§2二面角 一、复习要点1．涉及二面角的问题通常需作出二面角的平面角，有时也可直接利用射影面积公式．2．熟练掌握二面角的平面角的一般作法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③作棱的垂面．3．某些情况下，仅需论证一个角为二面角的平面角．（参见本节专题训练题8）4．二面角的范围为0°＜α＜180°，注意分类讨论．（参见本节专题训练题5）5．注意：有关二面角的问题，常伴有直线与直线所成角、直线与平面所成角和三垂线定理的综合应用，需相辅相成，才能得出结论．6．理科学生应会用反三角函数表示二面角的大小．二、例题讲解例1如图7-12，在正方体ABCD-A１B１C１D１中，求二面角B-DB１-C的大小．
图7-12
讲解：读者可采用先找再算的方法解之.我们不妨采用间接法，先求出其补角，再求该二面角．为此我们构造辅助平面A１B１D．作BE⊥B１D于E，连结A１E.∵△B１BD≌△B１A１D，∴A１E⊥B１D，∴∠A１EB是二面角B-B１D-A１的平面角．设正方体的棱长为a,则A１B＝a,A１E=BE=（／3）a,∴∠A１EB＝120°，但A１DCB１为平行四边形，∴二面角A１－B１D－B与二面角B－DB１－C互为补角，∴二面角B－DB１－C为60°．本题打破了在半平面B１DB和B１DC内构作二面角的平面角的常规解法，利用半平面B１DC的延伸面A１B１D，使得解法更为简捷．例2已知正三棱锥S－ABC与正棱锥S′－A′B′C′的底面边长相等，其体积分别为V１和V２，二面角A－SC－B等于α；二面角Ａ′－S′C′－B′等于β，且α＞β．试指出V１和V２的大小关系，并证明你的结论．讲解：因为两个三棱锥的底面是全等的正三角形，所以它们的体积完全由它们的高SO和S′O′的大小确定．如图7-13，因为OF＝Ｏ′Ｆ′，所以SO与S′O′的大小完全由SF和S′F′的大小确定，又CF＝Ｃ′F′，在Rt△SFC和Rt△S′F′C′中，SF／CF=tg∠SCF，S′F′／C′F′＝tg∠S′C′F′，所以SF和S′F′的大小完全由∠SCF和∠S′C′F′确定．在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中，sin∠SCF＝BD／BC，sin∠S′C′F′＝B′D′／B′C′，而ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，所以∠SCF和∠Ｓ′C′F′的大小完全由BD和B′D′的大小确定．
图7-13
在Rt△DEB和Rt△D′E′B′中，∠ＥＤＢ＝（α／2），∠E′D′B′=（β／2），又sin（α／2）＝BE／BD，sin（β／2）＝B′E′／B′D′，且BE＝Ｂ′E′，0＜β／2＜α／2＜π／2，故BD＜B′D′．从而V１＜V２．例3已知正三棱柱Ａ′Ｂ′Ｃ′-ＡＢＣ的底面面积为，Ｄ、Ｅ分别是侧棱BB′、ＣＣ′上的点，且ＥＣ＝ＢＣ＝2ＤＢ（如图7-14）．求截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小．
图7-14
讲解：二面角的棱还不知道，如何作出棱则成为解题的突破口．由已知条件可知，三棱柱的截面ＡＤＥ和底面ABC间的部分是完全固定的．欲求的二面角的棱，在已知图形上只给出了一个点A，由于在二面角的两个半平面上存在一组共面直线ＥＤ、ＣＢ，为此分别延长ＥＤ、ＣＢ，交平面ABC于点F，连结ＡＦ，即得二面角的棱．解题的另一关口就是作棱的垂线，找平面角．作BG⊥ＡＦ，垂足为G，连结GD，由三垂线定理知∠ＤＧＢ为所求二面角的平面角．由已知可得Ｓ△ＡＢＣ＝，故BC＝2，ＤＢ＝1．又由ＤＢ＝（1／2）ＥＣ，且DB∥ＥＣ知B是FC的中点，从而ＡＢ＝ＢＣ＝ＦＢ，即得△ＣＡＦ为Ｒｔ△，则ＧＢ＝（1／2）ＡＣ＝1．于是，ｔｇ∠ＤＧＢ＝（ＢＤ／ＧＢ）＝1，∠ＤＧＢ＝45°．像本例，二面角的棱在已知图形中并未出现（即无棱二面角），求解之关键是找“棱”，需要把棱作出来．通常情况下发现“无棱”二面角的棱有以下三种途径：（1）根据二面角两个面内的两条相交直线发现棱（如本例）；（2）根据二面角两个面内的两条平行直线发现棱；（3）补形构作几何体发现棱．若全面观察分析，就会发现本题图7-14中的∠ＥＡＣ也是所求二面角的平面角．事实上，由ＦＢ＝ＢＣ＝ＡＢＦＡ⊥ＡＣ．又ＥＣ⊥面ＡＢＣＦＡ⊥ＥＣ，于是又可得到ＦＡ⊥ＥＡ，即∠ＥＡＣ是所求二面角之平面角．这样问题也就十分简单了．由此可见，我们在考虑二面角的平面角时，宜“先找后作”．三、专题训练1．如果一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面角的平面角的关系是（）．Ａ．相等Ｂ．互补Ｃ．相等或互补Ｄ．不确定．在直角坐标系中，已知Ａ（2，3），B（－2，－3），沿ｘ轴把坐标平面折成平面角为θ的二面角ＡＯｘＢ，使∠ＡＯＢ＝90°，则ｃｏｓθ的值是（?）．Ａ．－（1／9）Ｂ．（1／9）Ｃ．（4／9）Ｄ．－（4／9）3．在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＞BC，D、E分别是AB、BC的中点．设PA与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-AB-C的大小为γ，则α、β、γ的大小关系是（）．A．α＜β＜γ．α＜γ＜βC．β＜α＜γ．γ＜β＜α4．如图7-15，一张正方形纸片ABCD中，有（AE／EB）＝（AF／FD）＝（CH／HB）＝（CG／GD）＝（1／2），沿BD折起，使△ABD与△BCD所成的二面角为θ.若EFGH折起后恰成正方形（如图7-16），则cosθ等于（）．A．（7／9）B．（1／2）C．0D．（5／9）
图7-15
图7-16
5．若一个二面角的一个面α内有一点A，它到棱的距离是它到另一个面β的距离的2倍，则这个二面角的度数是________．6．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝ＡＣ＝，ＢＣ＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是________．7．△ＡＢＣ的一边BC在平面α内，顶点A在平面α外，∠ＡＢＣ＝60°，△ＡＢＣ所在的平面与平面α成30°的二面角，则AB所在的直线与平面α所成的角的正弦值是________．．如图7-17，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA＝ＡＢ，ＳＢ＝ＢＣ．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．
图7-17
9．如图7-18，AB是⊙O的直径，C为圆周上任意一点．PA⊥平面ABC，AB与AC的夹角是α，二面角Ａ-ＰＢ-Ｃ为β，ＰＢ与平面ABC所成的角为γ．
图7-18
（1）若点A在PB、PC上的射影分别是E、F，求证∠ＡＥＦ＝β；（2）证明：ｃｔｇαｃｔｇβ＝ｓｉｎγ．．如图7-19，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝90°，ＳＡ⊥面ＡＢＣＤ，SA＝ＡＢ＝ＢＣ＝1，ＡＤ＝1／2．
图7-19
（1）求四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ的体积；（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
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