专题14圆锥曲线中的最值和范围问题
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【考题回放】
1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是C)
A.(1,2)B.(1,2)C.D.(2,+∞)
2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（B）
A.6B.7C.8D.9
3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是A)
A．B．C．D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）
(A) (B) (C) (D)
5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是32.
6．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.
【专家解答】（1）法：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组
的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是设点P的坐标为(x,y)则
消去参数k得4x2+y2-y=0③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以
④⑤
④—⑤得，所以
当时，有⑥
并且⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧
当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
（2）由点P的轨迹方程知所以
故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式((0。【范例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos(F1PF2的最小值为．
（１）求动点P的轨迹方程；
（２）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且，求实数(的取值范围．
讲解(１)由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理,得
．
又·，
当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|(|PF2|取最大值，
此时cos(F1PF2取最小值，令，
解得a2=9，，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为.
（２）设N(s,t)，M(x,y)，则由，可得(x，y-3)=((s，t-3)，
故x=(s，y=3+((t-3).
∵M、N在动点P的轨迹上，
且，
消去s可得，解得，
又|t|(2，∴，解得，
故实数(的取值范围是．
【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．
【文】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（x(0）
Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1(有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|(1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝(2
综上可知的最小值为2
【范例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。
析：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义
于是为定值
其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为
所以，当取得最小值时，B点坐标为
【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。
【文】点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标。
解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。
【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2=x2+(y-4)2①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②将②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1(y(1故当时，
此时
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【文】设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值。
解:依题意可设P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以x2=a2(1－y2),|PQ|2=a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2
=(1－a2)(y－)2－+1+a2.
因为|y|≤1,a>1,若a≥,则||≤1,当y=时,|PQ|取最大值;
若1
【范例4】已知△OFQ的面积为，
（1）设，求(OFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设(OFQ=(
（2）设所求的双曲线方程为
∴，∴
又∵，∴
当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或
，所求方程为
【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
【文】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
（1）解：依题意e，
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1(0，－2)，对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点，所求方程为
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在设直线l：y＝kx＋m
由消去y，整理得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0即m2－k2－9＜0 ①
设M(x1,y1),N(x2,y2)②
把②代入①式中得
∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角1．设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为F1(-c，0)，则△F1AB的面积最大为（）
A．bc B．ab C．ac D．b2
2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（）
A．10 B．C． D．
3．已知双曲线，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有（B）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为（C）
A．5 B．4 C． （D）
5．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____.
6．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________，1）
7．如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积的最大值是_______
8．如图3，抛物线y2=4x的一段与椭圆的一段围成封闭图形，点N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，求△NAB的周长l的取值范围。
解：易知N为抛物线y2=4x的焦点，又为椭圆的右焦点，抛物线的准线l1：x=-1，椭圆的右准线l2：x=4，过A作AC(l1于C，过B作BD(l2于D，则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。
由，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标
而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|
∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|=|BC|+|BD|=|BC|+|BD|-|BD|
=|CD|-|BD|=5-|BD|
，即
，即l的取值范围为（，4）9．求实数m的取值范围，使抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称
解法1：设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称，A，B中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。
当m(0时，
所以，所以M的坐标为，∵M在抛物线内，
则有，得且m(0综上所述，
解法2：设两点为A(x1，y1),B(x2，y2)，它们的中点为M(x，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b，与方程y2=x联立，得y2+my-b=0
所以y1+y2=-m，即，
又因为中点M在直线y=m(x-3)上，所以得M的坐标为
又因为中点M在直线x=-my+b上，，
对于，有(=m2+4b=10-m2>0，所以。
10．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPA(kPB=t(t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．
解：(１)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1，轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(２)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2,则r1+r2=2a=4.
在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4,∠F1PF2=120O，由余弦定理得
4c2=r+r－2r1r2cos120(=r+r+r1r2=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,∴16（1+t）≥12,∴t≥－.所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2,则r1+r2=2a=-4t,
在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4.∠F1PF2=120O，由余弦定理得
4c2=r+r－2r1r2cos120(=r+r+r1r2=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,∴16（-1-t）≥-12t,∴t≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是.
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②
①
y
x
O
N
B
A
图3
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