浙江省2014届理科数学专题复习试题选编14：函数的极值与导数
一、选择题
．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知函数与轴切于点,且极小值为,则 （）
A．12 B．13 C．15 D．16
【答案】C
．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设函数,,若的图像与的图像有且仅有两个不同的公共点,,则下列判断正确的是 （）
A．当时, B．当时,
C．当时, D．当时,
【答案】D
．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是
【答案】C
．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）设函数f(x)=x3-4x+a,0
A．x1>-1 B．x2<0 C．x2>0 D．x3>2
【答案】C
．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知函数,则方程(为正实数)的根的个数不可能为 （）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知为自然对数的底数,设函数,则 （）
A．当时,在处取得极小值 B．当时,在处取得极大值C．当时,在处取得极小值 D．当时,在处取得极大值
【答案】C
二、解答题
．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知函数为常数,(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)当在处取得极值时,若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;(3)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围.【答案】(1)时,,于是,又,即切点为(切线方程为(2),
,即,此时,,上减,上增,又
(3)
,即(在上增,只须(法一)设
又在1的右侧需先增,设,对称轴又,在上,,即在上单调递增,即,于是(法二)设,
设,在上增,又,,即,在上增又
．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知函数,.(1)若函数依次在处取到极值.①求的取值范围;②若,求的值.(2)若存在实数,使对任意的,不等式恒成立.求正整数的最大值.【答案】【解析】(1)①
②
(2)不等式,即,即.转化为存在实数,使对任意的,不等式恒成立.即不等式在上恒成立.即不等式在上恒成立.设,则.设,则,因为,有.故在区间上是减函数.又
故存在,使得.当时,有,当时,有.从而在区间上递增,在区间上递减.又
所以当时,恒有;当时,恒有;故使命题成立的正整数的最大值为5.
．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）已知函数(其中为常数).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,设函数的3个极值点为,且.证明:.金丽衢十二校2012学年第二次联合考
【答案】解:(Ⅰ)令可得.列表如下: - - 0 + 减减极小值增单调减区间为,;增区间为(Ⅱ)由题,对于函数,有∴函数在上单调递减,在上单调递增∵函数有3个极值点,从而,所以,当时,,,∴函数的递增区间有和,递减区间有,,,此时,函数有3个极值点,且;∴当时,是函数的两个零点,即有,消去有令,有零点,且∴函数在上递减,在上递增要证明即证构造函数,=0只需要证明单调递减即可.而,在上单调递增,∴当时,
．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷）已知函数(且,)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是.(1)求函数的另一个极值点;(2)求函数的极大值和极小值,并求时,的取值范围.【答案】解:(Ⅰ),由题意知,即得,(),.由得,由韦达定理知另一个极值点为(或).(Ⅱ)由()式得,即.当时,;当时,.(i)当时,在和内是减函数,在内是增函数.,
,
由及,解得.(ii)当时,在和内是增函数,在内是减函数.,
恒成立.综上可知,所求的取值范围为.
．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word版））已知函数(为常数).(Ⅰ)当时,求函数的
(Ⅱ)是否存在正实数,使得函数的极小值小于0,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.【答案】
．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设,函数,.
(1)当时,比较与的大小;
(2)若存在实数,使函数的图象总在函数的图象的上方,求的取值集合.
【答案】
．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知函数(I)若函数存在极大值和极小值,求的取值范围;(II)设m,n分别为的极大值和极小值,若存在实数求a的取值范围.(e为自然对数的底)
【答案】
．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）设,.(1)若,求的单调区间;(2)讨论在区间上的极值点个数;
【答案】解:(1)当时:,()故当时:,当时:,当时:.故的减区间为:,增区间为(2)
令,故,,显然,又当时:.当时:.故,,.故在区间上单调递增,注意到:当时,,故在上的零点个数由的符号决定①当,即:或时:在区间上无零点,即无极值点.②当,即:时:在区间上有唯一零点,即有唯一极值点.综上:当或时:在上无极值点.当时:在上有唯一极值点
．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word版））已知函数.
(Ⅰ)若无极值点,求的取值范围;(Ⅱ)设为函数的一个极值点,问在直线的右侧,函数的图象上是否存在点,,使得成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)由已知得(),
令得,则
因为无极值点,所以或,
得或.所以的取值范围为(Ⅱ)因为,由(Ⅰ)可知,函数最多只有一个极值点,且函数在上单调递增.
由得
又,
所以,所以
因为,所以,设,,
则,则函数在上单调递增,又,所以,
所以,
所以,即,
得(或)
又因为点在直线右侧,且在函数图象上,所以
①当时,,此时;
②当时,,此时,
综上,存在满足条件的点,且当时,的取值范围为
当时,的取值范围为
．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）已知函数.(Ⅰ)若记,求证:当时,;
(Ⅱ)若,是函数的两个极值点,且,若(),求实数的取值范围.(注:是自然对数的底数.)【答案】解(Ⅰ)因为,所以
由得
当时,,
当时,
所以,
又因为,所以,
所以,当时,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
(Ⅱ)由得:
因为方程有两解,所以
由
解得:或
(ⅰ)当时,无解
(ⅱ)当时,解得
所以,实数的取值范围为┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题）已知函数在处取得极值,且在处的切线的斜率为1.
(Ⅰ)求的值及的单调减区间;
(Ⅱ)设>0,>0,,求证:.
【答案】解:(Ⅰ)
,∴,即,∴
∴,又,∴,∴
综上可知
,定义域为>0,
由<0得0<<,∴的单调减区间为
(Ⅱ)先证
即证
即证:
令,∵>0,>0,∴>0,即证
令则
．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）已知函数.
(1)求函数的图像在点处的切线方程;
(2)若,且对任意恒成立,求的最大值;
【答案】(1)解:因为,所以,函数的图像在点处的切线方程;
(2)解:由(1)知,,所以对任意恒成立,即对任意恒成立
令,则,
令,则,
所以函数在上单调递增
因为,所以方程在上存在唯一实根,且满足.
当,即,当,即,所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以所以.故整数的最大值是3
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理科数学一模答案第5页（共5页）
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