第八专题直线、平面、简单几何体
一、考情分析:
立体几何是中学数学的重要内容之一,由于立体几何内容具有相对的独立性,高考命题突出空间图形的特点,考查的重点与热点主要有两大类型,一是线线、线面、面面的平行与垂直的判断、推理,主要是数学语言、图形语言、符号语言的密切结合及相互转化,根据概念、性质、公理、定理进行逻辑推理和论证;二是空间的角和距离的概念及其计算.
选择题、填空题注重符号语言、文字语言、图形语言在推理中的运用,更重视概念明确、关系清楚、基本运算熟练等.
解答题形成了一些规律,一般将几何元素集中于一个几何体中,即以一个多面体或旋转体为依托(以多面体的时候较多)设置几个小问题,设问形式以证明或计算为主,也有时设置一些开放性的问题,每个小题之间有一定的联系,在突出考查逻辑思维能力的前提下,将空间想象能力和运算、推理能力相结合进行考查.
二、考点整合
1、空间两直线、直线与平面、平面与平面:特别注意线与面平行、线与面垂直、面与面平行、面与面垂直的判定与性质运用的条件;
2、空间角:(1)类型有异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成角.
(2)计算空间角的一般步骤:①作:作出平面角;②证:证明所作角即为所求角;③算:将该角归结到三角形中算出.
注:作异面直线所成角的平面角的常用方法:(1)平移法:(2)补形法:
作直线与平面所成角的平面:需作线面垂直,常从面面垂直处寻找作辅助线,常用方法:(1)定义法:(2)公式法:
作二面角的平面角的方法:①定义法:②用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角:从二面角的一个面内选一个特殊点,由向另一个平面作垂线(常从面面垂直处作交线的垂线),垂足为,再由向棱作垂线交于点,则即为二面角的平面角.③作棱的垂面:作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面,则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.④面积法:如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形,且这两个多边形所在平面所成的二面角为,则.⑤对于未给棱的二面角的求法,一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便.
3、空间的距离
(1)立体几何中距离有八种类型:两点间距离、点到直线距离、点平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离.这八种距离都归结到求点到点、点到线、点到面这三种距离.
(2)求空间距离的步骤:①作:找到或作出表示该距离的线段;②证:证明该线段合题意;③算:将该线段归结到三角形算出.简单地表述为:一作,二证,三计算.
注:求异面直线间距离:(1)作出两条异面直线的公垂线段然后求之;(2)将异面直线间距离转化为线面之间的距离;(3)将异面直线间距离转化为面面之间的距离;(4)运用“两条异面直线间距离,是分别在两条异面直线上的两点间的距离的最小值”这一概念求之;(5)利用体积法(主要是指三棱锥的体积)求之.
点到平面的距离:求解的关键是正确作出图形,其中确定垂足位置最重要,应充分利用图形性质,注意各种距离之间的相互转化,等积求法及:“平行移动”的思想方法.若要作出需从面面垂直处寻找.
线与面的距离、面与面的距离最后需转化为点到面的距离.
注意间接法在求空间距离中的运用:包括等积法和转化法,转化法即不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化,直到求出为止.
4、简单几何体:棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正多面体、棱锥、正棱锥、球:
三、典例精讲:
例1已知正方体的棱长为1,在正方体表面上与点距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为___________________.
例2已知四棱锥的底面为直角梯形,,
且是的中点.
(Ⅰ)证明面;
(Ⅱ)求与所成的角;
(Ⅲ)求面与面所成二面角的大小.
例3如图,在四棱锥中,底面是正方形,
侧棱,是的中点.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求与底面所成角的正切值.
例4如图,在底面是菱形的四棱锥中,,,
,点在上,且.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求以为棱,与为面的二面
角的大小;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使?
证明你的结论.
四、提高训练: 姓名___________
(一)选择题:
1.已知直线平面,直线平面,则下列四个命题中,正确的两个命题是()
①;②;③;④.
A、①② B、③④ C、②④ D、①③
2.设为平面,为直线,则的一个充分条件是()
A、 B、
C、 D、
3.若是两条异面直线,且分别在平面内,若,则直线必定()
A、分别与相交 B、至少与之一相交
C、与都不相交 D、至多与之一相交
4.在下列条件中,可判断平面与平行的是()
A、都垂直一于平面 B、内存在不共线三点到的距离相等
C、是内两条直线,且
D、是两条异面直线,且
5.正方体中,分别是、的中点,则与对角面所成角的大小()
A、 B、 C、 D、
6.如右图,长方形中,,把它折成正三棱柱
的侧面,使与重合,长方形的对角线与折痕线
分别交于两点,则截面与棱柱的
底面所成的角等于()
A、 B、 C、 D、除以外的结果
7.如下图左所示,在正方体侧面内有一动点,到直线的距离与到直线的距离相等,则动点所在曲线的形状大致为()
(二)填空题:
8.正四棱锥的底边长为2,高为,则异面直线与所成的角是___.
9.如图,在直三棱柱中,分别为、的中点,沿棱柱的表面从到两点的最
短路径的长度为________.
(三)解答题:
10.如图,在直三棱柱中,底面
是直角三角形,,,
且,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)设二面角为,求的值.
11.如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,
垂直于底面,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求面与面所成二面角的大小;
(Ⅲ)设棱的中点为,求异面直线与所成角的大小.
12.在三棱锥中,是边长为4的正三角形,平面平面,为中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
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