Gothedistance
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专题能力训练15立体几何中的向量方法
能力突破训练
1.
(2015贵州八校第二次联考)如图,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交
于AD,EA=ED,AE⊥平面CDE.
(1)求证:AB⊥平面ADE;
(2)设M是线段BE上一点,当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为2√23时,试确定点M的
位置.
2.
(2015北京高考)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF
∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.
(1)求证:AO⊥BE;
(2)求二面角F-AE-B的余弦值;
(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.
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3.
如图,在长方体ABCD-A''B''C''D''中,|AB|=λ|AD|=λ|AA''|(λ>0),E,F分别是A''C''和AD的中点,且
EF⊥平面A''BCD''.
(1)求λ的值;
(2)求二面角C-A''B-E的余弦值.
4.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
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5.(2015安徽高考)
如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的
中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.
(1)证明:EF∥B1C;
(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.
6.
如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平
面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=14.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.
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思维提升训练
7.
(2015重庆高考)如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=π2.D,E分别为线段
AB,BC上的点,且CD=DE=√2,CE=2EB=2.
(1)证明:DE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.
8.
如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2;E,F,G分别
是线段PA,PD,CD的中点.
(1)求证:PB∥平面EFG.
(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为45,若存在,求出CQ的值;若
不存在,请说明理由.
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参考答案
能力突破训练
1.(1)证明:∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,
∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中,CD⊥AD,
∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE.
∵AB∥CD,∴AB⊥平面ADE.
(2)解:由(1)得平面EAD⊥平面ABCD,取AD中点O,取BC中点F,连接EO,OF.
∵EA=ED,∴EO⊥AD,∴EO⊥平面ABCD.
以OA,OF,OE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).
设M(x,y,z),则??????????=(x-1,y-2,z),?????????=(-1,-2,1).
∵B,M,E三点共线,设??????????=λ?????????(0≤λ≤1),
∴M(1-λ,2-2λ,λ),∴??????????=(-λ,2-2λ,λ).
设AM与平面EAD所成角为θ,
∵平面EAD的一个法向量为n=(0,1,0),
∴sinθ=|cos|=|2-2??|
√6??2-8??+4
=2√23,
解得λ=13或λ=-1(舍去),
∴点M为线段BE上靠近点B的三等分点.
2.(1)证明:因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,
所以AO⊥EF.
又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO?平面AEF,
所以AO⊥平面EFCB,所以AO⊥BE.
(2)解:取BC中点G,连接OG.
由题设知EFCB是等腰梯形,
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所以OG⊥EF.
由(1)知AO⊥平面EFCB,
又OG?平面EFCB,
所以OA⊥OG.
如图建立空间直角坐标系O-xyz,则E(a,0,0),A(0,0,√3a),
B(2,√3(2-a),0),?????????=(-a,0,√3a),?????????=(a-2,√3(a-2),0).
设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),
则{??·?????????=0,??·?????????=0,即{-????+√3????=0,(??-2)??+√3(??-2)??=0.
令z=1,则x=√3,y=-1.
于是n=(√3,-1,1).
平面AEF的法向量为p=(0,1,0).
所以cos=??·??|??||??|=-√55.
由题知二面角F-AE-B为钝角,所以它的余弦值为-√55.
(3)解:因为BE⊥平面AOC,所以BE⊥OC,即?????????·?????????=0.
因为?????????=(a-2,√3(a-2),0),?????????=(-2,√3(2-a),0),所以?????????·?????????=-2(a-2)-3(a-2)2.
由?????????·?????????=0及0
3.解:以D为原点,DA,DC,DD''所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设AA''=AD=2,则AB=2λ,
D(0,0,0),A''(2,0,2),D''(0,0,2),B(2,2λ,0),C(0,2λ,0),E(1,λ,2),F(1,0,0).
(1)由已知可得?????????=(0,-λ,-2),??''??''???????=(2,0,0),??''????????=(0,2λ,-2).
∵EF⊥D''A'',EF⊥A''B,
∴?????????·??''??''???????=0,?????????·??''????????=0,
即-2λ2+4=0,解得λ=√2.
(2)设平面EA''B的法向量为m=(1,y,z),则{??·??''????????=0,
??·??''????????=0.
∵??''????????=(0,2√2,-2),??''????????=(-1,√2,0),
∴{2√2??-2??=0,-1+√2??=0,
∴y=√22,z=1,∴m=(1,√22,1),
由(1)可得?????????为平面A''BC的法向量,且?????????=(0,-√2,-2),
∴cos=??·?????????|??|·|?????????|
=-1-2
√12+(√22)
2
+12·√02+(-√2)2+(-2)2
=-3√10
2×√6
=-√155.
又二面角C-A''B-E为锐二面角,
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∴二面角C-A''B-E的余弦值为√155.
4.
解:以A为原点,?????????,?????????,????1???????的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如
图).
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(??2,1,0),B1(a,0,1),
故????1???????=(0,1,1),??1?????????=(-??2,1,-1),????1???????=(a,0,1),?????????=(??2,1,0).
(1)证明:∵????1???????·??1?????????=-??2×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),
使得DP∥平面B1AE,此时?????????=(0,-1,z0).
又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).
∵n⊥平面B1AE,
∴n⊥????1???????,n⊥?????????,得{????+??=0,????
2+??=0.
取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-??2,-??).
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥?????????,有??2-az0=0,
解得z0=12.
又DP?平面B1AE,
∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=12.
5.(1)证明:由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行
四边形.
从而B1C∥A1D,又A1D?平面A1DE,B1C?平面A1DE,于是B1C∥平面A1DE.又B1C?平面
B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.
(2)解:因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB⊥AD且
AA1=AB=AD,以A为原点,分别以?????????,?????????,????1???????为x轴、y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空
间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E为B1D1
的中点,所以点E的坐标为(0.5,0.5,1).
设平面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该平面上向量??1?????????=(0.5,0.5,0),??1??????????=(0,1,-1),由n1⊥
??1?????????,n1⊥??1??????????,得r1,s1,t1应满足的方程组{0.5??1+0.5??1=0,??
1-??1=0.
因为(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).
设平面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该平面上向量??1??1?????????=(1,0,0),??1??????????=(0,1,-1),由此同理
可得n2=(0,1,1).
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所以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为|??1·??2||??
1|·|??2|
=2√3×√2=√63.
6.(1)证明:因为AB是直径,所以BC⊥AC.
因为CD⊥平面ABC,所以CD⊥BC.
因为CD∩AC=C,所以BC⊥平面ACD.
因为CD∥BE,CD=BE,
所以四边形BCDE是平行四边形,
所以BC∥DE,所以DE⊥平面ACD.
因为DE?平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD.
(2)解:依题意,EB=AB×tan∠EAB=4×14=1.
由(1)知VC-ADE=VE-ACD=13×S△ACD×DE
=13×12×AC×CD×DE
=16×AC×BC≤112×(AC2+BC2)
=112×AB2=43,
当且仅当AC=BC=2√2时等号成立.
如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),E(0,2√2,1),A(2√2,0,0),B(0,2√2,0),
则?????????=(-2√2,2√2,0),?????????=(0,0,1),
?????????=(0,2√2,0),?????????=(2√2,0,-1).
设平面DAE的法向量为n1=(x,y,z),
则{??1·?????????=0,??
1·?????????=0,
即{2√2??=0,2√2??-??=0,
取n1=(1,0,2√2).
设平面ABE的法向量为n2=(x,y,z),
则{??2·?????????=0,??
2·?????????=0,
即{??=0,-2√2??+2√2??=0,
取n2=(1,1,0),
∴cos=??1·??2|??
1||??2|
=1√2×√9=√26.
可以判断与二面角D-AE-B的平面角互补,∴二面角D-AE-B的余弦值为-√26.
思维提升训练
7.(1)证明:由PC⊥平面ABC,DE?平面ABC,知PC⊥DE.
由CE=2,CD=DE=√2,得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.
又PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE⊥平面PCD.
(2)解:由(1)知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=π4.
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如图,过点D作DF垂直CE于点F,易知DF=FC=FE=1.
又已知EB=1,故FB=2.
由∠ACB=π2,得DF∥AC,????????=????????=23,
故AC=32DF=32.
以C为坐标原点,分别以?????????,?????????,?????????的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则
C(0,0,0),P(0,0,3),A(32,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),?????????=(1,-1,0),?????????=(-1,-1,3),?????????=(12,-1,0).
设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),
由n1·?????????=0,n1·?????????=0,得{-??1-??1+3??1=0,1
2??1-??1=0,
故可取n1=(2,1,1).
由(1)可知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为?????????,即n2=(1,-1,0).
从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为
cos=??1·??2|??
1|·|??2|
=√36,
故所求二面角A-PD-C的余弦值为√36.
8.解:∵平面PAD⊥平面ABCD,且∠PAD=90°,
∴PA⊥平面ABCD,
而四边形ABCD是正方形,即AB⊥AD.
故可建立如图所示的空间直角坐标系,则
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
(1)证明:∵?????????=(2,0,-2),?????????=(0,-1,0),?????????=(1,1,-1),
设?????????=s?????????+t?????????,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),解得s=t=2,
∴?????????=2?????????+2?????????.
又∵?????????与?????????不共线,∴?????????与?????????共面.
∵PB?平面EFG,∴PB∥平面EFG.
(2)∵?????????=(1,2,-1),??????????=(-2,2,0),
∴?????????·??????????=(1,2,-1)·(-2,2,0)=1×(-2)+2×2+(-1)×0=2.
又∵|?????????|=√12+22+(-1)2=√6,
|??????????|=√(-2)2+22+02=2√2,
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∴cos=?????????·?????????|?????????|·|?????????|=2√6×2√2=√36.
因此,异面直线EG与BD所成的角的余弦值为√36.
(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件,
令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m,
∴点Q的坐标为(2-m,2,0),
∴?????????=(2-m,2,-1).
而?????????=(0,1,0),
设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),
则{??·?????????=(??,??,??)·(0,1,0)=0,??·?????????=(??,??,??)·(2-??,2,-1)=0,
∴{??=0,(2-??)??+2??-??=0,
令x=1,则n=(1,0,2-m),
∴点A到平面EFQ的距离
d=|?????????·??||??|=|2-??|
√1+(2-??)2
=45,
即(2-m)2=169,
∴m=23或m=103(不合题意,舍去),
故存在点Q,当CQ=23时,点A到平面EFQ的距离为45.
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