§4含参不等式的解法（二） 一、复习要点涉及多个字母的数学综合题目，贮存的知识信息量大，解题过程曲折复杂，往往归结为含参不等式的求解．如何消除难点，抓住关键，突破多个参数的困扰呢?这就需要借助主元观点实现标准化，采用分类讨论，数形结合，参变元的转换、分离、消去等途径加以综合处理．二、例题讲解例1要使不等式（1／2）cos2x+asinx-（a／4）≤2对于x∈［0，（π／2）］恒成立，求实数a的取值范围．讲解：为求a的取值范围，只需建立关于a的不等式，求解便得结论．事实上（1／2）cos2x+asinx-（a／4）≤2sin２x-asinx+（a+6）／4≥0对x∈［0，（π／2）］恒成立．令t=sinx∈［0，1］，则f（t）=t２-at+（a+6）／4≥0对t∈［0，1］恒成立，即有（t）=（t-（a／2））２＋（-a２＋a+6）／4≥0对t∈［0，1］恒成立．（1）当（a／2）∈（-∞，0）时，有＜0，f（0）=（a+6）／4≥0-6≤a＜0;（2）当（a／2）∈［0，1］时，有，f（a／2）=（-a２+a+6）／4≥0－2≤a≤3，且0≤a≤20≤a≤2;（3）当（a／2）∈（1，+∞）时，有＞2，f（1）=1-a+（a+6）／4≥02＜a≤（10／3）.故实数a的取值范围是{a｜-6≤a≤（10／3）}.如果想到构作函数，就会产生数形结合解法．由上述解法知a（t-（1／4））≤（3／2）+t２对t∈［0，1］恒成立，在同一坐标系下作出函数f（t）=t２＋（3／2），g（t）=a（t-（1／4））的图象．只需要f（x）≥g（x）对t∈［0，1］恒成立．以下求解留给读者完成．例2若方程lg（-x２+3x-m）-lg（3-x）=0在［0，3］上有惟一解，求m的取值范围．讲解：将原方程化为与之等价的混合组：
-x２+3x-m＞0，
3-x＞0，
0≤x≤3，
-x２＋3x-m=3-x，
即
0≤x＜3，
①
x２-4x+m+3=0.
②
当②有重根时，由Δ＝0得m=1，此时x=2∈［0，3）；当Δ＞0即m＜1时，②有两解x=2±.要使原方程在［0，3）上有惟一解，x=2±有且仅有一个在［0，3）内，即
0≤2+＜3，
无解；
2-＜0
或
0≤2-＜3，
-3≤m＜0．
2+＞3
故m的取值范围是或-3≤m＜0．事实上，既然问题可化归为方程②在0≤x＜3上有惟一解，就可使用一元二次方程在某区间上有惟一解的充要条件求解：（i）方程②有重根，同上解法得m=1;（ii）若令f（x）=x２-4x+m+3，则方程②在0≤x＜3上有惟一解的条件是：
f（0）f（3）=（3+m）m≤0，
m≠0，
即＜0．如果考虑数形结合的方法来解，即题设等价于直线y=1-m与抛物线y=（x-2）２当0≤x＜3时有一个交点．以下留给读者完成．例3设函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇｂ（ｘ２－2ｘ＋2）／（1＋2ａｘ）（ｂ＞0且ｂ≠1）．（1）求ｆ（ｘ）的定义域；（2）当ｂ＞1时，求使ｆ（ｘ）＞0的所有x的值．讲解：（1）∵ｘ２－2ｘ＋2恒正，∴ｆ（ｘ）的定义域是1＋2ａｘ＞0．即当ａ＝0时，ｆ（ｘ）的定义域是全体实数；当ａ＞0时，ｆ（ｘ）的定义域是（－（1／2ａ），＋∞）；当ａ＜0时，ｆ（ｘ）的定义域是（－∞，－（1／2ａ））．（2）当ｂ＞1时，在ｆ（ｘ）的定义域内，ｆ（ｘ）＞0（ｘ２－2ｘ＋2）／（1＋2ａｘ）＞1ｘ２－2ｘ＋2＞1＋2ａｘｘ２－2（1＋ａ）ｘ＋1＞0．其判别式Δ＝4（1＋ａ）２－4＝4ａ（ａ＋2）．（ｉ）当Δ＜0时，即－2＜ａ＜0．∵ｘ２－2（1＋ａ）ｘ＋1＞0，ｆ（ｘ）＞0ｘ＜－（1／2ａ）．（ｉｉ）当Δ＝0时，即ａ＝－2或0．若ａ＝0，ｆ（ｘ）＞0（ｘ－1）２＞0ｘ∈Ｒ且ｘ≠1；若ａ＝－2，ｆ（ｘ）＞0（ｘ＋1）２＞0ｘ＜（1／4）且ｘ≠－1．（ｉｉｉ）当Δ＞0时，即ａ＞0或ａ＜－2．方程ｘ２－2（1＋ａ）ｘ＋1＝0的两根为ｘ１＝1＋ａ－，ｘ２＝1＋ａ＋．若ａ＞0，则ｘ２＞ｘ１＞0＞－（1／2ａ），ｆ（ｘ）＞0－（1／2ａ）＜ｘ＜1＋ａ－或ｘ＞1＋ａ＋；若ａ＜－2，则ｘ1＜ｘ2＝（1／1＋ａ－）＜0＜－（1／1ａ），ｆ（ｘ）＞0ｘ＜1＋ａ－或1＋ａ＋＜ｘ＜－（1／2ａ）．至于本题的结论归纳请读者自己完成．需要特别注意的是：本题第（2）小题每一种分类讨论所求的x的取值范围，都应与第（1）小题中ｆ（ｘ）的定义域结合起来考虑，不能顾此失彼，否则就会导致错误的结果．三、专题训练1．若α∈（0，（π／2）），则不等式ｌｏｇｓｉｎα（1－ｘ）＞2的解集是（）．Ａ．｛ｘ｜－1＜ｘ＜ｓｉｎ２α｝Ｂ．｛ｘ｜ｃｏｓ２α＜ｘ＜（1／2）｝Ｃ．｛ｘ｜－1＜ｘ＜ｃｏｓ２α｝Ｄ．｛ｘ｜ｃｏｓ２α＜ｘ＜1｝2．若x+y≥m对任意满足x２+y２=1的x，y∈R都成立，则m的最大值是（）．．0B．1C．-D．3．若关于x的不等式ｘ２－ａｘ－6ａ＜0有解且解区间不超过5个单位长，则a的取值范围是（）．Ａ．－25≤ａ≤1Ｂ．ａ≤－25或ａ≥1Ｃ．－25≤ａ＜0或1≤ａ＜24Ｄ．－25≤ａ＜－24或0＜ａ≤14．已知Ｅ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ≥ｘ２｝，Ｆ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋（ｙ－ａ）２≤1｝，那么使Ｅ∩Ｆ＝Ｆ成立的充要条件是（）．Ａ．ａ≥（5／4）Ｂ．ａ＝（5／4）Ｃ．ａ≥1Ｄ．ａ＞05．若关于ｘ的不等式（ｘ２＋4ｘ＋3）／（ｘ＋ａ）＞0的解为－3＜ｘ＜－1或ｘ＞2，则ａ＝__________．6．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ在［2，＋∞）上恒有｜ｆ（ｘ）｜＞1，则a的取值范围是__________．7．如果不等式≥x（a＞0）的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的值等于__________.．解关于x的不等式1＋ｌｏｇ（1／2）（4－ａｘ）≥ｌｏｇ（1／4）（ａｘ－1），其中ａ＞0且ａ≠1．9．已知ｐ＝（ｌｏｇ２ｘ－1）ｌｏｇ２ａｙ－6ｌｏｇ２ｘ·ｌｏｇａｙ＋ｌｏｇ２ｘ＋1（ａ＞0，ａ≠1），当ｘ在［1，2］内变化时，问ｙ在什么范围内才能使ｐ的值恒为正．10．有四节相同的电池，每节的电动势都是ε，内阻都是r，把它们按图4-3所示的甲、乙、丙三种方法连接，对同一负载R供电．如果要使负载R得到的功率，用甲种方法连接时比按另两种方法连接时都要大，那么R的阻值应在什么范围内?
图4-3
|
|
