【原】圆锥曲线定点问题2

2010年江苏高考出了下面这样一道圆锥曲线综合题.

分析：第1问求轨迹，用直接法.

第2问求T点的坐标，因为T点是直线TA与TB的交点，联立两条直线的方程即可，思路较清晰，运算量也不大.

注意看清题目，是求轨迹方程还是求轨迹.

童鞋们关注的是第3问的定点问题.

思路貌似也是清楚的：求M点坐标，求N点坐标，写直线MN的方程，研究定点问题.

但是运算量略大.既然已经走到这一步，那就坚持往下走吧.

下面来研究定点问题.

首先要写出直线MN的方程.

显然，直线MN不会与x轴重合，但是有可能与x轴垂直，也就是说直线MN的斜率有可能不存在.

先讨论斜率不存在的情况呢，还是先讨论斜率存在的情况呢？

在圆锥曲线之定点问题中，我们谈到，当定点坐标较难确定时，我们采用“特殊找位置，一般来验证”的办法，能够使得运算量大大简化.

所以，我们可以通过MN与x轴垂直的方法，找到可能的定点坐标；然后通过一般化的情况验证此定点坐标.

这样做的话，比正面推理的方法，要简便地多.

如果直线MN过定点的话，只能过点E(1,0).

下面用一般情况来验证.

因为有了目标点E(1,0)，可以用多种方法来验证.

方法1：利用斜率相等证明M,E,N三点共线.

方法2：写出直线方程，然后赋值.

令y=0之后，大家猜一猜我有没有真的去计算x的值？

严谨的做法，要亲自去解；不严谨的做法，直接写结果即可.本题要证明直线必过定点，这个结论肯定是正确的.

而我们通过特殊位置寻找到了直线与x轴的交点(1,0)，直线要过的定点也只能是(1,0)了，别无选择.

特殊法是不是帮你节省了不少运算量？