＝12．
此时直线l的方程y＝﹣3122x?．
13.已知以原点O为中心，??5,0F为右焦点的双曲线C的离心率52e?。
（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（II）如题（20）图，已知过点??11,Mxy的直线111:44lxxyy??与过点
??22,Nxy（其中2xx?）的直线222:44lxxyy??的交点E在双曲线
C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求OGH?的面积。
5.求解参数范围问题
14.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：2??kxy与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2??OBOA(其中O为原点)，求k的
取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为221xyab??).0,0(??ba
由已知得.1,2,2,32222?????bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322??yx
（Ⅱ）将得代入13222????yxkxy.0926)31(22????kxxk
由直线l与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
(62)36(13)36(1)0.
k
kkk
?????
?????????
即.13122??kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则
22629,,22,1313ABABABABkxxxxOAOBxxyykk??????????由得
而2(2)(2)(1)2()2ABABABABABABxxyyxxkxkxkxxkxx??????????
22
22296237(1)22.131331kkkkkkk??????????
于是2237392,0,3131kk???????即解此不等式得.3312??k②
由①、②得.1312??k故k的取值范围为33(1,)(,1).???
15.设??11Axy，，??22Bxy，两点在抛物线22yx?上，l是AB的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当12xx?取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。
解：（Ⅰ）FlFAFBAB????、两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是x轴的平行线，1200yy??，，依题意12yy，不同时为0
∴上述条件等价于????22121212120yyxxxxxx???????
∵12xx?∴上述条件等价于120xx??即当且仅当120xx??时，l经过抛物线的焦点F。
（Ⅱ）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为2yxb??；过点AB、的直线方程可写为12yxm???，
所以12xx、满足方程21202xxm???,得
1214xx???
AB、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m???，即132m?
设AB的中点N的坐标为??00xy，，则??
0121128xxx????
，
0011216yxmm?????
由Nl?，得11164mb????，于是551916163232bm????
即得l在y轴上截距的取值范围为9
32????????，
6.对垂直的处理
16.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22:21Cxy??
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若22MF?，求点M的坐标；
（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（2k?）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆221xy??相切，求证：OP⊥OQ
[解]（1）双曲线1:2
21
2??yCx，左焦点)0,(26?F.
设),(yxM，则22222262)3()(||?????xyxMF，……2分
由M是右支上一点，知22?x，所以223||22???xMF，得26?x.
所以)2,(26?M.……5分
（2）左顶点)0,(22?A，渐近线方程：xy2??.
过A与渐近线xy2?平行的直线方程为：)(222??xy，即12??xy.
解方程组
??
?
????122xyxy
，得
????
?
???214
2
yx
.……8分
所求平行四边形的面积为42||||??yOAS.……10分
（3）设直线PQ的方程是bkxy??.因直线与已知圆相切，故1
1||2??kb
，
即122??kb().
由
???????1222yxbkxy
，得012)2(222?????bkbxxk.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则
????
????
???
?
2
2
2
2121
2221
kb
kkbxxxx.
))((2121bkxbkxyy???，所以
2212122121)()1(bxxkbxxkyyxxOQOP????????
22222222221222)1)(1(kkbkbkkbk???????????
.
由()知0??OQOP，所以OP⊥OQ.
17.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为21,FF，线段的中点分别为21,BB，
且△21BAB是面积为4的直角三角形.
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过做直线l交椭圆于P，Q两点，使22QBPB?，求直线l的方程
【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综
合问题.
解：设所求椭圆的标准方程为??2210xyabab????，右焦点为??2,0Fc。
因12ABB是直角三角形，又12ABAB?,故12BAB?为直角，因此2OAOB?,得2cb?。
结合222cab??得2224bab??，故22225,4abcb??，所以离心率255cea??。
在12RtABB中，12OABB?，故
122122
122ABBcSBBOAOBOAbb????
由题设条件
124ABBS?
，得24b?，从而22520ab??。
因此所求椭圆的标准方程为：221204xy??
（2）由（1）知1(2,0),(2,0)BB?，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：2xmy??，代入椭
圆方程得??2254160mymy????，
设????1222,,,PxyQxy，则12,yy是上面方程的两根，因此
12245myym???
,
122165yym???
又????2112222,,2,BPxyBQxy????，所以
????22121222BPBQxxyy????
????121244mymyyy????
????212121416myymyy?????
??22
22
161161655mmmm???????
2
216645mm????
由21PBQB?,得220BPBQ?,即216640m??，解得2m??，
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：220xy???和220xy???。
7.比例问题
18.设椭圆C：221(0)xyabab????的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角
为60o,2AFFB?.
(I)求椭圆C的离心率；
(II)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.
解：
设1122(,),(,)AxyBxy，由题意知1y＜0，2y＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为3()yxc??，其中22cab??.
联立22
22
3(),
1
yxc
xy
ab
????
????
?
得22224(3)2330abybcyb????
解得22
1222223(2)3(2),33bcabcayyabab????????
因为2AFFB?，所以122yy??.
即22
22223(2)3(2)233bcabcaabab???????
得离心率23cea??.……6分
（Ⅱ）因为
21113AByy???
，所以2
2224315343abab???
.
由23ca?得53ba?.所以51544a?，得a=3，5b?.
椭圆C的方程为22195xy??.…
19.已知椭圆22
1:14xCy??
，椭圆2C以1C的长轴为短轴，且与1C有相同的离心率。
（1）求椭圆2C的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆1C和2C上，2OBOA?，求直线AB的方程。
【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆2C的方程为??22
2124yxaa???
，
其离心率为32，故2432aa??，则4a?．
故椭圆2C的方程为141622??xy．
（Ⅱ）解法一：AB，两点的坐标分别为????AABBxyxy，，，，
由2ABOA?及（Ⅰ）知，OAB，，三点共线且点AB，不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为kxy?．
将kxy?代入1422??yx中，得??44122??xk，所以
22414kxA??
，
将kxy?代入22+1164yx?中，得??22416kx??，所以2
2164Bxk??
，
又由2ABOA?，得224ABxx?，即
224116416kk???
．
解得1??k，故直线AB的方程为xy?或xy??．
解法二：AB，两点的坐标分别为????BBAAyxyx,,,，
由OAAB2?及（Ⅰ）知，OAB，，三点共线且点AB，不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为kxy?．
将kxy?代入1422??yx中，得??44122??xk，所以
22414kxA??
，
又由2ABOA?，得
224116kxB??
，
2
224116kky
B??
，
将22,BByx代入141622??xy中，得1414
2
2???kk，即22414kk???，
解得1??k，故直线AB的方程为xy?或xy??
8.直线过定点或多点共线问题
20.如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
解答：
（I）设1122(,),(,)AxyBxy；则2211222,2xpyxpy??
22222211221122
12121212
22()(2)0(2,,0)OAOBxyxypyypyyyypyyyypyy?????????????????
得：点,AB关于y轴对称
83(43,12),(43,12)OAOBABAB?????
代入抛物线E的方程得：22
2xpy???
抛物线E的方程为24xy?
（II）设20
0(,)4xPx
；则21142yxyx????
过点P的切线方程为2
00011()42yxxxx???
即2
001124yxxx??
令20
0
41(,1)2xyQx?????
设(0,)Mt满足：0MPMQ?及20
0004(,),(,1)2xMPxytMQtx??????
得：2204(2)(1)0tttx?????对00x?均成立
220,101tttt????????
以PQ为直径的圆恒过y轴上定点(0,1)M
21.已知曲线??????22:528Cmxmym?????R.
（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设4m?，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线4ykx??与
曲线C交于不同的两点M，N，直线1y?与直线BM交于点G，求证：A，G，N
三点共线.
解：（1）原曲线方程可化简得：22
188
52
xy
mm
??
??
由题意可得：
88
52
80
5
80
2
mm
m
m
??
???
?
??
??
?
??
???
，解得：75
2m??
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240kxkx????，
2=32(23)k??，解得：232k?
由韦达定理得：
21621MNkxxk???
①，
22421MNxxk??
，②
设(,4)NNNxkx?，(,4)MMMxkx?，(1)GGx，
MB方程为：62M
M
kxyxx???，则316M
M
xGkx???????，，
?316M
M
xAGxk?????????，，??2NNANxxk??，，
欲证AGN，，三点共线，只需证AG，AN共线
即3(2)
6MNNMxxkxxk????
成立，化简得：(3)6()MNMNkkxxxx????
将①②代入易知等式成立，则AGN，，三点共线得证。
9.定值问题
22.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB?
与(3,1)a??共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且(,)OMOAOBR???????，证明22???为定值。
解：设椭圆方程为)0,(),0(1
2
2
2
2cFbabyax????
则直线AB的方程为cxy??，代入1
2
2
2
2??byax，化简得02)(22222222?????bacacxaxba.
令A（11,yx），B22,(yx），则22222
121222222,.acacabxxxxabab??????
由1212(,),(3,1),OAOBxxyyaOAOB???????与a共线，得
,0)()(32121????xxyy又cxycxy????2211,，
.23,0)()2(3212121cxxxxcxx?????????
即232
22
2cbaca??，所以36.32222abacba?????，
故离心率.36??ace
（II）证明：（1）知223ba?，所以椭圆1
2
2
2
2??byax可化为.33222byx??
设(,)OMxy?，由已知得),,(),(),(2211yxyxyx????
??
??????.,
21
21xxyxxx????),(yxM?在椭圆上，.3)(3)(2221221byyxx?????????
即.3)3(2)3()3(221212222221212byyxxyxyx??????????①
由（1）知.21,23,232222
21cbcacxx????
2222
2
1222
2222
121212121212
3
8
3933()()43()330.
22
acabxxc
ab
xxyyxxxcxcxxxxccccc
???
?
?????????????
又222222212133,33byxbyx????，代入①得.122????
故22???为定值，定值为1.
23.抛物线C的方程为)0(2??aaxy，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线
C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足)10(012????????且kk.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足MABM??，证明线段PM的中点在y轴上；
解：（Ⅰ）由抛物线C的方程2axy?（0?a）得，焦点坐标为)41,0(a，准线方程为ay41??．
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为)(010xxkyy???，直线PB的方程为)(020xxkyy???．
点),(00yxP和点),(11yxA的坐标是方程组010
2
()yykxx
yax
??????
???
①
②
的解．将②式代入①式得
000112????yxkxkax，于是akxx101??，故011xakx??③
又点),(00yxP和点),(22yxB的坐标是方程组020
2
()yykxx
yax
??????
???
④
⑤
的解．将⑤式代入④式得
000222????yxkxkax．于是220kxxa??，故220kxxa??．
由已知得，12kk???，则
012xkax????
．⑥
设点M的坐标为),(MMyx，由BMMA??，则?????112xxx
M
．
将③式和⑥式代入上式得
0001xxxxM????????
，即00??xxM．
∴线段PM的中点在y轴上．
24.如图，椭圆0C：221(0xyabab????，a，b为常数)，动圆22211:Cxyt??，1bta??。点12,AA分别为0C
的左，右顶点，1C与0C相交于A，B，C，D四点。
(Ⅰ)求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆22222:Cxyt??与0C相交于////,,,ABCD四点，其中2bta??，
12tt?。若矩形ABCD与矩形////ABCD的面积相等，证明：2212tt?为定值。
【解析】设????1111,,,-AxyBxy，又知????12-,0,,0AaAa，则
直线1AA的方程为??1
1=++
yyxaxa①
直线2AB的方程为??1
1
-=--yyxaxa②
由①②得??22221
221-=--yyxaxa
③
由点??11,Axy在椭圆0C上，故可得2211+=1xyab，从而有2221
12=1-xyba??????
，代入③得
??2222-=1<-,<0xyxayab……6分
（2）证明：设??22'',Axy，由矩形ABCD与矩形''''''''ABCD的面积相等，得
2222112211224=4,=xyxyxyxy?，因为点,''AA均在椭圆上，所以22222212121-=1-xxbxbxaa????????????
由12tt?，知12xx?，所以22212+=xxa。从而22212+=yyb，因而222212+=+ttab为定值…1
25.如图，已知椭圆22
221(0)
xyabab??＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,FF为顶点的三
角形的周长为4(21)?.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和
2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明12·1kk?；
（Ⅲ）是否存在常数?，使得·ABCDABCD???恒成立？若存在，求?的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca?22，得2ac?，又22ac??4(21)?，所以可解得22a?，2c?，
所以2224bac???，所以椭圆的标准方程为22184xy??；所以椭圆的焦点坐标为（2?，0），因为双曲线为等轴
双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
22144xy??。
10.相切与公共切线问题
26.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C：221xyab??（0ab??）的左焦点为1(1,0)F?，且点(0,1)P在1C
上.
（1）求椭圆1C的方程；
（2）设直线l同时与椭圆1C和抛物线2C：24yx?相切，求直线l的方程.
答案：（1）因为椭圆1C的左焦点为1(1,0)F?，所以1c?，
点(0,1)P代入椭圆221xyab??，得
211b?
，即1b?，
所以2222abc???，
所以椭圆1C的方程为2212xy??.
（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm??，
221
2
xy
ykxm
????
????
?
，消去y并整理得222(12)4220kxkmxm?????，
因为直线l与椭圆1C相切，所以2222164(12)(22)0kmkm??????，
整理得22210km???①
24yx
ykxm??????
，消去y并整理得222(24)0kxkmxm????。
因为直线l与抛物线2C相切，所以222(24)40kmkm?????，
整理得1km?②
综合①②，解得22
2
k
m
???
??
??
或22
2
k
m
????
??
???
。
所以直线l的方程为222yx??或222yx???。
27.已知抛物线2:(1)Cyx??与圆2221:(1)()(0)2Mxyrr?????有一个公共点A，且在点A处两曲线的切线
为同一直线l.
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。
解：（1）设200(,(1))Axx?，对2(1)yxx???求导得2(1)yx???，故直线l的斜率02(1)kx??，当01x?时，
不合题意，所心01x?
圆心为1(1,)2M，MA的斜率20
0
1(1)
21xkx?????
由lMA?知1kk???，即20
0
0
1(1)
22(1)11xxx???????，解得00x?，故(0,1)A
所以2215||(10)(1)
22rMA??????
（2）设2(,(1))aa?为C上一点，则在该点处的切线方程为2(1)2(1)()yaaxa?????即22(1)1yaxa????
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为52，即2
22
1|2(1)11|5
22
[2(1)](1)
aa
a
??????
???
，化简可得
22(46)0aaa???
求解可得0120,210,210aaa?????
抛物线C在点2(,(1))(0,1,2)iiaai??处的切线分别为,,lmn，其方程分别为
21yx??①2112(1)1yaxa????②2222(1)1yaxa????③
②－③得1222aax???，将2x?代入②得1y??，故(2,1)D?
所以D到直线l的距离为
22
|22(1)1|6552(1)d????????。
28.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，
D两点.
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离
的比值.
【解析】设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为r，
则|FE|=p，||||=||FAFBFD?=r，E是BD的中点，
(Ⅰ)∵090BFD??，∴||||=||FAFBFD?=2p，|BD|=2p，
设A(0x，0y)，根据抛物线定义得，|FA|=
02py?
，
∵ABD?的面积为42，∴
ABDS?=01||()22pBDy?=1222pp??=42，解得p=2，
∴F(0,1),FA|=22，∴圆F的方程为：22(1)8xy???；
(Ⅱ)【解析1】∵A，B，F三点在同一条直线m上,∴AB是圆F的直径，090ADB??,
由抛物线定义知1||||||2ADFAAB??，∴030ABD??，∴m的斜率为33或－33，
∴直线m的方程为：332pyx???，∴原点到直线m的距离1d=34p，
设直线n的方程为：33yxb???，代入22xpy?得，223203xxpb???，
∵n与C只有一个公共点，∴?=24803ppb??，∴6pb??，
∴直线n的方程为：336pyx???，∴原点到直线n的距离2d=312p，
∴坐标原点到m，n距离的比值为3.
【解析2】由对称性设20
00(,)(0)2xAxxp?
，则(0,)2pF
点,AB关于点F对称得：222200
00(,)3222xxpBxppxppp????????
得：3(3,)2pAp，直线
33
22:30223
pppp
myxxyp???????
22332
233xxxpyyyxppp??????????
切点3(,)36ppP
直线333:()306336ppnyxxyp???????
坐标原点到,mn距离的比值为33:326pp?。
|
|
