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| 每周一练导数的应用 |
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导数的应用2
1．（本小题满分13分）
已知曲线．
（）若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；
（）对任意实数，曲线总在直线：的上方，求实数的取值范围．
．（本小题满分13分）
已知函数其中．
（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（）如果对于任意，且，都有，求的取值范围．
．（本小题满分13分）
设函数．
（）若，求函数的单调区间；
（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为．
1．解
（），—————————————————2分
因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，
所以且．————————————————4分
解得，—————————————————5分
（）法1：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
?x，，都有，
即?x，R，恒成立，——————————————————6分
令，————————————————————7分
若a=0，则，
所以实数b的取值范围是；———————————————————8分
若，，
由得，————————————————————9分
的情况如下：
0 0 + 极小值 ————————————————————————11分
所以的最小值为，—————————————————————12分
所以实数b的取值范围是；
综上，实数b的取值范围是．———————————————————13分
法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
?x，，都有，即
?x，R，恒成立，———————————————6分
令，则等价于?，恒成立，
令，则，———————————7分
由得，——————————————9分
的情况如下：
0 0 + 极小值 ———————————————11分
所以的最小值为，———————————————12分
实数b的取值范围是．————————————————————13分
．（本小题满分13分）
（）解：由题意，得，其中，………………………………2分
所以，
又因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为．………………………………4分
（）解：先考察函数，的图象，配方得，………………………………5分
所以函数在上单调递增，在单调递减，且．
……………6分
因为对于任意，且，都有成立，所以．………………………8分
以下考察函数，的图象，
则，
令，解得．……………………9分
随着变化时，和的变化情况如下：
↘ ↗ 即函数在上单调递减，在上单调递增，且．…11分
因为对于任意，且，都有成立，所以．………………………………12分
因为（即），所以的取值范围为．………………………………13分
．（本小题满分13分）
解：（）时，，
，…………………………1分
，
的减区间为，增区间．…………………………3分
（）
在区间上是减函数，
对任意恒成立，
即对任意恒成立，…………………………5分
对任意恒成立，
令，
，…………………………7分
易知在单调递减，．
．…………………………8分
（）设切点为，，
切线的斜率，又切线过原点，
，
存在性：满足方程，
所以，是方程的根．…………………………11分
再证唯一性：设，，
在单调递增，且，
所以方程有唯一解．
综上，切点的横坐标为．…………………………13分
中国
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