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2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 第Ⅰ卷（共60分） 参考公式： 球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径. 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率： kn-kPn（k）＝Ck np(1-p)（k＝0，1，2，?，n）. 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）. 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）＝P（A）2P（B）. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）满足M?｛a1, a2, a3, a4｝,且M∩｛a1 ,a2, a3｝={ a1,a2}的集合M的个数是 （A）1 (b)2 (C)3 (D)4 （2）设z的共轭复数是z，若z+z=4, z2z＝8，则z等于 z （A）i （B）-i (C)±1 (D) ±i （3）函数y＝lncosx(-ππ＜x＜＝的图象是 ( ) 22 （4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （5）已知cos（α-π7π则sin(α?)的值是 ）+sinα 66 （A）-44223 （B） (C)- (D) 5555 （6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 何体的表面积是 (A)9π （B）10π (C)11π (D) 12π （7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，?，18的18名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 11 （B） 5168 11（C） （D） 306408（A） (8)右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的 1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎 叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以 得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数 的平均数为 （A）304.6 （B）303.6 (C)302.6 (D)301.6 （9）（X-1 x）12展开式中的常数项为 （A）-1320 （B）1320 （C）-220 (D)220 (10)设椭圆C1的离心率为5，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两13 个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 x2y2x2y2 （A）2?2?1 (B)2?2?1 13543 x2y2x2y2 (C)2?2?1 (D)2?2?1 131234 （11）已知圆的方程为X2+Y2-6X-8Y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （A）10 （B）206 （C）306 （D）406 x?2y?19?0，?（12）设二元一次不等式组?x?y?8?0,所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0， 2x?y?14?0? a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 （A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9] 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝ . （14）设函数f(x)=ax2+c(a≠0)，若?1 0f(x)dx?f(x0)，0≤x0 ≤1，则x0的值为. 3（15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向 量m＝（，n＝（cosA, sinA）。若m⊥n，且3,?1） acosB+bcosA=csinC，则角B＝（16）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3， 则b的取值范围为（5，7）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求f（π. 2π）的值； 8 π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到6（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移 原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. （18）（本小题满分12分） 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为2，乙队中3人答对的概率分别为3 221,,，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用ε表示甲队的总得分。 332 （Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望； （Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). (19)(本小题满分12分) 将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，?构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n 项 和，且满足2bn=1（n≥2）. 2bnSN?Sn 1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； Sn 4时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和.. 91(Ⅰ)证明数列｛（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当a81?? (20)(本小题满分12分) 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面 ABCD，?ABC?60?,E，F分别是BC, PC的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正 切值为E—AF—C的余弦值. 2 1?aln(x?1),其中n∈N*,a为常n(1?x)（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)? 数. （Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值； （Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n, 当x≥2时，有f(x)≤x-1. (22)(本小题满分14分) 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y= -2p上任意 一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p ）时，AB?求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在 抛物线x?2py(p＞0)上，其中，点C满足OC?OA?OB2 （O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标； 若不存在，请说明理由. 2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 参考答案 第Ⅰ卷（共60分） 参考公式： 球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径. 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率： kn-kPn（k）＝Ck np(1-p)（k＝0，1，2，?，n）. 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）. 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）＝P（A）2P（B）. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）B （2）D （3）A （4）A （5）C （6）D （7）B (8)B （9）C (10)A （11）B （12）C 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）4 （14）. 3π. 6（15） （16）（5，7）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17） 解：（Ⅰ）f(x)＝sin(?x??)?cos(?x??) ＝2??3?1sin(?x )?cos(?x??)? 2?2? ε的数学期望为 Eε=0? 1248?1??2??3??2. 279927 2 3解法二：根据题设可知?～B(3,) 因此ε的分布列为 2k2k22?kkP(??k)?C3?()?(1?)?C3?3,k?0,1,2,3.33322因为?～B(3,),所以E??3??2 33k （Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 2?211121211?2P(C)?C23?()2?(1?)???????????3?332332332?3 10?4, 3 21114P(D)?C23?()2?(??)?5,33323 由互斥事件的概率公式得 P(AB)?P(C)?P(D)?1043434??? 343535243 .解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). 22311111222()?(2?)?C33?(?2??C12?2)32323233 34?. 243 (19)(本小题满分12分) (Ⅰ)证明数列｛1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； Sn （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当a81??4时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和. 91 (Ⅰ)证明：由已知，当n≥2时 2bn?1,2bnSn?Sn 又 Sn?b1?b2???bn, （2Sn?Sn?1）?1,2(Sn?Sn?1)Sn?Sn （2S?Sn?1）n?1,?Sn?1Sn 111??,SnSn?12 又S1?b1?a1?1. 1?1所以数列??是首项为1，公差为的等差数列.2?Sn? 11n?1＝1＋n?1）?,Sn22 即 Sn?2.n?1 222???n?1nn(n?1). 所以 当n?2时，bn?Sn?Sn?1? 1 n=1??2因此，bn??- n≥2?n(n?1)? （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0. 因为 1?2?????12?12?13?78, 2 所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项， 故 a81在表中第13行第三列， 42 因此a81?b13?q??. 912, 又 b13??13?14 所以 q=2. 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S， bk(1?qk)2(1?2k)2 则S????(1?2k)（k≥3）. 1?qk(k?1)1?2k(k?1) (20)(本小题满分12分) （Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE 所以 当AH最短时，∠EHA最大， 即 当AH⊥PD时，∠EHA最大. 此时 tan∠EHA =AE?? AH因此 AH 又AD=2，所以∠ADH=45°， 所以 PA=2. 解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC， 所以 平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC， 过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE2sin30° 3，AO=AE2cos30°=, 2 又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO2sin45° 又 SE??? 4 SO?? 在Rt△ESO中，cos∠ ESO=SE5 即所求二面角的余弦值为 5 解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为 坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以 E、F分别为BC、PC的中点，所以 A（0，0，0），B -1，0），C 1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E 0，0），F 1 2,1）， 所以 AE?????AF??1 2,1). 设平面AEF的一法向量为m?(x1,y1,z1), 则???m????AE??0, AF??0, m 因此1?0, x1 1?2y1?z1?0. 取z1??1,则m?(0,2,?1), 因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以 BD⊥平面AFC， 故 ???BD?为平面AFC的一法向量. 又 ???BD?=（ ）， 所以 cos＜m,???BD?＞ =m????BD?|m|?|BD|?? 因为 二面角E-AF-C为锐角， 所以所求二面角的余弦值为5 （21） （Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}， 当n=2时，f(x)?1 (1? x)2?aln(x?1), 2?a(1?x)2 所以 f?(x)?. 3(1?x) （1）当a＞0时，由f?(x)?0得 x1?11 ，x2?1＜1， 此时 f?(x)??a(x?x1)(x?x2). (1?x)3 当x∈（1，x1）时，f?(x)?0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时，f?(x)?0,f(x)单调递增. （2）当a≤0时，f?(x)?0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时， 当a＞0时，f(x) 在x?1 当a≤0时，f(x)无极值. （Ⅱ）证法一：因为a=1,所以f(x)? 当n为偶数时， 令g(x)?x?1?a2f(1?(1?ln). 2a1?ln(x?1). (1?x)n1?ln(x?1), (1?x)n 则 g?(x)?1?n1x?2n????0,(x?2). n?1n?1x?1x?1(x?1)(x?1) 所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此g(x)?x?1?1?ln(x?1)≥g(2)=0恒成立， (x?1)n 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时， 要证f(x)≤x-1,由于1＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1, (1?x)n 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 2x2x?2p?2(x2?x0). 2pp ② 2x1?x2?x1?x2?x0, 由①、②得 2 因此 x0?x1?x2，即2x0?x1?x2. 2 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得： 2 x1?4x1?4p2?0, 2 x2?4x2?4p2?0, 所以 x1、x2是方程x2?4x?4p2?0的两根， 因此x1?x2?4,x1x2??4p2, 2x2x12?2p2px1?x2x0???, x2?x12pp 又kAB 所以kAB?2. p由弦长公式得 AB?? 又AB? 所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为x?2y或x?4y. 22 （Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为Q(x1?x2?x3y1?y2?y3,), 22 设直线AB的方程为y?y1?x0(x?x1), p x?x2y1?y2,)也在直线AB上， 由点Q在直线AB上，并注意到点(1 22 代入得y3? x0x3. p 2 若D（x3,y3）在抛物线上，则x3?2py3?2x0x3, 因此 x3=0或x3=2x0. 22x0 即D(0，0)或D(2x0,). p （1）当x0=0时，则x1?x2?2x0?0，此时，点M(0,-2p)适合题意. 2x12?x2 2x12?x22p??, 2x04px0 2x12?x2（2）当x0?0，对于D(0，0)，此时C(2x0,),kCD2p 又kAB?x0,AB⊥CD， p 22x0x12?x2x12?x2????1, 2p4px04p所以kAB?kCD 22即x1?x2??4p2,矛盾. 222x0x12?x2对于D(2x0,),因为C(2x0,),此时直线CD平行于y轴， p2p 又kAB?x0?0, p 所以 直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以x0?0时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.转载请保留出处，http://www./doc/85c6d423af45b307e87197b4.html |
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