§2函数的图象和性质 一、复习要点在系统复习阶段，我们分别研究了函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值）和图象（画图、识图、用图），本轮复习的重点是函数图象和性质综合问题的解法.在函数的诸多性质中，单调性和最值是复习的重点，也是高考命题的频考点.函数的图象可以全面地反映函数的性质，而熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象，从而自觉地养成应用数形结合的思想方法解题的习惯.二、例题讲解例1设f（x）=（ax２＋1）／（bx+c）（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（0，1）上是减函数；（3）作出函数y=f（x）的图象．讲解：（1）为了求a、b、c的值，可从逐步“翻译”题设条件入手．∵f（x）是奇函数，∴f（-x）≡-f（x），即（ax２＋1）／（－bx+c）≡-（ax２＋1）／（bx+c）-bx+c≡-bx-cc=-cc=0．由f（1）=2，得（a+1）／b=22b=a+1.①又f（2）＜3（4a+1）／（2b）＜3．②将①代入②，得（4a+1）／（a+1）＜3（a-2）／（a+1）＜0－1＜a＜2.∵a∈Z，∴a=0或a=1.当a=0时，由①得b=1／2Z，舍去；当a=1时，b=1．故f（x）=（x２＋1）／x.（2）利用单调函数的定义证明，略．（3）先确定函数的性质，再作图．易知，函数f（x）=x+（1／x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且是奇函数．又|f（x）|=|x+（1／x）|（1／x）≥2，∴函数f（x）的值域是{y|y≤-2或y≥2}.由（2）知，f（x）在（0，1）上是减函数．同理可证，f（x）在［1，＋∞）上是增函数，再结合奇偶性，作出函数y=f（x）的图象如图2－2所示．
图2－2
例2设f（x）是定义在区间［－1，1］上的偶函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈［2，3］时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）３（a为实常数）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）是否存在a∈（2，6］或a∈（6，＋∞），使f（x）图象的最高点在直线y=12上？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．讲解：（1）由于函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，且函数g（x）的解析式为已知，所以可将函数f（x）用g（x）来表示，再根据f（x）为偶函数来确定其解析式．设（x，f（x））是f（x）图象上任意一点，则点（x，f（x））关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上．∴f（x）=g（2-x）.当x∈［－1，0］时，2-x∈［2，3］，则f（x）=g（2-x）=-2ax+4x３．又f（x）为偶函数，∴当x∈［0，1］时，f（x）=f（-x）=2ax-4x３．综上，得
f（x）=
-2ax+4x３（x∈［－1，0］），
2ax-4x３（x∈［0，1］）．
（2）∵f（x）是偶函数，∴只需求f（x）在［0，1］上的最大值即可．当a∈（2，6］时，由0≤x≤1知，a-2x２＞0.
∴f（x）=2x（a-2x２）＝＝
（2a）／9.当且仅当4x２=a-2x２，即x=∈［0，1］时，等号成立．∴f（x）的最大值为（2a）／9.令（2a）／9=12，得a３＝486＞6３，即a＞6．可见a（2，6］，此时a不存在．当a∈（6，＋∞）时，设0≤x１＜x２≤1，则f（x１）-f（x２）=…=（x１-x２）［2a-4（x１２＋x１x２+x２２）］．∵0＜x１２+x１x２+x２２＜3，a＞6，∴2a-4（x１２＋x１x２+x２２）＞0．又x１＜x２，∴f（x１）-f（x２）＜0．即f（x）在［0，1］上是增函数，从而f（x）的最大值为f（1）=2a-4.令2a-4=12，得a=8∈（6，＋∞），符合题意．例3在Ｒ上的递减函数ｆ（ｘ）满足：当且仅当ｘ∈ＭＲ＋时，函数值ｆ（ｘ）的集合为［0，2］，且ｆ（1／2）＝1；又对M中的任意ｘ１，ｘ２都有ｆ（ｘ１ｘ２）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．（1）求证：（1／4）∈Ｍ，而（1／8）∈Ｍ；（2）证明：ｆ（ｘ）在M上的反函数ｆ－1（ｘ）满足关系ｆ－1（ｘ１）·ｆ－1（ｘ２）＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２）；（3）解不等式ｆ－1（ｘ２＋ｘ）·ｆ－1（ｘ＋2）≤（1／4）（0≤ｘ≤2）．讲解：紧扣题意中的信息，不断进行解题语言的转换．（1）∵1／2∈Ｍ，又1／4＝1／2×（1／2），ｆ（1／2）＝1，ｆ（1／4）＝ｆ（（1／2）×（1／2）＝ｆ（1／2）＋ｆ（1／2）＝2∈［0，2］，1／4∈Ｍ．ｆ（1／8）＝ｆ（（1／2）×（1／4））＝ｆ（1／2）＋ｆ（1／4）＝3［0，2］，（1／8）Ｍ．（2）∵ｆ（ｘ）在M上是递减函数，ｆ（ｘ）在M上有反函数ｆ－1（ｘ），且ｘ∈［0，2］．任取ｘ１，ｘ２∈［0，2］，设ｙ１＝ｆ－1（ｘ１），ｙ２＝ｆ－1（ｘ２），则ｘ１＝ｆ（ｙ１），ｘ２＝ｆ（ｙ２）．其中ｙ１，ｙ２∈Ｍ．ｘ１＋ｘ２＝ｆ（ｙ１）＋ｆ（ｙ２）＝ｆ（ｙ１ｙ２），ｙ１ｙ２＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２），故ｆ－1（ｘ１）ｆ－1（ｙ１）＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２）．（3）利用ｆ（ｘ）的递减转化求解不等式．ｆ（ｘ）在M上递减，ｆ－1（ｘ）在［0，2］上也是递减的．于是ｆ－1（ｘ２＋ｘ）·ｆ－1（ｘ＋2）≤（1／4）ｆ－1［（ｘ２＋ｘ）＋（ｘ＋2）］≤ｆ－1（2）ｆ－1（ｘ２＋2ｘ＋2）≤ｆ－1（2）
0≤ｘ２＋ｘ≤2，
ｘ＝0．
0≤ｘ＋2≤2，
ｘ２＋2ｘ＋2≥2
故原不等式的解集为｛0｝．三、专题训练1．设f（x）是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，对于任意的x∈R，有f（x+1）=（1-f（x））／（1+f（x））.当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（5．5）的值是（）.A．1B．-1C．（1／2）D．-（1／2）．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题：若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减．其中，正确的命题是（）．Ａ．①③Ｂ．①④Ｃ．②③Ｄ．②④．直线ｘ＝ｋ与ｙ＝ｌｏｇ５ｘ及ｙ＝ｌｏｇ５（ｘ＋4）的图象相交，两交点之间的距离为（1／2）．若ｋ＝ａ＋，这里ａ、ｂ均是整数，则ａ＋ｂ等于（）．Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．94．定义在Ｒ上的函数y=f（x－1）是单调递减函数（图2-3），给出四个结论：①f（0）=1;②f（1）＜1；－1（1）＝0；－1（1／2）＞0．其中正确结论的个数是（）．
图2-3
．1．2．3．45．设x∈（-1，1），f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=-2lg（1+x），则10f（x）=________，10g（x）=________.6．已知函数f（x）=alg（2-ax）（a＞0，且a≠1）在其定义域［0，1］上单调递减，则实数a的取值范围是________．7．如图2-4所示，Rt△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（1，2）．在斜边OB上任取一点C（x，2x）（0＜x＜1），过C作CD⊥OA，CE⊥AB，垂足分别为D、E．记△OCD的面积为S１（x），矩形CDAE的面积为S２（x），△BCE的面积为S３（x），对于同一个x，用f（x）表示S１（x）、S２（x）、S３（x）三者中的最大值．当C点在线段OB内运动时，f（x）的最小值为________.
图2-4
8．（1）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）满足ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ），则ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝（ａ＋ｂ）／2对称；（2）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）满足ｆ（ａ＋ｘ）＝－ｆ（ｂ－ｘ），则ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于点（（ａ＋ｂ）／2，0）中心对称．9．已知函数f（x）的定义域为R，且对一切实数x满足f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x）.（1）若f（5）=9，求f（-5）的值；（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x-2）２.求当x∈［16，20］时函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值．10．设函数
f１（x）=
0（x=0），
-（1／2）x（4k-1≤|x|＜2×4k-1，k∈Z），
2x（2×4k-1≤|x|≤4k，k∈Z）.
（1）求f１（x）的定义域；（2）y=f１（x）的图象绕坐标原点旋转π／2后，得到y=f２（x）的图象，试求y=f２（x）的解析式；（3）对定义在实数集R上的函数f（x），如果y=f（x）的图象绕坐标原点旋转π／2后不变，试证明方程f（x）=x恰好有一个解．
|
|
