指数与指数函数辅导讲义
知识点1、根式
1)的次方根的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中
2)次方根性质总结:
1、当为奇数时,正数的次方根是(正或负数),负数的次方根是表示为;
2、当为偶数时,正数的次方根有个,这两个数互为相反数可以表示为。
3、负数没有偶次方根。
4、0的任何次方根都是0。
根式的概念:式子叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数。
4)次方根的运算性质:
基础练习1:求下列各式的值:
(1)(2)(3)(4)
(5)(6)(7)(8)
基础练习2:求下列各式的值:
(2)(3)
知识点2、分数指数幂的意义
分指数的意义:;
如:
注意:0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义。
知识点3、指数幂的运算性质
基础练习3:把下列根式化为分数指数幂的形式,分数指数幂化成根式的形式:
(2)(3)(4)
(5)(6)(7)(8)
知识点4、指数函数及其性质
一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为。
通过描点我们得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象,现将函数性质总结如下:
题型1:化简下列各式
注意:化简结果1、不能同时有根号也有分数指数2、不能同时有分母又有负指数
根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。
(1)(2)
(3)
题型2:利用性质比较大小
1.2.3.
题型3:解不等式
1.2.3.4、
题型4:求定义域,值域,单调区间
1.
2.
3.函数的定义域是_________________函数值域为___________________函数值域为___________________,求定义域、值域、单调区间
题型5:指数函数的综合问题
若指数函数在[1,2]上的最大值减去最小值是,求a的值
2、已知f(x)=(a>0且a≠1).(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性
3、已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)判断函数的单调性;
(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
课后练习
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是()
A.B.C.D.
2.计算,结果是().A.1B.C.D.
3.若,则()
A.B.或C.D.
4.函数y=的定义域是()
A.[,+∞)B.[-,+∞)C.(-∞,] D.(-∞,-]
5.函数()的图象是()
6.若a>0,则函数的图像经过定点()
A.(1,2)B.(2,1)C.(0,)D.(2,1+a)
7.函数,满足的的取值范围 ()
A. B.C.D.
8.化简的结果为_________
9.函数的单调增区间为_____________,值域为___________。
10.若集合,________.。
11.解不等式:(1)(2)。
12.已知(1)判断的奇偶性(2)证在定义域内是增函数(3)求函数的值域
对数与对数函数辅导讲义
知识点一:对数的概念
一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,
记作:其中做对数的底数,叫做真数。
根据对数的定义我们可以得到对数与指数间的关系:
2、常用对数与自然对数
1)以10为底的对数称常用对数,记作;
2)以无理数为底的对数称自然对数,,记作;
【基础练习1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1);(2);(3);(4);(5);(6)ln100=4.606.
知识点二:对数的性质及运算性质
①基本性质:
真数N为正数(负数和零无对数);2);3);4)对数恒等式:。
②运算性质:如果则
1);2);3)R)。
③换底公式:
;2)。
【基础练习2】计算下列各式的值:(1);(2);(3)
【基础练习3】(1)(2)(3)(4)
知识点三:对数函数及性质
图
象 定义域 值域 性质 1)过定点(1,0),即 2)在上是减函数 2)在上是增函数 3)当; 3)当;
【题型1】对数运算
【例1】(1)(2)
(3)(4)
(5)
(6)
【题型2】换底公式
若,则=.
设,,求的值.
已知,,试用a、b表示的值;
已知,,试用a、b表示的值
【题型3】:利用性质比较大小
(2)
(3)(4)
(5),,;(6),,.
【题型4】:解不等式
2.3.4、
【题型5】:求定义域,值域,单调区间
求下列函数的定义域:(1);(2).
练习:(1)(2)
求下列函数的值域:(1)
练习:(1)(2)
3、求下列函数的的单调区间(1)(2)
【题型6】:对数函数的综合问题
对于函数f(x)=
求函数f(x)的奇偶性;(2)求函数f(x)的单调性.对于函数f(x)=log(x2-2ax+3),解答下列问题:(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
()若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;
B.C.D..
2.设a=log3π,b=log2,c=log2,则()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a3.当时,在同一坐标系中,函数的图象是().
ABCD
5.函数的定义域是().A.B.C.D.
6.函数的值域是().A.RB.C.D.
7.设,函数在区间上的最大值与最小值之差为,则().
A. B.2 C. D.4
8.若log2a<0,()b>1,则()
A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0
.的奇偶性
11.已知函数,求函数的定义域,并判断它的奇偶性
12.已知f(x)=log4(2x+3-x2),
(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的最大值,并求取得最大值时的x的值.
,对于y∈(0,+∞)时,通过式子x=可知,x在R中有唯一确定的值和它对应,因此,可以说若y是自变量,x是因变量,x是y的函数,这时我们说
x=(y∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数。x=习惯写成y=。
例如对数函数y=(x∈(0,+∞))是指数函数y=2x(x∈R)的反函数。
它们是互为反函数。
对数函数(a>0,且a≠1)和指数函数(a>0,且a≠1)互为反函数。
注意:互为反函数的两个函数,它们的图象关于直线y=x对称。
幂函数
1.幂函数的基本形式是,其中是自变量,是常数.
要求掌握,,,,这五个常
用幂函数的图象.
2.观察出幂函数的共性,总结如下:
(1)当时,图象过定点;在上
是函数.
(2)当时,图象过定点;在上
是函数;在第一象限内,当向原点靠近时,图象在轴的右方无限逼近轴正半轴,当慢慢地变大时,图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴
特别地,当>0时,∈(0,1),的图象都在图象的下方;当0<α<1时,∈(0,1),的图象都在的图象上方.
3.幂函数的图象,在第一象限内,直线的右侧,图象由下至上,指数.轴和直线之间,图象由上至下,指数.
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调增减性 定点
例1.如果幂函数的图象经过点,则的值等于
变式:若幂函数与函数g(x)的图像关于直线y=x对称,且函数g(x)的图象经过,则的表达式为
例2.用“<”或”>”连结下列各式:,
例3.函数的定义域是
例4.如图1—9所示,幂函数在第一象限的图象,
比较的大小()
A.B.C.D.,若,则,大小关系是()
A. B.
C. D.1
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x
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