递归算法

概述

程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用。递归有直接递归和间接递归

·直接递归：函数在执行过程中调用本身。

·间接递归：函数在执行过程中调用其它函数再经过这些函数调用本身。

·表达方式：

·递归算法有四个特性：

（1）必须有可最终达到的终止条件，否则程序将陷入无穷循环；

（2）子问题在规模上比原问题小，或更接近终止条件；

（3）子问题可通过再次递归调用求解或因满足终止条件而直接求解；

（4）子问题的解应能组合为整个问题的解。

下面将从以下几个典型的例子来讲解递归算法：

汉诺塔问题

如图，汉诺塔问题是指有三根杆子A,B,C。C杆上有若干碟子，把所有碟子从C杆上移到B杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面。求最少要移动多少次？

当n=1时：

Move  1  from  A  to  C

当n=2时：

Move  1  from  A  to  B
Move  2  from  A  to  C
Move  1  from  B  to  C

当n=3时：

Move  1  from  A  to  C
Move  2  from  A  to  B
Move  1  from  C  to  B
Move  3  from  A  to  C
Move  1  from  B  to  A
Move  2  from  B  to  C
Move  1  from  A  to  C

源代码

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1. static StringBuffer str = new StringBuffer();  
2.     /** 
3.      * //汉诺塔问题 
4.      * @param n 盘子的个数 
5.      * @param x 将要移动盘子柱子 
6.      * @param y 要借用的柱子 
7.      * @param z 要移动到的柱子 
8.      * @return 
9.      */  
10.     public static String hanio(int n, Object x, Object y, Object z) {  
11.         //String str ="";  
12.         if(1 == n)   
13.             str.append(move(x, n, z) + "\n");  
14.         else {  
15.             hanio(n-1, x, z, y);  
16.             str.append(move(x, n, z) + "\n") ;  
17.             hanio(n-1, y, x, z);  
18.         }  
19.         return str.toString();  
20.     }  
21.     private static String move(Object x, int n, Object y) {  
22.         //System.out.println("Move  " + n + "  from  " + x + "  to  " + y);  
23.         return "Move  " + n + "  from  " + x + "  to  " + y;  
24.     }  

fibonacci数列

斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

源代码

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1. /** 
2.      * fibonacci数列 
3.      * @param n 
4.      * @return 
5.      */  
6.     public static long fibonacci(int n) {  
7.         if((0 == n) || (1 == n)) {  
8.             return n;  
9.         }else {  
10.             return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);  
11.         }  
12.     }  

1加到n累加

用递归实现从1加到n，即1+2+3+4+...+n。

源代码

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1. /** 
2.      * 累加,从1加到n，即1+2+3+4+...+n 
3.      * @param n 要累加到的数值 
4.      * @return 累加的结果 
5.      */  
6.     public static long total(int n) {  
7.         if(1 == n) {  
8.             return n;  
9.         }else {  
10.             return total(n-1) + n;  
11.         }  
12.     }  

从1到n累积

用递归实现，从1到n累积，即1*2*3*...*n

源代码

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1. /** 
2.      * 从1到n的累积，即1*2*3*...*n 
3.      * @param n 要累乖到的数值 
4.      * @return 
5.      */  
6.     public static long accumulate(int n) {   
7.         if(1 == n) {  
8.             return n;  
9.         }else {  
10.             return accumulate(n-1) * n;  
11.         }  
12.     }  

求数组中的最大值

用递归算法求数组中的最大值。

源代码

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1. /** 
2.      * 用递归算法求数组中的最大值 
3.      * @param a 数组 
4.      * @param low 数组下标 
5.      * @param heigh 数组上标 
6.      * @return 
7.      */  
8.     public static int Max(int[] a, int low, int heigh) {  
9.         int max;  
10.         if(low > heigh-2) {  
11.             if(a[low] > a[heigh]) max = a[low];  
12.             else max = a[heigh];  
13.         }else {  
14.             int mid = (low + heigh)/2;  
15.             int max1 = Max(a, low, mid);  
16.             int max2 = Max(a, mid+1, heigh);  
17.             max = max1>max2 ? max1 : max2;  
18.         }  
19.         return max;  
20.     }  

数字塔问题

用递归算法求解数字塔问题。

n=1时

1

n=2时

1      
2      2      

n=3时

1      
2      2      
3      3      3   

n=4时

1      
2      2      
3      3      3      
4      4      4      4    

源代码

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1. /** 
2.      * 用递归算法求解数字塔问题 
3.      * @param n 数字塔的行数 
4.      * @return 数字塔的字符串 
5.      */  
6.     public static String tourData(int n) {  
7.         String str = new String();  
8.         if(1 == n) {  
9.             str = rowData(n) + "\n";  
10.             return str;  
11.         }  
12.         else {  
13.             str = tourData(n-1) + rowData(n) + "\n";  
14.         }  
15.         return str;  
16.     }  
17.     private static String rowData(int n) {  
18.         String str = new String();  
19.         for(int i=0; i<n; i++) {  
20.             str = str+ n + "      ";  
21.         }  
22.         return str;  
23.     }