浙江省2014届理科数学专题复习试题选编15：函数的最值与导数
一、选择题
1．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）设函数,若有且仅有一个正实数,使得对任意的正数t都成立,则= （）
A．5 B． C．3 D．
【答案】D
2．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）若函数,则下列命题正确的是 （）
A．对任意,都存在,使得
B．对任意,都存在,使得
C．对任意,方程只有一个实根
D．对任意,方程总有两个实根
【答案】B
二、填空题
3．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）若时,不等式恒成立,则的取值范围是_______.
【答案】
三、解答题
4．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）已知,函数.(Ⅰ)若,求函数的极值点;(Ⅱ)若不等式恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数)【答案】解:(Ⅰ)若,则,.当时,,单调递增;当时,,单调递减又因为,,所以当时,;当时,;当时,;当时,故的极小值点为1和,极大值点为(Ⅱ)不等式,整理为.()设,则()
①当时,,又,所以,当时,,递增;当时,,递减.从而.故,恒成立②当时,.
令,解得,则当时,;再令,解得,则当时,.取,则当时,.所以,当时,,即.这与“恒成立”矛盾.综上所述,
5．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）
(Ⅰ)求的值及的值域;
(Ⅱ)设函数,试求函数的零点的个数.
【答案】
6．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题）已知函数,R.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.(注:为自然对数的底数.)【答案】解:(Ⅰ)当时,,则故,所以曲线在点处的切线方程为即为;(Ⅱ)由题,令,注意的图像过点(0,-1),且开口向上,从而有(1),单调递增,所以有得;(2)当即时,单调递减,所以有得,故只有符合;(3)当即时,记函数的零点为,此时,函数在上单调递减,在上单调递增,所以,因为是函数的零点,所以,故有令,,则所以函数在上单调递减,故恒成立,此时,;综上所述,实数的取值范围是
7．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知.(Ⅰ)判断曲线在的切线能否与曲线相切?并说明理由;
(Ⅱ)若求的最大值;
(Ⅲ)若,求证:.
【答案】
8．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）定义,
(1)设函数,试求函数的定义域;
(2)设函数的图象为曲线C,若存在实数b,使得曲线C在其上横坐标为的点处有斜率为-8的切线,求实数的取值范围;
(3)当且时,证明:.
【答案】解:(1),即得函数的定义域是,
(2)设曲线处有斜率为-8的切线,又由题设∴存在实数b使得有解,
由①得代入③得,有解,
易得:,因为,所以,
当时,存在实数,使得曲线C在处有斜率为-8的切线
(3)当且时
令
又令,
单调递减.
单调递减,
,故不等式得证
9．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）.
(I)若关于x的不等式f(x)≤m恒成立,求实数m的最小值:
(II)对任意的x1,x2∈(0,2)且x1
:
【答案】(I)解:由解得
当时,,单调递增;当时,,单调递减;∴
∵关于的不等式恒成立∴∴即的最小值为(II)证明:∵对任意的,若存在,使得即∴
令,则有∴,
当时,,又有∴即在上是减函数又∵
令,∴设,∴设,∴(),∴在是减函数,∴∴,∴在是减函数,∴∴
∵在上是减函数,∴
10．（浙江省重点中学2013届高三上学期期中联谊数学（理）试题）已知函数,(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若恒成立,求实数的值;(Ⅲ)设()有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明:【答案】解:(Ⅰ),在递减,在递增
?
? (Ⅱ)
所以(即)的必要条件是,得当时,由(1)知恒成立.所以(注:直接得出,没有证明的,得3分)(3),
,有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根得由得,()
设,得,
所以
11．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数(I)若为的极值点,求实数的值;(II)若在上为增函数,求实数的取值范围;(III)当时,方程有实根,求实数的最大值.【答案】解:(I)因为为的极值点,所以,即,解得(II)因为函数在上为增函数,所以在上恒成立.6分当时,在上恒成立,所以在上为增函数,故符合题意当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以在上恒成立令函数,其对称轴为,因为,所以,要使在上恒成立,只要即可,即,所以.因为,所以.
综上所述,a的取值范围为(Ⅲ)当时,方程可化为.
问题转化为在上有解,即求函数的值域.因为函数,令函数,
则,
所以当时,,从而函数在上为增函数,当时,,从而函数在上为减函数,因此.
而,所以,因此当时,b取得最大值0
12．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）
(I)求f(x)的单调区间;
(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)=()
令,①时,,所以增区间是;②时,,所以增区间是与,减区间是③时,,所以增区间是与,减区间是④时,,所以增区间是,减区间是(Ⅰ)因为,所以,由(1)知在上为减函数若,则原不等式恒成立,∴若,不妨设,则,,所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立令,所以对任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数所以对任意的,恒成立
13．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷）已知为正的常数,函数.(I)若,求函数的单调递增区间;(II)设,求在区间[1,]上的最小值.(为自然对数的底数)【答案】(Ⅰ)时,,
可得单调增区间是(Ⅱ),
当时,则,,得;当时,单调递增,;当时,在上减,上增,
14．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.
【答案】
15．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）设函数.(I)试讨论函数在区间[0,1]上的单调性:(II)求最小的实数h,使得对任意x∈[0,1]及任意实数t,恒成立.【答案】
16．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）已知函数,
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数,若存在,使得成立,求的取值范围;
(Ⅲ)若方程有两个不相等的实数根,求证:.
【答案】解析:(1)
当时,,函数在上单调递增,函数的单调增区间为
当时,由得;由得
函数的单调增区间为,单调减区间为
(2)当时,则当时,,
① 当,则显然成立,即
② 当,则,即综上可知
(3)是方程的两个不等实根,不妨设
则
两式相减得
即又,当时;当时
故只要证明即可,即证
即证明:,设令则
则在为增函数,又
时,总成立,得证.
17．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设函数,其中(1)如果是函数的一个极值点,求实数a的值及的最大值;(2)求实数a的值,使得函数同时具备如下两个性质:①对于任意实数恒成立;[来②对于任意实数恒成立;
【答案】
18．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）已知函数()
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,设,若存在,,使,
求实数的取值范围.为自然对数的底数,【答案】解:(Ⅰ),
令当时,,的减区间为,增区间为(.
(当时,所以当时,在区间上单调递减当时,,
,
当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,的减区间为,增区间为(.
当时,的减区间为.
当时,的减区间为,
增区间为(Ⅱ)由(Ⅰ)可知在上的最大值为,
令,得时,,单调递减,时,,单调递增,所以在上的最小值为,
由题意可知,解得所以
19．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）
(Ⅰ)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅱ)记,所表示的平面区域内,请写出判断过程.
【答案】---
(2)
①当时,所以函数在单调递增,所以其最小值为,而在的最大值为1,所以函数所表示的平面区域内
②当时,函数在单调递减,所以其最小值为所以下面判断与的大小,即判断与的大小,其中令,,因所以,单调递增;所以,故存在使得所以在上单调递减,在单调递增所以
所以时,即也即
所以函数
20．（浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学（理）试题）已知函数,其中a为常数,设e为自然对数的底数.⑴当时,求的最大值;⑵若在区间(0,e]上的最大值为,求a的值;⑶当时,试推断方程=是否有实数解
【答案】解:(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+
当00;当x>1时,f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数=f(1)=-1
(2)∵f′(x)=a+,x∈(0,e],∈
①若a≥,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上增函数∴=f(e)=ae+1≥0.不合题意
②若a<,则由f′(x)>0>0,即0
由f(x)<0<0,即
从而f(x)在上增函数,在为减函数
∴=f=-1+ln
令-1+ln=-3,则ln=-2
∴=,即a=.∵<,∴a=为所求
(3)由(1)知当a=-1时=f(1)=-1,
∴|f(x)|≥1
又令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=e,
当00,g(x)在(0,e)单调递增;
当x>e时,g′(x)<0,g(x)在(e,+∞)单调递减∴=g(e)=<1,∴g(x)<1
∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>∴方程|f(x)|=没有实数解
21．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）设函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的单调区间;(3)在(Ⅱ)的条件下,设函数,若对于,,使成立,求实数b的取值范围.
【答案】.解:函数的定义域为,(1)当时,,∴在处的切线方程为
的最小值为 若对于使成立在上的最小值不大于在[1,2]上的最小值()
22．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数(I)当时,讨论在上的单调性;(II)若的定义域为(i)求实数的取值范围;(ii)若关于的不等式对任意的都成立,求实数的取值范围.
【答案】解:(I)∵,∴∴由解得当时,单调递增;当时,单调递减(II)(i)∵的定义域为∴当时,恒成立即恒成立,,∴(ii)由,得即在上恒成立当时,∵,当时,而,∴原不等式不可能恒成立当时,要使在上恒成立∵
设∴
又∵当时,∴当时,,∴在上是减函数,∴∴在上恒成立,即原不等式恒成立综上所述:
23．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知函数(Ⅰ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;(Ⅱ)设函数,求证:
【答案】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分15分.
解:(Ⅰ)由可知是偶函数.于是对任意成立等价于对任意成立.由得.①当时,.此时在上单调递增. 故,符合题意.②当时,.当变化时的变化情况如下表: 单调递减极小值单调递增由此可得,在上,.依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.·········7分(Ⅱ),
,
,
由此得,故.·········15分
24．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意的时，都有，求实数m的取值
范围。
【答案】1）
则······················2分
；···············5分
（2）
····················8分
则对任意的时，都有,即为：
即恒成立，
设
···············10分
①，，
（1,2）为减函数，且，则，矛盾;············12分
②若
若，则（1,2）上为减函数，且，则，矛盾；
若，则上为减函数，在上为增函数，
且，矛盾
若，则（1,2）上为增函数，则恒由，
则，解得········································15分
25．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知函数
(1)若是函数的极值点,求的值;
(2)求函数的最大值.
【答案】解:(1)∵是极值点,∴代入得,解得(2)
记,(ⅰ)
则在上单调递增,上单调递减(ⅱ)
则在上单调递增,单调递减-综上,在上单调递增,上单调递减∴
26．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版)）已知函数,.
(Ⅰ)若,求函数在区间上的最值;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围.注:是自然对数的底数,约等于.【答案】解:(Ⅰ)若,则.
当时,,
,
所以函数在上单调递增;
当时,,
.
所以函数在区间上单调递减,
所以在区间上有最小值,又因为,
,而,所以在区间上有最大值
(Ⅱ)函数的定义域为.
由,得.()
(ⅰ)当时,,,
不等式()恒成立,所以;
(ⅱ)当时,
①当时,由得,即,
现令,则,
因为,所以,故在上单调递增,
从而的最小值为,因为恒成立等价于,
所以;
②当时,的最小值为,而,显然不满足题意
综上可得,满足条件的的取值范围是
27．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）线段,BC中点为M,点A与B,C两点的距离之和为6,设,.(Ⅰ)求的函数表达式及函数的定义域;(Ⅱ)设,试求d的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)当A、B、C三点不共线时,由三角形中线性质知,代入得,又,得;当A,B,C三点共线时,由,可知在线段BC外侧,由或x=5,因此,当x=1或x=5时,有,同时也满足:.当A、B、C不共线时,,可知,从而定义域为[1,5](Ⅱ)∵.∴d=y+x-1=.
令t=x-3,由知,,,两边对t求导得:,∴关于t在[-2,2]上单调递增.∴当t=2时,=3,此时x=1.当t=2时,=7.此时x=5.故d的取值范围为[3,7]
28．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知函数(常数)在处取得极大值M.(Ⅰ)当M=时,求的值;(Ⅱ)记在上的最小值为N,若,求的取值范围.【答案】
29．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知函数.
(Ⅰ)当时,求在点处的切线方程;
(Ⅱ)若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)当时,∴∴
∵
∴在点处的切线方程为:.(Ⅱ)∵∴
令,则∴在上∵,当时,∴存在,使,且在上,在上∵∴,即∵对于任意的,恒有成立∴∴
∴∴∴
∵∴
令,而,当时,∴存在,使∵在上,∴∴
∵在上∴∴∴.
30．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版））函数的图象记为(I)过一点作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条,(i)求的值;(ii)若点在切线上,对任意的,求证:(II)若对恒成立,求的最大值.
【答案】解:(I)(i)设切点为,则切线方程为,将点代入得可化为设,的极值点为作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条,
(ii)因为点A在曲线E上,所以
当时,左边=
令函数,
当时,函数在上单调递增,
当即时,由得
∴函数在上单调递减,在上单调递增
;
当时,左边=
令函数
,由得
当时,即时,函数在上单调递减,
当时,函数在上单调递减,在上单调递增
令函数
设,在上单调递增
(II)由得对恒成立,显然.
若则若,则设函数,由所以函数在上单调递减,在上单调递增
设由∴函数在上单调递增,在上单调递减∴,即的最大值为,此时
31．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)若,求的最大值.注:e是自然对数的底数.【答案】(Ⅰ)解:函数的定义域为,.依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故,
并且.所以,
故的取值范围是(Ⅱ)解:当时,.若设,则.
于是有
构造函数(其中),则.所以在上单调递减,.故的最大值是
32．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知函数在处取得极值.且在x=1处的切线斜率为1.
(Ⅰ)求bc的值及的单调减区间;(Ⅱ)设求证:
【答案】
33．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知函数(1)当时,求的极值(2)当时,求的单调区间(3)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】解:
↘极小值↗
34．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）已知函数.
(Ⅰ)当时,试判断的单调性并给予证明;
(Ⅱ)若有两个极值点.
(i)求实数a的取值范围;
(ii)证明:.(注:是自然对数的底数)
【答案】解:(1)当时,,在R上单调递减,只要证明恒成立,设,则,当时,,当时,,当时,,故恒成立所以在R上单调递减(2)(i)若有两个极值点,则是方程的两个根,故方程有两个根,又显然不是该方程的根,所以方程有两个根,设,得若时,且,单调递减若时,时,单调递减时,单调递增要使方程有两个根,需,故且故的取值范围为法二:设,则是方程的两个根,则,当时,恒成立,单调递减,方程不可能有两个根所以,由,得,当时,,当时,,得(ii)由,得:,故,,
设,则,上单调递减故,即
35．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）(本题满分15分)已知函数(b为常数).(Ⅰ)函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;(Ⅱ)设,若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围;(Ⅲ)若,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数,,都有成立,求的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)因为,所以,因此,所以函数的图象在点()处的切线方程为,由得,由,得(Ⅱ)因为,所以,由题意知在上有解,因为,设,因为,则只要,解得,所以b的取值范围是(Ⅲ)不妨设,因为函数在区间[1,2]上是增函数,所以,函数图象的对称轴为,且.(i)当时,函数在区间[1,2]上是减函数,所以,所以等价于,即,等价于在区间[1,2]上是增函数,等价于在区间[1,2]上恒成立,等价于在区间[1,2]上恒成立,所以,又,所以(ii)当时,函数在区间[1,b]上是减函数,在上为增函数.①当时,等价于,等价于在区间[1,b]上是增函数,等价于在区间[1,b]上恒成立,等价于在区间[1,b]上恒成立,所以,又,所以②当时,等价于,等价于在区间[b,2]上是增函数,等价于在区间[b,2]上恒成立,等价于在区间[b,2]上恒成立,所以,故,③当时,由图像的对称性知,只要对于①②同时成立,对于③,存在,使=恒成立;或存在,使=恒成立,
因此当时,对于③成立综上,b的取值范围是
36．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）已知函数(x>0,实数a为常数)(Ⅰ)a=4时,求函数在上的最小值;(Ⅱ)设,求证:不等式:对于任意不相等的,都成立
【答案】(Ⅰ)时,,,,,
即在上单调递减,在单调递增
在区间上,当有最小值
(Ⅱ)当=,
在单调递减,不妨设,则当时,故不等式等价于
令函数,则=
再令,对称轴,
,从而当时恒成立,
即当时恒成立,所以在为增函数,所以
从而对于任意的,都有不等式
37．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,函数
(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:;(Ⅱ)由已知得到:,其中,当时,,(1)当时,,所以在上递减,所以,因为;(2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为;
(3)当,即时, ,且,即
2 + 0 - 0 + 递增极大值递减极小值递增 所以,且所以,所以;由,所以(ⅰ)当时,,所以时,递增,时,递减,所以,因为,又因为,所以,所以,所以(ⅱ)当时,,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以① 当时,,所以,所以此时;② 当时,,所以,所以此时综上所述:.
38．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,(Ⅰ)求实数的取值范围;(Ⅱ)求的取值范围;(Ⅲ)若,求的最大值.(注:e是自然对数的底数.)【答案】解:(Ⅰ)函数的定义域为,.依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故,
并且.(Ⅱ)
故的取值范围是(Ⅲ)解:当时,.若设,则.
于是有
构造函数(其中),则.所以在上单调递减,.故的最大值是.39．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）已知函数,它的一个极值点是
(Ⅰ)求m的值及在上的值域;(Ⅱ)设函数,求证:函数与的图象在上没有公共点.【答案】解(Ⅰ):令,由题设,满足方程,由此解得:或.
(1)当时,分析可知:在上是减函数;在上是增函数;由此可求得,故当时,的值域为.
(2)当时,同样可得:在上是减函数;在上是增函数,当时,的值域为.
解(Ⅱ),所以,因为,所以,所以(1),设,则,当时,即为增函数,故当有,即,
所以(2),由(1)(2)得,当时,.
所以在上为增函数,又因为在x=0处与图象相连,故对于有,即;
由(Ⅰ)知:(1)当时:在上的值域为 ,而;所以,故函数与的图象在上没有公共点.(2)当时,在上的值域为 ,由于所以,所以,故函数与的图象在上也没有公共点.综上所述,函数与的图象在上没有公共点.
40．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知函数,(),
(Ⅰ)若函数在点处的切线与函数的图像相切,求的值;
(Ⅱ)若,且当时,恒有,求的最大值.
(参考数据:,,)
【答案】(Ⅰ)由已知得,且,从而得.函数在点处的切线方程为,即;
于是,据题设,可令直线与函数的图像相切于点,
从而,可得,,又,
因此有①,②.由①②,可得,所以,解得或(Ⅱ)当时,恒成立,
等价于,当时,恒成立.设(),则,
且可得();记(),
则,所以在上单调递增.又,,所以,
在存在唯一的实数根,使得③;
因此,当时,,即得,则在上递减,
当时,,即得,则在上递增;
所以,当时,又由③,可得,因此,得,
而,所以,,又,
而,
所以,因此,
又,所以
41．（浙江省嘉兴市2013年3月高三教学测试(一)数学理）
(I)求f(x)的单调区间;
(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)=()
令,①时,,所以增区间是;②时,,所以增区间是与,减区间是③时,,所以增区间是与,减区间是④时,,所以增区间是,减区间是(Ⅰ)因为,所以,由(1)知在上为减函数若,则原不等式恒成立,∴若,不妨设,则,,所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立令,所以对任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数所以对任意的,恒成立
42．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）(本题满分I4分)设函数为实数).
(I)设a≠0,当a+b=0时.求过点P(一1,0)且与曲线相切的直线方程;
(Ⅱ)设b>0,当a≤0且时,有,求b的最大值.
【答案】(Ⅰ)∵,,∴,则,∴,设切点T(),则,即:切线方程为,又∵切线过点P(),∴,解得:或.当时,,切线方程为,当时,,切线方程为(Ⅱ)①当,时,在[0,1]上递增,∴.②当,时,令,得,在[0,]上递增,(i)若时,在[0,1]上递增,∵,∴,即:,由线性规划知:.(ii)若时,在[0,]上递增,在[,1]上递减,又,由题意得:,由得,,即:,得.又,∴,∴,得.当时,,满足.综上所述:的最大值为
43．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）（本小题满分15分）函数定义在区间[a,b]上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，
，
若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数
为区间上的“第k类压缩函数”．
(1)若函数，求的最大值，写出的解析式；
(2)若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．
【答案】解：(1)由于，故在上单调递减，在上单调递增．
所以，的最大值为．，，
(2)由于，故在上单调递减，在上单调递增，
而，，故，，
．
设对正整数k有对恒成立，
当x=0时，均成立；
当时，恒成立，
而,故；
当时，恒成立，而；
故；所以，，ks5u
又是上的“第3类压缩函数”，故，
所以，．
44．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知是正实数,设函数.(Ⅰ)设,求的单调区间;(Ⅱ)若存在,使且成立,求的取值范围.【答案】
(iii)当,即时,单调递减.当时恒成立综上所述,∴的最大值在处,为7∴的取值范围为,即的取值范围是
45．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知函数.(1)若函数在其定义域内是单调增函数,求的取值范围;(2)设函数的图象被点分成的两部分为(点除外),该函数图象在点处的切线为,且分别完全位于直线的两侧,试求所有满足条件的的值.【答案】解:(Ⅰ),只需要,即
,
所以
.
(Ⅱ)因为,所以切线的方程为
.
令,则
.
.
(ⅰ)若,则,
当时,;当时,,所以,
在直线同侧,不合题意;
(ⅱ)若,则,
①若,,是单调增函数,
当时,;当时,,符合题意;
②若,当时,,,
当时,,,不合题意;
③若,当时,,,
当时,,,不合题意;
46．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）设函数(1)若与在为同一个值时都取得极值,求的值.(2)对于给定的负数,有一个最大的正数,使得时,恒有求①的表达式;②的最大值及相应的值.【答案】解:⑴易知,在时取得极值.,
由题意得,解得⑵①由,,知.
当,即时,要使,在上恒成立,而要最大的,所以只能是方程的较小根.因此,.
当,即时,同样道理只能是方程的较大根,.
综上得
②当时,;
当时,.
故当且仅当时,有最大值
47．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+1,a>0.
(Ⅰ)证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f(x)≤1;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
【答案】本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分14分.(Ⅰ)由于f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a>0,故f(x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.又f(0)=1,f(a)=-a3-a2+1=(1-a)(a+2)2-1.
当f(a)≥-1时,取p=a.此时,当x∈[0,p]时有-1≤f(x)≤1成立.当f(a)<-1时,由于f(0)+1=2>0,f(a)+1<0,故存在p∈(0,a)使得f(p)+1=0.此时,当x∈[0,p]时有-1≤f(x)≤1成立.综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f(x)≤1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(a).
当0a的实根,
即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以g(a)=.
又g(a)在(0,1]上单调递增,故g(a)max=g(1)=.
当a>1时,f(a)<-1.由于f(0)=1,f(1)=(1-a)-1<-1,故[0,p]([0,1].
此时,g(a)≤1.综上所述,g(a)的最大值为.
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