解圆锥曲线，除了“设而不求”，还必须具备这个能力！

小数老师说

这是昨天微信后台''CUSO4'' 发给小数老师的问题，小数老师很喜欢这个同学，原因是这位同学“会问题”，他把自己的答题思路都给小数老师发过来，并且提出了自己解题时的困惑，我想他的成绩应该很好，因为有这种习惯的同学不仅求学时代成绩不错，以后踏上社会，也会很好的！加油！

如图，已知圆E: 点，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q。

（1）       求动点Q的轨迹Γ的方程。

（2）       设直线l与（1）中的轨迹Γ相交于A、B两点，直线OA,l,OB的斜率分别为（其中k>0），△OAB的面积为S，以OA、OB为直径的圆的面积分别为，若恰好构成等比数列，求的取值范围。

分析

这道题很明显是一道圆锥曲线的题目，第（1）问求轨迹方程，这一问通过图形以及条件还是比较容易能得到的，第（2）问比较复杂，但同学们只要按照小数老师之前说的“设而不求”+“翻译条件”的方法，也会得到一定的分数的，但是要想得满分，除了上面这些还不够，还需要扎实的计算能力！'CUSO4'同学就是差在这里了，下面跟小数老师一起去研究吧！

解析

（1）    由图，联结QF，因为Q是线段PF的垂直平分线与圆E的半径PE的交点，所以PQ=QF,又由于PE=PQ+QE=4，（PE是圆的半径），所以QF+QE=4，在这个式子中，E,F点是定点，很明显符合椭圆的定义，所以，根据椭圆的定义，得2a=4,c=，所以轨迹Γ的方程为：。

注：一般求轨迹方程时，会要检查一下有没有不符合条件的点，然后在轨迹方程中去掉，这道题中所有的点应该都符合题意，所以'CUSO4’这里有点错误哈

（2）    首先浏览题目，是直线与椭圆相交问题，所以第一步先找直线信息，然后设直线方程，l:y=kx+m(k>0)，然后设出A,B两点的坐标分别为，

接下来就是直线与椭圆方程联立，韦达定理

接下来翻译条件，按句翻译即可，

直线OA与OB的斜率

△OAB的面积

，其中d为点O到线段AB的距离，

恰好构成等比数列，所以有，

以OA、OB为直径的圆的面积分别为，所以有

  

到这里，除了要求的式子，其他的条件我们都已经翻译过来了，同学们会发现这是一个个孤零零的式子，那我们就要给他们建立联系，建立联系的要点必须围绕韦达定理，也就是A、B两个点的坐标进行，这样才能与最初的式子有关，后面才能消掉，所以，接下来，就是把式子往x1,x2上靠拢了！

，

再根据恰好构成等比数列，

把k的值代入到三角形的面积中，可以得到

接下来继续两个小圆的面积建立联系，

这里要想消掉y1,y2就不能再用直线方程了，因为这里有平方，所以根据两点在椭圆上，有

所以，

到这一步，距离成功已经很近了，我们接下来找题目所求，

下面就是要求这个式子的最值，也就是说必须要有m的取值范围，回头寻找，可以发现，判别式是大于0的，所以

所以

好了，到这里就结束了，不知道同学们对小数老师的这种方法形散而神不散的方法能理解多少！总之一句话，解决这道题，除了要能把条件翻译好，还要有强大的计算能力哈！加油吧

原创不易，请同学们动动手指，转发到你的朋友圈，让更多的同学看到！另外，如有转载，请标明“来自高中数学微信公众号”，谢谢！

点

赞

喜欢就“点赞”

爱就“转发”啦！

·END·

高中数学

你提分的好朋友！

微信号：gaozhongshu-xue

寒假弯道超车，全国万名老师等你来约！

成绩直线上升，让父母没有后顾之忧！

现在报名，还有0元体验课，更有价值699元好学宝免费使用！

心动不如行动，点击“阅读原文”即刻报名！