§1集合与集合思想的应用 一、复习要点在系统复习的基础上，本轮复习主要解决好如下三个问题：1．重要知识点的再现：（1）集合中元素的三个性质；（2）集合的三种运算；（3）用集合语言表示有关数学概念，用集合工具表示有关数量关系．2．集合综合题的解法：（1）集合与不等式的综合；（2）集合与三角的综合；（3）集合与解析几何的综合．3．集合思想的应用：（1）用集合方法判断命题的充要关系；（2）用集合观点解决比较复杂的排列组合问题；（3）补集思想的运用．二、例题讲解例1已知集合M＝｛x|x=cos（nπ）／3，n∈Ｚ｝，Ｐ＝｛x|x=sin[（2m-3）π]／6，m∈Ｚ｝，则M与P满足（）.Ａ．ＭＰＢ．Ｍ＝ＰＣ．ＭＰＤ．Ｍ∩Ｐ＝Φ讲解：可从理解集合M、P的意义入手．若视n、m为自变量，则M、P分别表示函数x=cos（nπ）／3、x=sin［（2m-3）π］／6的值域，问题转化为判断这两个函数值域的关系．由于这两个函数的定义域均为整数集Z，所以它们的值域并不一定等于［-1，1］.如何求这两个函数的值域呢?如果分别取整数n、m的一些值，用列举法写出集合M、P，然后观察作出判断，这种解法虽然直观，但由于不能写出集合M、P的所有元素，可能会产生判断失误．我们知道，函数在它的一个周期内的函数值的集合就是该函数的值域，因此本题有如下解法：∵函数x=cos（nπ）／3、x=sin［（2m-3）π］／6的最小正周期均为6，∴分别取n，m=0，1，2，3，4，5，得M＝｛1，（1／2），－（1／2），－1｝，Ｐ＝｛－1，－（1／2），（1／2），1｝．∴M＝Ｐ，选B．例2设ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｐｘ＋ｑ，Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ（ｘ）｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ｝．（1）求证ＡＢ；（2）如果Ａ＝｛－1，3｝，求B．讲解：本例是涉及集合、函数和方程的综合题．依据子集的概念，要证ＡＢ，只要证对任意ｘ０∈Ａ，均有ｘ０∈Ｂ成立．由A＝｛－1，3｝知，方程ｘ＝ｆ（ｘ）有二实根－1和3，从而应用韦达定理可求出ｐ、ｑ的值，也就确定出ｆ（ｘ）的解析式，再解方程ｘ＝ｆ［ｆ（ｘ）］，就可求出B中的所有元素．（1）设ｘ０是集合A中的任一元素，即有ｘ０∈Ａ．∵Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ（ｘ）｝，∴ｘ０＝ｆ（ｘ０），即有ｆ［ｆ（ｘ０）］＝ｆ（ｘ０）＝ｘ０，∴ｘ０∈Ｂ，故ＡＢ．（2）∵Ａ＝｛－1，3｝＝｛ｘ｜ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝ｘ｝，∴方程ｘ２＋（ｐ－1）ｘ＋ｑ＝0有两根－1和3，应用韦达定理，得
－1＋3＝－（ｐ－1），
ｐ＝－1，
（－1）×3＝ｑ
ｑ＝－3，
∴ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ－3．于是集合B的元素是方程ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ，也即（ｘ２－ｘ－3）２－（ｘ２－ｘ－3）－3＝ｘ（）的根．将方程（）变形，得（ｘ２－ｘ－3）２－ｘ２＝0，即（ｘ２－2ｘ－3）（ｘ２－3）＝0，解得ｘ＝－1，3，，－．故Ｂ＝｛－，－1，，3｝．例35个人站成一列，其中甲不站在排头，乙不站在排尾，共有多少种不同的排法?讲解：将5个人的全排列记为全集I，而I中的元素个数记为n（I），则n（I）=P５５．同样，将甲站在排头的排列记为A，将乙站在排尾的排列记为B，则n（A）=n（B）=P４４．由图2－1有n（A∪B）＝n（A）+n（B）-n（A∩B）.
图2－1
故甲不站在排头、乙不站在排尾的排法种数为n（）＝n（I）-n（A∪B）＝n（I）－n（A）-n（B）+n（A∩B）＝P５５－2P４４＋P３３＝78（种）．三、专题训练1．已知集合Ｅ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２／16＋ｙ２／9＝1｝，Ｆ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２＝1｝，则集合E与F的关系是（）．Ａ．ＥＦＢ．ＦＥＣ．Ｅ∩Ｆ＝ΦＤ．Ｅ∪Ｆ＝Ｆ2．定义A－Ｂ＝｛x|x∈Ａ，且xB｝．若M＝｛1，2，3，4，5｝，Ｎ＝｛2，3，6｝，则N－Ｍ等于（）．Ａ．MＢ．NＣ．｛6｝Ｄ．｛1，4，5｝3．设Ｐ＝｛ｘ｜（ｘ２－4）／（ｘ－5）≤0｝，Ｑ＝｛ｘ｜｜ｘ－1｜＜ａ｝．若Ｐ∪Ｑ＝｛ｘ｜ｘ＜5｝，则实数ａ的取值范围是（）．Ａ．［1，4］Ｂ．［1，4）Ｃ．［3，4］Ｄ．［3，4）4．已知集合P＝｛（x，y）|x２＋y２＝1｝，Ｑ＝｛（x，y）|x／a＋y／b＝1，a，b∈Ｒ＋｝．若P∩Q≠Φ，则a，b应满足（）．Ａ．a≤1，b≤1．a≤，b≤Ｃ．ab≥．ab≤5．若集合A＝｛2，4，x３－2x２－x+7｝，B={-4，y+3，y２－2y+2，y３＋y２＋3y＋7｝，且A∩B={2，5}，则A∪Ｂ＝______．6．设全集I＝Ｒ，集合M={x|y=／（｜x｜-x）（a＞1）}，则＝______．7．给出下列四个命题：①若A={y|y=x２＋1，x∈N}，B={y|y=x２－2x+2，x∈N}，则A=B；②若A、B均为非空集合，且A∩B=Φ，M={A的子集}，N={B的子集}，则M∩N={Φ}；③若A＝B，则A∩C＝Ｂ∩C；④若A∩Ｃ＝Ｂ∩Ｃ，则Ａ＝Ｂ．其中正确命题的序号是______.8．已知Ｍ是满足下列两个条件的函数ｆ（ｘ）的集合：①ｆ（ｘ）的定义域是［－1，1］；②若ｘ１，ｘ２∈［－1，1］，则｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜≤4｜ｘ１－ｘ２｜．试问：定义在［－1，1］上的函数ｇ（ｘ）＝ｘ２＋2ｘ－1是否属于集合M?并说明理由．9．设m∈R，集合A＝{（x，y）|y=-x+m}，B={（x，y）|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π}.若A∩B={（cosθ１，sinθ１），（cosθ２，sinθ２），θ１≠θ２}，求m的取值范围．10．设集合A＝｛（x，y）|y２-x-1=0}，B={（x，y）|4x２＋2x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}.问：是否存在k，b∈N，使得（A∪Ｂ）∩Ｃ＝Φ?并证明你的结论．
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