极限

2015-12-29  思想与生...

极限

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极限,数学的一个重要概念。在数学中,如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值,那么该定值就叫做变化的量的极限。极限指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中,几乎所有基本概念都是建立在极限概念的基础之上。极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

基本信息

  • 中文名:极限
  • 英文名:limit
  • 应用领域:微积分
  • 代表人物:柯西和魏尔斯特拉斯

概念

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极限概念更精确地表述为:如果序列x1,x2,...xn,...,当n无穷大时,趋向于某个确定的数值a,则称数a为该序列的极限。记作

历史

极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽。在牛顿的微积分中也含有极限思想。但是,直到19世纪初,人们对极限的理解还没有摆脱几何直观。只是到了1821年,法国数学家A.L.柯西才把极限概念建立在算术的基础上。他把极限定义为:若变量的一串数值无限地趋向某一定值时,其差可以随意地小,则该定值称为这一串数值的极限。19世纪70年代,德国的K.魏尔施特拉斯等人在数学分析的算术化过程中,进一步用'ε-N'语言更精确地把极限概念表述为:如果序列x1,x2,...xn,...对于任意给定的无论怎样小的正数ε,总存在一个正整数N,使得当n>N时,不等式ㄧxn-aㄧ<ε恒成立,则称数a为该序列的极限。
极限概念体现了有限与无限的对立统一关系。序列x1,x2,...xn,...是由无限多个有限值组成的,并且在收敛的条件下,存在着有限的极限值。这说明了无限包含着有限,并且在一定条件下,可以向有限转化;另一方面,有限又包含着无限,在一定条件下,可以转化为无限,并通过无限表现自身。这一点在函数f(x)的级数展开式

中得到充分体现。正是有了这一公式,我们才能研究复杂函数的变化情况,以及求无理数的近似值。例如,求自然对数的底e的近似值,就可以利用它的级数展开式

求得。这表明极限概念具有重要的方法论意义。

数列极限

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数列的定义

一个定义在正整数集合上的函数yn=f(n)(称为整标函数),当自变量n按正整数1,2,3…依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排成一串数:f(1),f(2),f(3),…,f(n),…称为一个无穷数列,简称数列。数列中的每一个数称为数列的项,f(n)称为数列的一般项。

数列的极限

如果对于任意给定的正数c,总存在一个正整数N,当n>N时,∣yn-A∣

此定义中的正数c只有任意给定,不等式

才能表达出xn与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数c是有关的,它是随着c的给定而选定的。

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