每日一题[374]见微知著
已知数列{an}满足an=5an?1?2an?1?5,n∈N?,n?2，且a1+a2+?+a2000=50，则a1+a20=____．
正确答案是120．
解 利用不动点法直接求数列的通项太复杂，我们不妨先写几项寻找数列的规律．令a1=a，则 a2a3=5a?2a?5,=5?5a?2a?5?25a?2a?5?5=a=a1 于是 a2a1=a4=a6=?,=a3=a5=?. 从而 a1+a20=a1+a2=501000=120. 事实上，在本题中，由递推公式可以得到 anan?1?5(an+an?1)+2=0, 在这个式子中， an与 an?1是对称的，也就是说已知 an?1求得 an后再去求 an+1的结果必然是 an?1，即 an+1=an?1，从而得到数列的周期为 2．
对于给出递推公式求数列通项公式的问题，有些有通用的解决办法，比如累加累乘法、不动点法、特征根法等，对于具体的问题，尝试写出几项寻找数列的规律，再结合题目要求探索解决办法是一种基本的处理思路．
下面给出一道练习：
已知数列{an}满足an+1=an?1an+1，且a1=12，则a2016=____．
答案 3．
提示 数列{an}是周期为4的数列．
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