一、选择题
1.(2015江苏泰州,6,3分)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是
A.1对B.2对C.3对D.4对
【答案】D
2.(2015浙江省绍兴市,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
第7题
【答案】D
【解析】本题考查了全等三角形的判定方法,解题的关键是熟练掌握全等三角形常见判定方法.由图和条件可知:AB=AD,BC=DC,AC是公共边,即AC=AC,根据三角形全等的判定方法可得这两个三角形全等的依据是“边边边”,因此,本题的正确答案为D.
3.(2015义乌7,3分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可说明△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则此两个三角形全等的依据是()
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
【答案】D
二、填空题
1.(2015江西省,第9题,3分)如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB.则图中有对全等三角形.
【答案】3
【解析】∵∠POE=∠POF,∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS),又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS),∴PA=PB,∵PE=PF,∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL).∴图中共有3对全的三角形.故答案为3
2.(2015娄底市,13,3分)
已知AB=BC,要使△ABD≌△CBD,还需要加一个条件,你添加的条件是.(只需写一个,不添加辅助线)
【答案】
AD=CD或∠ABD=∠CBD
【解析】
解:△ABD和△CBD中,AB=BC,BD=BD,根据全等三角形的判定定理可知AD=CD或∠ABD=∠CBD时,两三角形全等.
3.(2015湖南省永州市,15,3分)如下图,在△ABC中,己知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=____
(第15题图)
【答案】CE=3.
【解析】解:∵∠1=∠2,∠A=∠A,BE=CD,∴△ABE≌△ACD.∴AD=AE=2,AB=AC=5.∴CE=AC-AE=5-2=3.
三、解答题
1.(2015年四川省宜宾市,18,6分)如图,AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE。求证:∠A=∠D
【答案】证明:∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE即∠DCE=∠ACB
在△ACB和△DCE中,AC=DC,∠DCE=∠ACB,BC=EC,∴△ACB≌△DCE,∴∠A=∠D
2.(2015重庆B卷,20,7分)如图,△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧,点C,D在线段AE上,
AC=DE,AB∥EF.
求证:BC=FD.
【答案】答案略
【解析】证明:∵AB∥EF
∴∠A=∠E
∴△ABC≌△EFD
∴BC=FD
3.(2015重庆B卷,25,12分)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:;
(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交与点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:.
【答案】(1)2;(2)答案略;(3)答案略
【解析】解:⑴由四边形AEDF的内角和为360°,可知DE⊥AB,故BE=2
⑵取AB的中点G,连接DG
易证:DG为△ABC的中位线,故DG=DC,∠BGD=∠C=60°
又四边形AEDF的对角互补,故∠GED=∠DFC
∴△DEG≌△DFC
故EG=CF
∴BE+CF=BE+EG=BG=AB
⑶取AB的中点G,连接DG
同⑵,易证△DEG≌△DFC
故EG=CF
故BE-CF=BE-EG=BG=AB
设CN=x
在Rt△DCN中,CD=2x,DN=x
在RT△DFN中,NF=DN=x,故EG=CF=(-1)x
BE=BG+EG=DC+CF=2x+(-1)x=(+1)x
故BE+CF=(+1)x+(-1)x=2x,
(BE-CF)=[(+1)x-(-1)x]=2x.
故.
4.(2015福建省福州市,19,8分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.
【答案】证明:∵∠3=∠4,
∴∠ABC=∠ABD.
在△ABC和△ABD中
,
∴△ABC≌△ABD(ASA)
∴AC=AD.
5.(2015四川省泸州市)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:BC=DE.
【答案】
证明:∵∠1=∠2
∴∠CAB=∠EAD
在△CAB和△EAD中
∴△CAB≌△EAD
∴BC=DE
6.(2015山东济南,27,9分)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.
(1)直接写出∠NDE的度数;
(2)如图2、图3,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;
(3)如图4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=,
其他条件不变,求线段AM的长.
【答案】
【解析】(1)∵∠ACB=90°,∠MCN=90°
∴∠ACM+∠BCM=∠NCB+∠BCM=90°
∴∠NCB=∠MCA
∵CN=CMBC=AC
∴△NCB≌△MCA
∴∠NBC=∠MAC=90°=∠ACB
∴BN平行AC
∴∠NDE=∠EAC=90°
(2)不变.
如图2:
在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN(SAS)
∴∠N=∠AMC
又∵∠MFD=∠NFC
∴∠MOF=∠FCN=90°
(3)过点G作GK⊥BC,则
∵∠1=15°
∴∠3=30°
又∵∠ACM=60°
∴∠GCB=30°
∴∠4=∠ABC+∠GCB=75°
∴AE=AM
又∵△AMC≌△BNC
∴∠1=∠2
∴∠BDA=∠ACB=90°
∵BD=
∴AB=2BD=
∴AC=BC=
设BK=a则GK=a,KC=a
∴
∴a=1
∴BK=GK=1GB=
∴AG=
即AM=
7.(2015四川南充,19,8分)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.
求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.
【答案】(1)略;(2)AF=2CD.
【解析】解:(1)∵AD⊥BC,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵CE⊥AB,
∴∠B+∠BCE=90°.
∴∠EAF=∠ECB.………………………………(1分)
在△AEF和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB.………………………………(3分)
(2)∵△AEF≌△CEB.
∴AF=BC.………………………………(4分)
∵AB=AC,AD⊥BC.
∴CD=BD,BC=2CD.………………………………(5分)
∴AF=2CD.………………………………(6分)
8.(2015湖南省益阳市,20,12分)已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且AP 角得到AP1,BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2,连接PP1、PP2.
(1)如图9-1,当时,求的度数;
(2)如图9-2,当点P2在AP1的延长线上时,求证:∽;
(3)如图9-3,过BP的中点E作l1⊥BP,过BP2的中点F作l2⊥BP2,l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:P1P⊥PQ.
【答案】(1)90;(2)(3)证明略;
【解析】解:(1)由旋转的性质得:AP=AP1,BP=BP2.
∵,
∴均为等腰直角三角形,
∴,
∴.
(2)由旋转的性质可知均为顶角为的等腰三角形,
∴,
∴.
在和中,,
又,
∴∽.
(3)如图,连接QB.
∵l1,l2分别为PB,P2B的中垂线,
∴,.
又BP=BP2,
∴.
在Rt△QBE和Rt△QBF中,
,,
∴Rt△QBE≌Rt△QBF,
∴.
由中垂线性质得:,
∴.
由(2)知,
∴,
即P1P⊥PQ.
9.(2015浙江省温州市,18,8分)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD.
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
【答案】(1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∵AE=DF,∠A=∠D,∴△ABE≌△DCF,∴AB=CD.
(2)解:∵AB=CF,AB=CD,∴DC=CF,∴∠D=∠CFD,∠B=∠C=30°,∴∠D=75°
10.(2015浙江省杭州市,18,8分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:DM=DN.
证明:因为AM=2MB,所以AM=AB,同理,AN=AC,
又因为AB=AC,所以AM=AN.
因为AD平分∠BAC,所以∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,
,所以△AMD≌△AND,
所以DM=DN.
11.(2015山东烟台,25,14分)【问题提出】
如图1,已知△ABC是等边三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF,连接EF.
试证明:AB=DB+AF.
【类比探究】
(1)如图2,如果点E在线段AB的延长线上,其它条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)如果点E在线段BA的延长线上,其它条件不变,请在图3的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由.
【问题提出】证明:由旋转知BE=AF,∠ABC=∠FAC,EC=FC,∠ECF=60°,
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°.∴∠AEF+∠BEC=120°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=120°,∴∠AEF=∠BCE.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.∴∠AEF=∠D.
∵∠FAC=60°,∠BAC=60°,∴∠EAF=120°.
∵∠ABC=60°,∴∠DBE=120°.∴∠EAF=∠DBE.
∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.
∵AB=AE+EB,EB=AF,AE=DB,∴AB=DB+AF.
【类比探究】(1)AB=DB-AF.
解:由旋转知BE=AF,∠EBC=∠FAC,EC=FC,∠ECF=60°,
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°,∴∠FEA+∠BEC=60°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=60°,∴∠FEA=∠BCE.
∵DE=CE,∴∠D=∠BCE,∴∠FEA=∠D.
∵∠ABC=60°,∴∠DBE=60°,∠EBC=120°.
∴∠FAC=∠EBC=120°.
∵∠BAC=60°,∴∠FAE=60°.
∴∠FAE=∠DBE.
∵∠FEA=∠D,AF=BE,∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.
∵AB=AE-BE,AF=BE,
∴AB=DB-AF.
【类比探究】(2)AB=AF-DB.
只画出图3中的一个图即可.
12.(2015山东省菏泽市,20,10分)如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,
AD=BC.
(1)如左图,过点A作AFAB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;
(2)如右图,E是直线BC上的一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数,若不是,请说明理由.
解:(1)△CDF是等腰三角形.
证明:∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴∠FAD=∠DBC.
∵AD=BC,AF=BD,∴△FAD≌△DBC,∴FD=DC,∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°,
即∠CDF=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.
过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DF、CF.
∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴AF∥CE.
又∵BD=CE、AF=BD
∴AF=CE,
∴四边形AFCE是平行四边形.∴FC∥AE,
∴∠APD=∠FCD
由(1)知,∠APD=45°.
说明:1.此处的辅助线也可以使用平移方法:将线段CE沿EA方向移至AF的位置,连接FD、FC.
方法二:将线段CE沿CD方向移至DF的位置,连接AF、EF.
方法三:将线段AD沿AE方向移至EF的位置,连接CF、DF.
13.(2015湖南株洲,22,8分)(本题满分8分)如图,在ABC中,∠C=90o,BD是ABC的一条角一平分线,点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形,
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长
【答案】(1)证明略(2)OE=2
【解析】解:(1)过点O作ON⊥AB于点M
∵正方形OECF
∴OE=EC=CF=OF,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F
∵BD平分∠ABC,OM⊥AB于M,OE⊥BC于E
∴OM=OE=OF
∵OM⊥AB于M,OE⊥BC于E
∴∠AMO=90°,∠AFO=90°
∵
∴Rt△AMO≌Rt△AFO
∴∠MA0=∠FAO[来源:学+科+网]
∴点O在∠BAC的平分线上
(2)方法一:[来源:学科网]
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12
∴AB=13
易证:BE=BM,AM=AF
又BE=BC-CE,AF=:AC-CF,而CE=CF=OE
故:BE=12-OE,AF=5-OE
显然:BM+AM=AB
即:BE+AF=13
12-OE+5-OE=13
解得OE=2
方法二
利用面积法:
S△ABC=
S△ABC=
从而解得。OE=2
14.(2015江苏淮安,21,8分)已知,在矩形ABCD中,点E、F在边AD上,且AE=DF.
求证:BF=CE
【答案】因为矩形ABCD,所以∠A=∠D=90°,AB=CD。因为AE=DF,所以AD-AE=AD-DE,所以DE=AF,在△ABF和△DCE中,∠A=∠D,DE=AF,AB=CD,
所以△ABF≌△DCE,所以BF=CE
【解析】解:因为矩形ABCD,所以∠A=∠D=90°,AB=CD。因为AE=DF,所以AD-AE=AD-DE,所以DE=AF,在△ABF和△DCE中,∠A=∠D,DE=AF,AB=CD,
所以△ABF≌△DCE,所以BF=CE
15.(2015湖南常德,26,10分)如图11,在菱形ABCD中,E是CD上的一点,连接BE交AC于O,连接DO并延长交BC于F.
⑴求证:△FOC≌△EOC
⑵将图11中的AD、BE分别延长交于点N,连接CN,作EM∥BC交CN于M,再连接FM即得到图12.
求证:①;②FD=FM
【答案】⑴证明略
⑵证明略
【解析】⑴证明:∵四边形ABCD是菱形
∴BC=DC,
∠BCA=∠DCA
又CO=CO
∴△BCO≌△DCO
∴CF=CE
又∠FCO=∠ECO
CO=CO
∴△FOC≌△EOC
⑵证明:①∵EM∥BC
∴△EMN∽△EBC
∴
∴
∵AD∥BC,EM∥BC
∴EM∥DN
∴
又由⑴可知△FOC≌△EOC
则CE=CF,CD=CB
∴
∴
②∵
又∠FCM=∠BCN
∴△FCM∽△BCN
∴∠FMC=∠BNC
∴FM∥BN
又∵EM∥BC
∴四边形BEMF是平行四边形
∴FM=BE
又∵在△DCF与△BCE中
CF=CE
∠DCF=∠BCE
CD=CB
∴△DCF≌△BCE,
∴FD=BE
∴FD=FM
16.(2015贵州省铜仁市,21,10分)已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.
求证:AD=CE.
第21题图第21题图1
【答案】解:如图1,过点D作DG//BC,∵在等边三角形ABC,FE=FD.
∴∠ADG=∠B=60°=∠A
∴三角形ADG是等边三形
∴DG=AD
∵∠DGF=∠FCE,∠FDG=∠E
∴△DGF≌△CEF
∴DG=CE
∴AD=CE
17.(2015湖南省永州市,23,8分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.
(1)求证:∠ABC=∠EDC;
(2)求证:△ABC≌△EDC.
(第23题图)
【答案】(1)证明略;(2)证明略.
【解析】(1)证明:在四边形ABCD中,∵∠A=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°.又∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠ABC=∠EDC.
(2)证明:连接AC.
(第23题图)
∵,∴△ABC≌△EDC.
18.(2014江苏省苏州市,24,8分)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若BC=6,∠BAC=50(,求、的长度之和(结果保留).
【答案】(1)由作图可知BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.
(2)∵AB=AC,(BAC=50°,∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵BD=CD=BC,∴△BDC为等边三角形.
∴∠DBC=∠DCB=60°.
∴∠DBE=∠DCF=55°.
∵BC=6,∴BD=CD=6.
∴的长度=的长度=.
∴、的长度之和为
(第6题图)
A
C
D
E
F
图9-2
图9-1
图9-3
20题解图
A
M
N
B
D
C
(第18题)
A
B
C
DD
E
F
图1
A
B
C
E
D
F
图2
图3
A
B
C
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
图3
(第24题)
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