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在有一次遇到海伦公式时，不禁想起以前的困惑，这海伦公式的几何意义到底是什么。因为我们知道每一个公式都有对应的几何图形，只不过有些图形表达起来不是很容易了，尤其是高阶的方程。但是，海伦公式是一个面积公式，无论如何都应该可以说得清楚。
于是在网上查了半天，终于知道大数学家欧拉是最早把这个事情表达清楚的。可是，我们的教科书却一直没有交代这件事，即使中文网站上也都是用勾股定理或者余弦定理来推导的，没有什么趣味。于是觉得自己不妨把这个事情写出来，也好给有同样困惑的网友一个参考。特别说明，这些资料综合了几个来源。
欧拉是从三角形内切圆的半径入手的。
如上图所示假定做一个内切圆，那么，每个切点到三角形顶点的距离分别就是x,y,z。设内切圆的半径是r,那么一个三角形就可以分为六个三角形，或者三对三角形，三角形的面积就是r*(x+y+z)。如果三角形三条边上分别是a,b,c。那么很容易得到xyz和abc之间的关系。就是海伦公式里面的s-a,s-b,s-c。所以问题就变成求内切圆半径r。因为内切圆的圆心是在角平分线上，所以，我们一定可以把三个三角形合成一个直角（如上图右所示）而把这些三角形按比例放大，一定可以得到一个矩形PQST。下面，就来推导一下：
怎么样，够漂亮的吧。请注意这里没有用到勾股定理，只是用了相似三角形的性质。所以，国外的学者很明确地说明这两个公式可以相互推导。
为了更明确地表达xyz的几何意义，请看下图：
 好了，一切尽在不言中。
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