专题八直线与二次曲线（1，2，3）参考答案及提示 §坐标法．Ｃ；2．Ｃ；3．Ｄ；4．Ｂ；．ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２；．2；．4．5．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则过点A的切线方程为ｘｘ１＋ｙｙ１＝ｒ２．∵点P（ｘ０，ｙ０）在这切线上，∴有ｘ０ｘ１＋ｙ０ｙ１＝ｒ２，①同理有ｘ０ｘ２＋ｙ０ｙ２＝ｒ２，②由①②知A、B的坐标都是方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２的解．即A、B两点都在直线ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２上，故经过A、B两点的直线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．6．画出方程表示的曲线图形，易知面积为2．7.设直线方程为ｙ＝ｋｘ＋1代入双曲线方程，化简整理，得（4－9ｋ２）ｘ２－18ｋｘ－45＝0．①（1）当4－9ｋ２＝0，即ｋ＝±（2／3）时，方程①有惟一的解，直线ｙ＝±（2／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点；（2）当4－9ｋ２≠0且Δ＝18２ｋ２＋4（4－9ｋ２）×45＝0，即ｋ＝±（／3）时，方程①有惟一的解，此时直线ｙ＝±（／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点．故这样的直线共有4条．8.（1）建立如图所示的直角坐标系，则Ａ的坐标为（－4，0），Ｂ的坐标为（4，0）．
第8题
设N为大圆上任一点，ｌ为过N的大圆的切线，并设抛物线的焦点为Ｆ（ｘ，ｙ），作ＡＡ′⊥ｌ，垂足为Ａ′，BB′⊥ｌ，垂足为Ｂ′．根据抛物线的定义，得｜ＡＦ｜＝｜ＡＡ′｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＢ′｜．∴｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝｜ＡＡ′｜＋｜ＢＢ′｜＝2｜ＯＮ｜＝10．而Ａ、Ｂ为定点，故焦点F的轨迹M是以A、B为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆（除去长轴的两端点），其方程为（ｘ２／25）＋（ｙ２／9）＝1（ｙ≠0）．（2）根据椭圆的对称性，有Ｓ△ＰＱＦ＝2Ｓ△ＯＦＰ．设△ＯＦＰ的边OP上的高为ｈ，则Ｓ△ＰＱＦ＝2·（1／2）·｜ＯＦ｜·ｈ＝4ｈ，因ｈ≤3，故当ｈ＝3时，Ｓ△ＰＱＦ的最大值为12（平方单位）．9.由已知知M、N为定点，故以MN所在直线为x轴，为使椭圆方程为标准形式，取MN中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ（如图）.设椭圆方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，Ｍ（－ｃ，0），Ｎ（ｃ，0），Ｐ（ｘ０，ｙ０），则根据题意，得
第9题
ｙ０／（ｘ０＋ｃ）＝（1／2），
ｙ０／（ｘ０－ｃ）＝－2，
及（1／2）·2ｃ·ｙ０＝1．解得ｃ＝（／2），从而P点的坐标为（（5／6），（2／3））.又椭圆经过点P，∴ｂ２（（5／6））２＋ａ２（（2／3））２＝1．又∵ａ２＝ｂ２＋ｃ２，联立解得ａ２＝（15／4），ｂ２＝3．故所求椭圆的方程是（4ｘ２／15）＋（ｙ２／3）＝1．10.（1）取MC的中点O为原点，OC为x轴建立如图所示的直角坐标系，据题意2c=8,2a=10,∴c=4,，椭圆方程为（x２／25）+（y２／9）=1．
第10题
（2）设A（x０,y０）,则B（-x０-8,-y０）,△ABC的外心坐标为（x,y）.线段AB的中垂线方程为y=-（x０+4／y０）（x+4）,线段AC的中垂线方程为y-（y０／2）=-（x０-4）／y０（x-（x０+4）／2）,两式中消去y,将（x０+4）２+y０２=100代入，得x=-（25／4）,而（1）中椭圆的左准线方程为x=-（25／4）．故△ABC的外心在椭圆（x２／25）+（y２／9）=1的左准线上.§2轨迹1．Ｃ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；．ｘ＋4ｙ＝0（－（4／5）＜ｘ＜（4／5））（参数法）；6．（9ｘ２／16）－ｙ２＝1（ｙ≠0）（动点转移法）；7．（16ｘ２／ａ２）－（16ｙ２／3ａ２）＝1（ｘ＞（9／4））（定义法．由正弦定理，将已知条件化为｜ＡＢ｜－｜ＡＣ｜＝（1／2）ａ＜｜ＢＣ｜）．8．动点转移法：设椭圆的左顶点为M（ｘ，ｙ），左焦点为Ｆ（ｘ１，ｙ１）.如图，∵Ａ（1，2）在椭圆上，ｙ轴为左准线，根据椭圆第二定义，得｜ＡＦ｜＝（1／2），
第8题
∴（ｘ１－1）２＋（ｙ１－2）２＝（1／4）．①又∵ｙ１＝ｙ，点M（ｘ，ｙ）在椭圆上，∴（｜ＭＦ｜／ｘ）＝（1／2），即（ｘ１－ｘ）／ｘ＝（1／2），∴ｘ１＝（3／2）ｘ.把ｘ１＝（3／2）ｘ，ｙ１＝ｙ代入①，得（（3／2）ｘ－1）２＋（ｙ－2）２＝（1／4），即（ｘ－（2／3））２／（（1／3）２）＋（（ｙ－2）２／（1／2）２）＝1．故椭圆的左顶点M的轨迹是中心在（（2／3），2），长、短轴长分别为1、（2／3），长轴平行于ｙ轴的椭圆．9.因直线过定点，其斜率ｋ为变量，P点在BC上，其坐标随ｋ的变化而变化，故可选直线的斜率ｋ为参数，用参数法求解．
第10题
设直线AB的方程为ｙ＝ｋｘ＋ａ，代入圆方程并整理，得（1＋ｋ２）ｘ２＋2（ａｋ－2）ｘ＋ａ２＋3＝0．①则ｘ１＋ｘ２＝（4－2ａｋ）／（1＋ｋ２），ｘ１ｘ２＝（ａ２＋3）／（1＋ｋ２），且1≤ｘ１＜ｘ２≤3．∵Ｐ在BC上，且满足（｜ＢＰ｜／｜ＰＣ｜）＝（｜ＡＢ｜／｜ＡＣ｜），设点P的坐标为（ｘ，ｙ），则ｘ１＜ｘ＜ｘ２且（ｘ－ｘ１）／（ｘ２－ｘ）＝（ｘ１／ｘ２），∴ｘ＝（2ｘ１ｘ２）／（ｘ１＋ｘ２）＝（ａ２＋3／2－ａｋ）．②又ｙ＝ｋｘ＋ａ，③由②③消去参数ｋ，得2ｘ－ａｙ－3＝0，其中ｘ、ｙ满足（ｘ－2）２＋ｙ２＜1．10．（1）设Ｐ（ｘ０，ｙ０），则射线OP的方程为ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ（ｘ≥0），AQ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－1），ＡＲ的方程为ｙ＝－ｋ（ｘ－1）．
由
ｙ＝ｋ（ｘ－1），
消去ｙ，得
ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ
ｋｘ－ｋ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ，∴ｘＱ＝（ｘ０k）／（ｘ０k－ｙ０）．同理可得ｘＲ＝（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ）．由于｜ＯＰ｜２＝｜ＯＱ｜·｜ＯＲ｜等价于ｘＰ２＝ｘＱ·ｘＲ，所以由（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ－ｙ０）·（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ０）＝ｘ０２，得ｘ０２（ｘ０２ｋ２－ｙ０２－ｋ２）＝0．由题意ｘ０≠0，所以ｘ０２ｋ２－ｙ０２＝ｋ２，即ｘ２－（ｙ２／ｋ２）＝1（ｘ＞0），此即点P的轨迹方程．（2）｜ＱＲ｜＝
＝（2｜ｙ０｜）／｜ｋ｜·
又A点到OP的距离ｈ＝（｜ｙ０｜／）
依题意，（｜ｙ０｜·）／｜ｋ｜·｜ｙ０｜／＝（1／4）｜ｋ｜，
∴ｙ０＝±（1／2）｜ｋ｜，∴ｘ０＝＝（／2）．可见，符合题意的点P存在，其坐标为Ｐ１（（／2），（1／2）｜ｋ｜），Ｐ２（（／2），－（1／2）｜ｋ｜）．§3直线与圆1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｄ；4．Ｃ；．13或3．6．（ｘ＋2）２＋（ｙ－17）２＝289或（ｘ－2）２＋（ｙ－5）２＝25．7．－3－（／2）≤ａ≤－3＋（／2）．8．设Ｐ、Ｐ′所同在的直线方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝0，则应有Ａｘ′＋Ｂｙ′＋Ｃ＝0．
将
ｘ′＝3ｘ＋2ｙ＋1，
代入整理，得
ｙ′＝ｘ＋4ｙ－3
（3Ａ＋Ｂ）ｘ＋（2Ａ＋4Ｂ）ｙ＋（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）＝0．因P和P′不可能同在垂直于坐标轴的一条直线上运动，所以Ａ≠0，Ｂ≠0．由两直线重合的条件，有（3Ａ＋Ｂ）／Ａ＝（2Ａ＋4Ｂ）／Ｂ＝（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）／Ｃ＝ｋ．消去Ａ、Ｂ、Ｃ，得ｋ２－7ｋ＋10＝0，解得ｋ１＝2，ｋ２＝5．当ｋ＝2时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝1∶（－1）∶4，这时直线的方程为ｘ－ｙ＋4＝0；当ｋ＝5时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝4∶8∶（－5），此时直线的方程为4ｘ＋8ｙ－5＝0．9．将A点看作特殊的“点圆”，其方程为（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0．于是问题转化为求过两圆（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0和ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ＋15＝0的交点，且与ｌ相切的圆的方程．考虑圆系（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＋λ（ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ－15）＝0．与直线联立，并消去ｘ，得5（1＋λ）ｙ２－4（11＋9λ）ｙ＋20（3λ＋5）＝0．由直线与圆相切知＝16（11＋9λ）２－400（1＋λ）（3λ＋5）＝0．解得λ１＝1，λ２＝－（2／3）．∴所求圆的方程有两个：ｘ２＋ｙ２－5ｘ－10ｙ＋30＝0；ｘ２＋ｙ２－10ｘ－20ｙ＋105＝0．10.设动圆圆心为M（ｘ，ｙ），半径为ｒ，点M到ｌ１、ｌ２的距离分别为ｄ１、ｄ２，据弦、弦心距、半径三者的关系，有
第10题
ｄ１２＋（26／2）２＝ｒ２，ｄ２２＋（24／2）２＝ｒ２，由此可得ｄ２２－ｄ１２＝25．①又ｄ１＝（｜2ｘ－3ｙ＋2｜）／，ｄ２＝（｜3ｘ－2ｙ＋3｜）／，代入①，得（（3ｘ－2ｙ＋3）／）２－（（2ｘ－3ｙ＋2）／）２＝25.化简，得ｘ２＋2ｘ＋1－ｙ２＝65，即（（ｘ＋1）２／65）－（ｙ２／65）＝1．∴动圆圆心M的轨迹是以（－1，0）为中心，为实轴长，且实轴平行于x轴的等轴双曲线．
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