§3含参不等式的解法（一） 一、复习要点解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完备的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．?二、例题讲解例1解下列关于x的不等式：（1）ａ２ｘ＋1≤ａｘ＋2＋ａｘ－２（ａ＞0）；（2）ｌｏｇａ（1－（1／ｘ））＞1（0＜ａ≠1）．讲解：在解指数、对数不等式时，常要对底数a进行分类，然后依据其函数的单调性来实现转化．在转化的过程中，一是不要漏掉某一限制的条件（如真数恒正），二是要特别注意变形前后二者的等价性．（1）原不等式等价于ａ２ｘ－（ａ２＋ａ-2）ａｘ＋1≤0，这是关于ａｘ的一元二次不等式，因式分解，得（ａｘ－ａ２）（ａｘ－ａ-2）≤0．（ｉ）当0＜ａ＜1时，ａ２＜ａ-2，ａ２≤ａｘ≤ａ-2，即－2≤ｘ≤2；（ｉｉ）当ａ＞1时，ａ２＞ａ-2，ａ-2≤ａｘ＜ａ２，即－2≤ｘ≤2；（ｉｉｉ）当ａ＝1时，ｘ为一切实数．综上知：当0＜ａ≠1时，原不等式的解为－2≤ｘ≤2；当ａ＝1时，原不等式的解为ｘ∈Ｒ．本题在求解过程中易漏掉ａ＝1的情形．（2）（ｉ）当ａ＞1时，原不等式等价于
1－（1／ｘ）＞0，
1－（1／ｘ）＞a1－ａ＞（1／ｘ）
1－（1／ｘ）＞ａ．
1－ａ＜0，∴（1／1－ａ）＜ｘ＜0；（ｉｉ）当0＜ａ＜1时，原不等式等价于
1－（1／ｘ）＞0，
ｘ＞1或ｘ＜0，
1＜ｘ＜1／（1－ａ）．
1－（1／ｘ）＜ａ
0＜ｘ＜1／（1－ａ）
综合以上知：当ａ＞1时，原不等式的解为1／（1－ａ）＜ｘ＜0；当0＜ａ＜1时，原不等式的解为1＜ｘ＜1／（1－ａ）．如果应用性质（ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ））＜0ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＜0，就能简化上述解法．事实上（ｉ）当ａ＞1时，原不等式等价于－（1／ｘ）＞ａ（（ａ－1）ｘ＋1）／ｘ＜0ｘ（ｘ－（1／（1－ａ））＜01／（1－ａ）＜ｘ＜0；（ｉｉ）当0＜ａ＜1时，原不等式等价于0＜1－（1／ｘ）＜ａ（1－（1／ｘ））（1－（1／ｘ）－ａ）＜0（（ｘ－1）［（1－ａ）ｘ－1］／ｘ２）＜0（ｘ－1）（ｘ－（1／（1－ａ））＜01＜ｘ＜1／（1－ａ）．记住一些有用的小结论，有利于优化解题过程．例2已知在关于ｘ的不等式ｌｏｇａ（ｘ２－4）＞ｌｏｇａ（6ｘ－13ａ）（0＜ａ＜1）的解集中，有且只有两个整数解，求ａ的取值范围．讲解：先将对数不等式转化为不含对数符号的等价不等式组，再用限制条件求ａ．∵0＜ａ＜1，∴原不等式等价于
ｘ２－4＞0，
得
ｘ＞2，
6ｘ－13ａ＞0，
ｘ＞（13ａ）／6，
ｘ２－4＜6ｘ－13ａ．
3－＜ｘ＜3＋．
要使这个等式组有且只有两个整数解，这两个整数只能是3和4，于是，必须4＜3＋≤5，解得（9／13）≤ａ＜（12／13）．注意设问方式的改变和逆向思维能力的培养．例3解关于ｘ的不等式－ｘ＞ａ（ａ∈Ｒ）．讲解：本题中出现了参数a，分类讨论的分界值难于寻找，若用函数图象法就显得十分直观简捷．原不等式等价变形为
8－2ｘ２≥0，
－2≤ｘ≤2，
＞ｘ＋ａ
＞ｘ＋ａ．
作出函数ｙ１＝（－2≤ｘ≤2）和函数ｙ２＝ｘ＋ａ的图象，从图象观察计算可知：
图4-2
（1）当ａ＜－2时，原不等式的解为－2≤ｘ≤2；（2）当－2≤ａ＜2时，原不等式的解为－2≤ｘ＜（－ａ＋／6）；（3）当2≤ａ＜2时，原不等式的解为（－ａ－／6）＜ｘ＜（－ａ＋／6）；（4）当ａ≥2时，原不等式无解．请读者思考分界点的具体算法．如何画出函数ｙ１＝（－2≤ｘ≤2）的图象，只要实施下面的“标准化”变形就行了．ｙ＝2ｘ２＋ｙ２＝8（ｙ≥0）（ｙ２／8）＋（ｘ２／4）＝1（ｙ≥0）．这表示定椭圆在x轴上方并包括x轴上两点的部分．三、专题训练1．对于x∈［0，1］的一切值，a+2b＞0是使ax+b＞0恒成立的（）．．充分且必要条件．充分不必要条件．必要不充分条件．既不充分也不必要条件．函数f（x）在（-1，1）上有定义且表达式为f（x）=（x／2），当f（-a）+f（1-a２）＞0时，a的取值范围是（）．．（-2，1）．（0，）．（0，1）．（-2，）．不等式ｌｇ（ａ２－ｘ２）＜2ｌｇ（2ｘ＋ａ）（ａ＞0）的解是（）．Ａ．－（ａ／2）＜ｘ＜ａＢ．ｘ＜－（4ａ／5）或ｘ＞ａＣ．0＜ｘ＜ａＤ．－ａ≤ｘ≤－（4ａ／5）或0＜ｘ≤ａ4．已知不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞0的解集为｛ｘ｜－（1／3）＜ｘ＜2｝，则不等式ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ＜0的解集为（）．Ａ．｛ｘ｜－3＜ｘ＜（1／2）｝Ｂ．｛ｘ｜ｘ＜－3或ｘ＞（1／2）｝Ｃ．｛ｘ｜－2＜ｘ＜（1／3）｝Ｄ．｛ｘ｜ｘ＜－2或ｘ＞（1／3）｝5．若关于ｘ的不等式ａｘ／（ｘ－2）＞2的解集是｛ｘ｜1＜ｘ＜2｝，则ａ的值是_________．6．不等式3x２－loga（-x）＜0在x∈（-（1／3），0）时恒成立，则实数a的取值范围是_________.7．关于x的不等式｜ｘ－4｜＋｜ｘ－3｜＜ａ有实数解的充要条件是_________．8．解不等式＜2ｌｏｇａｘ－1（ａ＞0，ａ≠1）．9．关于x的不等式ｌｏｇａ（2－（1／2）ｘ２）＞ｌｏｇａ（ａ－ｘ）的解集为A．（1）若Ａ∩Ｚ＝｛1｝（Ｚ为整数集），试求常数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使Ａ∩Ｚ＝｛0，1，2｝．若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．10．某县地处水乡，县政府计划从今年起用处理过的生活垃圾和工业废渣填河造地．（1）若该县以每年1%的速度减少年填河面积，并为保持生态平衡，使填河总面积永远不会超过现有水面面积的1／4.问今年所填面积最多只能占现有水面面积的百分之几；（2）水面面积的减少必然导致蓄水能力的降低．为了保持其防洪能力不会下降，就要增加排水设备，设其经费ｙ（元）与当年所填土地面积x（亩）的平方成正比，比例系数为a．又设每亩水面年平均经济收入为b元，所填的每亩土地年平均收入为c元，那么要使这三项的收入不少于支出，试求所填面积x之最大值（其中a、b、c为常数）．
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