§2怎样答高考填空题 一、内容概要填空题是一种直接写出结论，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常用题型之一．近几年来的分值通常占试卷总分的10%左右．填空题主要用来考查基础知识、基本技能和基本思想方法，其特点是：1形态短小精悍，考查目标集中；2要求直接写出结果，不必填写解答过程；3答案不能猜测，需要准确计算或合情推理．填空题不同于选择题，因为选择题的答案是给出的，它隐匿在选择支中；也不同于解答题，因为解答题不仅要得出最后的结论，还要写出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明．鉴于填空题的上述特点，解答填空题的基本要求是迅速地获得正确的答案，在“准”、“巧”、“快”上下功夫、做文章．求解填空题的常用方法有：直接法、特值法和图解法等．近年来，高考数学填空题的另一特点是出现了一些创新题型：如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等．这些题型的出现，使填空题在考查学生思维能力和分析问题、解决问题的能力等方面提出了更高的要求，在复习中应引起高度的重视．二、基本方法讲解1直接法即从题设条件出发，运用定义、性质、定理、公式等知识，通过变形、推理、计算等，直接得到所求结论．直接法是解答填空题的最常用的基本方法，必须熟练地加以掌握．（1）直接计算例1椭圆（x２／9）＋（y２／4）＝1的焦点为F１、F２，点P为其上的动点，当∠F１PF２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是____________．讲解：由所给椭圆方程可得两焦点F１、F２的坐标分别为（-，0）、（，0）．设椭圆上的点P的坐标为（x０,y０），则有（x０２／9）＋（y０２／4）=1,即y０２=4（1-（x０２／9））．①
图9-11
在△PF１F２中，由余弦定理，得cos∠F１PF２=（｜PF１｜２+｜PF２｜２-｜F１F２｜２）／（2｜PF１｜·｜PF２｜）.∵∠F１PF２为钝角，∴１PF２＜0，即｜PF１｜２+｜PF２｜２-｜F１F２｜２＜0，∴（x０+）２＋y０２＋（x０-）２+y０２（2）２＜0.将①代入②并化简，得x０２＜（9／5）．∴-（3／）＜x０＜（3／）．说明：这里直接从已知条件出发，利用椭圆方程中参数间的关系和余弦定理，建立起点P的横坐标所满足的不等式，通过解不等式求出了点P的横坐标的取值范围，思路自然而流畅，令人赏心悦目．例2若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是___________．
图9-12
讲解：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为ｒ、ｈ、ｌ，则圆锥的侧面积Ｓ侧＝πｒｌ．要求Ｓ侧，只要求出ｒ和ｌ的值或者求出ｒｌ的值即可．根据已知条件，有
ｌ＝2ｒ，
ｒ２＝1且ｌ＝2ｒ．
ｈ＝ｒ，
（1／2）·2ｒ·ｈ＝
∴Ｓ侧＝πｒｌ＝πｒ·2ｒ＝2πｒ２＝2π．说明：本题的求解，紧紧围绕目标，直接运用圆锥的侧面积计算公式，先根据题设条件计算出圆锥体中的有关元素的值，再代入公式求出结果．解题的过程中，在目标意识的导引下，注意整体思想的运用，简化了运算，提高了速度．这一点，在运用直接计算法解答填空题时，显得十分重要．（2）直接推理例3设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝___________．讲解：若｛Ｓｎ｝是等差数列，则Ｓｎ必是项数ｎ的一次表达式或Ｓｎ为常数．根据等比数列的前ｎ项和公式，有
Ｓｎ＝
ｎａ１（ｑ＝1），
［ａ１（1－ｑｎ）］／（1－ｑ）（ｑ≠1）．
显然，ｑ＝1时，Ｓｎ是ｎ的一次表达式，而当ｑ≠1时，Ｓｎ不可能是ｎ的一次表达式，也不可能是常数（∵ｑ≠0）．故ｑ＝1为所求．说明：求解本题，不是从题设条件入手，通过列式计算来求解（那样做将十分繁琐），而是根据等差数列通项的特征，直接推理判断，得出ｑ＝1的结论，简捷明快，干净利落，满足了解填空题“巧”和“快”的要求．例4如图9-13，E、F分别为正方体的面ADD１A１、面BCC１B１的中心，则四边形BFD１E在该正方体的面上的射影可能是__________．（要求：把可能的图的序号都填上）
图9-13
图9-14
讲解：根据正方体的对称性，只要判断出四边形BFD１E在面ADD１A１、面ABCD和面CDD１C１上的射影图形的形状即可．四边形BFD１E在面ADD１A１上的射影图形是③，在面ABCD和CDD１C１上的射影图形都是②．故可能的射影图形的序号是②、③．说明：本题从正方体的概念和性质以及射影的有关知识出发，借助直观图形，运用合情推理和逻辑分析的方法，直接获得了要求的结果，这是直接法解填空题的又一种基本形式．2特值法.当题设条件中提供的信息暗示答案是一个“定值”时，可以取一些特殊值或一些特殊位置来确定这个定值，以节省推理论证的过程，提高解题的速度．例5已知（1－2ｘ）７＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７，那么ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝__________．讲解：将已知与求解对照：ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７=（1－2ｘ）７，ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝？可见取ｘ＝0时，得ａ0＝1；再取ｘ＝1以求值．有ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝（1－2）７－ａ0＝－2．说明：通过对未知变量x赋以特殊值0和1，十分简洁地求出了问题的答案，收到了事半功倍的效果．例6如图9-15，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E、F分别是AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V２两部分，那么V1：V２=__________．
图9-15
讲解：由于是求比值，可考虑运用特值法．为此，令棱柱的高h=1,底面积S=4，则截得的棱台的体积V１=（7／3）,另一部分的体积V２=1×4-（7／3）=（5／3）．∴V１：V２=（7／3）：（5／3）=7：5．说明：根据题设条件，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数、特殊图形等，常可达到简化运算、提高速度的目的．另外，由于解答填空题不需要写出解题过程，因而记住一些重要结论，在解题时直接运用，提高思维的起点，也可以收到简化计算和推理的目的．3图解法.根据题设条件的几何意义，画出问题的辅助图形，然后通过对图形的直观分析，得出正确的结论，这是一种数形结合的解题方法．例7如果不等式＞（ａ－1）ｘ的解集为A，且Ａ｛ｘ｜0＜ｘ＜2｝，那么实数a的取值范围是___________．讲解：若按照常规思路，先求出不等式的解集A（用参数a表示），再根据Ａ｛ｘ｜0＜ｘ＜2｝来确定a的范围，将十分繁琐.而若根据不等式的解集的几何意义，作出图形（如图9-16所示），从图上易得出实数a的取值范围是ａ∈［2，＋∞）．
图9-16
说明：对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形、以形助数，常可得到简捷、新颖的解法，令人耳目为之一新．例8函数ｙ＝｜ｌｏｇ2｜ｘ－1｜｜的单调减区间是___________．讲解：画出函数ｙ＝｜ｌｏｇ2｜ｘ－1｜｜的图象，可采用下面的方法进行．
ｌｏｇ２｜ｘ－1｜＝
ｌｏｇ２（ｘ－1）（ｘ＞1），
ｌｏｇ２（1－ｘ）（ｘ＜1）．
先作出ｙ′＝ｌｏｇ２｜ｘ－1｜的图象，此图象关于直线x＝1对称，再将这个图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方去（如图9-17所示），即得
图9-17
ｙ＝｜ｌｏｇ２｜ｘ－1｜｜的图象．由图象可知，原函数的单调减区间为（－∞，0］与（1，2］．说明：直接求解，难以下手，而数形结合，使得问题的解决轻而易举．本题中，要防止将结论写成（－∞，0］∪（1，2］的表述性错误．数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．以上介绍了求解填空题的几种常用方法，值得指出的是，这些方法之间不是互相排斥的，同一道填空题，由于观察和思考的角度不同，可以有多种不同的求解方法．我们必须善于透过现象抓住问题的本质，自觉地、有意识地采用灵活简捷的、直奔终点的解法，以达到准确、迅速和合理的要求．三、专题训练1点M与点A（4，0）的距离比它到直线ｘ＋2＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是___________．2已知ｓｉｎ（α－β）ｃｏｓα－ｃｏｓ（α－β）ｓｉｎα＝（3／5），且β是第三象限角，则ｔｇ（β／2）的值等于___________．3将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′.若曲线Ｃ′的方程为（ｘ２／4）－（ｙ２／5）＝1，则曲线C的焦点坐标为___________．4ＡＢＣ中，角A、B、C所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ，ｂ，ｃ成等差数列，则（ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ）／（1＋ｃｏｓＡｃｏｓＣ）＝___________．关于函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ２＋1）／（｜ｘ｜）（ｘ∈Ｒ，且ｘ≠0），有下列命题：①函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴对称；②当ｘ＞0时，ｆ（ｘ）是增函数；当ｘ＜0时，ｆ（ｘ）是减函数；③函数ｆ（ｘ）的最小值是ｌｇ2；④当－1＜ｘ＜0或ｘ＞1时，ｆ（ｘ）是增函数；⑤ｆ（ｘ）无最大值，也无最小值．其中正确命题的序号是___________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）6如图9-18所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点，且PO⊥平面ABCD，当四边形ABCD具有条件___________时，点P到四边形四条边的距离相等．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
图9-18
7设｛ａｎ｝是首项为1的正项数列，且（ｎ＋1）ａ２ｎ＋1－ｎａ２ｎ＋ａｎ＋1ａｎ＝0（ｎ＝1，2，3，…），则它的通项公式是ａｎ＝___________．8．直线ｙ＝ｋｘ＋1与椭圆（ｘ２／5）＋（ｙ２／ｍ）＝1恒有公共点，则ｍ的取值范围是___________．9长方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，底面对角线AC与BD交点为O，当ｔｇ∠ＡＯＢ＝－2时，直线BD与Ａ１Ｃ１所成的角为___________．10．一批赈灾物资随26列货车从A市以ｖ千米／时匀速直达灾区，已知两地铁路线长为400千米，为了安全起见，两列货车的间距不得小于（ｖ／20）２千米，那么这批物资全部运到灾区，最快需要___________小时．
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