有关不等式的一些方法与技巧
河北望都中学汤敏军
不等式问题中涉及的方法与技巧很多,这几年高考中对不等式的要求有所降低。但我们对一些较常见的方法与技巧也必须要有一定的了解。下面通过几个具体的例题,来说明一下,希望对学生解题能力的培养与方法的提升有所帮助。
一、配凑系数的技巧
例1设x、y、z都是正数,则的最大值为()。
A、1B、2C、D、
分析:在我们用均值不等式时,经常会用到配凑系数来求最值。显然如果我们直接处理,显然与分母的比值不是常数。我们很希望通过利用均值不等式将分子中的系数调整为1,如何实现这个目标呢?我们注意到的系数为1,而的系数为2。联想到三角函数中的化一公式(或称辅助角公式),,(其中。我们不妨可以借鉴这里所使用的方法来处理,从而对y的系数进行调整。提出来,这样。这样y2的系数调整成1,分子与分母的比值为常数。也实现了我们的最初目的。这里我们处理的手段就是配凑系数。
解法略。
二、常值代换的技巧.
例2、已知的最小值为。
分析:有些不等式问题中在求最值和范围时要利用常数“1”的代换技巧
解:,
,
当且仅当.故最小值为16.
评析:本题除此法外,还可以用三角换元的方法。
三、巧妙赋值.
例3.设实数a使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合是()
A.B. C. D.[?3,3]
分析:我们可用附值法可若令,则有,排除B、D。由对称性排除C,从而只有A正确。注意若仅令x=0或将会得到错误结果。
我们有更一般的解决方法吗?对k∈R,不妨令,(当然也可令),则原不等式为,
由此易知原不等式等价于,对任意的k∈R成立。由于
,
所以,从而上述不等式等价于。
四、函数与数形结合思想的运用
例4.已知恒成立,则的取值范围为.
分析:此不等式是一个围学会想这这样我们将变形为设函数,这两个函数我们还是较熟悉的。在同一坐标系内,分别作出它们的图像。由函数的单调性及图像可知:
当
当.故的取值范围为.
五、两边夹两边夹对决过计式问题现过这学思维
例5.已知函数满,对实数则
分析:因为对实数,则。
另外,还有构造法及一些特殊不等式如柯西不等式.有兴趣的同学可以参考一些课外资料学习一下.
跟踪练习:1、已知,则为)。
A、1B、2C、D、
2、命题:关于的不等式对于一切实数均成立,命题:,则是成立的()。
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
3、已知函数,若存在实数,当时恒成立,则实数的最大值为
(A)(B)(C)(D)
4、已知的最小值为.
5、设二次函数满足条件:
(1)当时,
(2)当;
(3)在R上的最小值为0.
则=.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.ks5u.com
学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com
学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com
|
|