一、集合与函数辅导讲义
课题 集合的概念及其运算 知识框架
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、__________．
2．集合的表示法：列举法、_______________、图示法．
提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集．
(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为{1，1}．
（3）常见数集的表示：N、Z、Q、R、N或N+
3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号________和________表示．
4．集合与集合之间的关系有：包含关系、_____________、真包含关系，分别用符号________、__________、____________表示．任何集合都是其本身的子集。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
提示：子集与真子集的区别联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为_________个，真子集个数为__________个，非空真子集________个。
5.集合的运算：
1
常用集合运算：（1）_____________________
______________
(2)_____________________
思考：若A、B为有限集，记集合A中元素的个数为cardA，用图示可验证：
card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；
________
2/卷2、集合,,若,则的值为______
3.若集合则A∩B是___________
4、已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________.
已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．
6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为________．
A∪B＝A，则=
3、已知全集U=R，集合，集合＜＜2，则
设集合，则满足条件的集合的个数是________
集合R|，则=.
巩固作业 定义集合AB＝{x|x∈A且xB}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则AB的子集个数为()
已知集合M＝{x||x|<2}，N＝{x|<0}，则集合M∩(RN)等于()
4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，子集P＝{2，a2－a－2}，且UP＝{－1}，则实数a＝________.
x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思
6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x((a，b)，u((m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域
典型例题 题型一：函数概念
1、下列各个对应中,构成映射的是（）
ABABABAB
ABCD
2、如下图可作为函数的图像的是()
A B C D
3、已知函数，则
4、函数，则；则x=。
题型二：求函数的定义域
①自然型:求下列函数定义域
（1）（2）（3）
（4）
②抽象函数定义域：若f（x）定义域为（a,b）则定义域为
1：已知函数f（x）的定义域为（0，1）求的定义域：
2：已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1）求f（x）的定义域：
4、若函数的定义域是，则函数的定义域是
(A)(B)(C)(D)
2、定义域是，则的定义域是（）
A.B.C.D.
题型三：判断两个函数是否相同
1、下列哪组函数相同（）
Ay=()2和y=By=x0和y=1
Cy=－1和y＝x－1Dy=和
2、判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=x－1；
（3）f（x）=，g（x）=；（4）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
题型四：求解析式
例：已知，
（1）求、（3）求（4）
1、已知，求；
2、求3、求
4、已知是一次函数，且满足，求
5、已知是二次函数，且，，求
6、已知满足，求
知识概括、方法总结与易错点分析 “函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；求或已知求：换元法、配凑法；满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。
针对性练习 1．下列四组函数中,表示同一函数的是[???]
A．B．
C．D．
2．下列对应中是映射的是()
A．(1)、(2)、(3)B．(1)、(2)、(5)C．(1)、(3)、(5)D．(1)、(2)、(3)、(5)
．(2008·全国高考题)函数y＝＋的定义域为()
A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}
．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是()
A.B.C.D.
二、填空题
．设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中
元素(6,2)在映射f下的元素是(3,1)，则k，b的值分别为________．
．(2009年东莞模拟)集合A＝{a，b}，B＝{1，－1,0}，那么可建立从A到B的映射个数是________．从B到A的映射个数是________．
若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．，则=
9、已知是一次函数，且满足求若是一次函数，且，则=_________________。，则____________________
13、已知，且，则___________________
14、已知（）
(A)(B)（C）（D）
15、（1）已知，求。（2）已知，求
巩固作业 1、设→B是从集合A到集合B的映射，其中A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，
f：(x，y)→(x＋y，x－y)．那么A中元素(1,3)的象是________；B中元素(1,3)的原________．
2．函数y＝的定义域为()
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
，若，则的值是
5、若函数，则=.
6．函数的定义域为，值域为，则满足条件的实数
组成的集合是。
7、设函数的定义域为，则函数的定义域为__________。 课题 函数的单调性与最值 教学内容 函数的单调性
单调函数的定义：设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，
A.若________________，则在____________上是增函数
B.若________________，则在____________上是减函数
单调区间的定义：若函数在区间上是_______________或_____________________，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，_____________叫做的单调区间。
(3)在单调区间上，增函数的图象是，减函数的图象是.
函数的最值
设函数的定义域为，如果存在实数，满足：
A.对于任意的，都有____________
B。存在，使得______________,则称是的最大值
设函数的定义域为，如果存在实数，满足：
A.对于任意的，都有____________
B。存在，使得______________,则称是的最小值
(3)如果函数在定义域内某个闭区间上递增，那么函数在闭区间的最大值是，最小值是.
如果函数在定义域内某个闭区间上递减，那么函数在闭区间的最大值是，最小值是.
要点点拨
1.函数单调性定义的内涵与外延：
内涵：区间内是用自变量值的大小变化来刻画函数值大小的变化情况；自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减.
外延：在自变量取值区间内，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.把握区间内函数值变化的趋势；可以用函数单调性来比较自变量或函数值的大小.
2.应用定义证明（判断）单调性的步骤是：取值－作差－变形－定号－判断.
3.根据单调性比较大小是比较大小的一种重要的思路和方法，它体现了转化的数学思想，即将函数值的大小比较转化为自变量的大小，反之亦可根据函数值的大小来判断自变量的大小.但都要注意一个问题，即自变量是否在同一单调区间或函数的单调性是怎样.
4.复合函数单调性的判断：(同增异减）
（1）求出复合函数的定义域.
（2）将复合函数分解为若干个常见的基本函数，分别判断其单调性.
（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围.
(4)根据复合函数的单调性规律判断其单调性：
对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上区间也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性：
①若在上单调递增，在上单调递增，则复合函数在区间上单调递增；
②若在上单调递增，在上单调递减，则复合函数在区间上单调递减；
③若在上单调递减，在上单调递增，则复合函数在区间上单调递减；
④若在上单调递减，在上单调递减，则复合函数在区间上单调递增；
5、在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。 典型例题 例1.下列命题正确的是（）
A.定义在上的函数，若存在，使得时，有，那么在上为增函数.
B.定义在上的函数，若有无穷多对，使得时，有，那么在上为增函数.
C.若在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在上也一定为减函数.
D.若在区间上为增函数且（）.
变式训练：
1.如果函数在上是增函数，对于任意的，下列结论中不正确的是（）
A.B.
C.D.
2.定义在上的函数对任意两个不等的实数，总有成立，则必有（）A.函数是先增后减函数B.函数是先减后增函数
C.在上是增函数D.在上是减函数
（利用定义证明单调性）例2.证明函数在上是减函数.
例3..如果函数，对任意实数都有，比较、、的大小.
（注意：利用单调性比较大小，必须将自变量化在同一单调区间，此题充分利用二次函数的对称性实现了这一转化.）
变式：1、已知函数是区间上的减函数，那么与的大小关系为.
已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围.
3、已知f（x）是定义在上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）=1
（1）求证f（8）=3（2）解不等式：f（x）＋f（x－2）＞3
例5：已知在上是减函数，求实数的取值范围.
变式：已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围
例6：（复合函数单调性）求下列函数的单调区间
（1），（2）（3）
知识概括、方法总结与易错点分析 单调区间不能用并集的形式去写
在求函数的单调区间时要注意函数的定义域，不要跑到定义域外面去。
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，是函数单调性的逆向思维问题，要注意函数单调性定义的运用。在解决与函数的单调性有关的参数问题时，我们必须了解参数的取值范围对函数单调性的影响，从而由函数单调性求出参数的取值范围。
4、求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤
(1)确定定义域．
(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)．
(3)分别确定这两个函数的单调区间．
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”． 考点：值域 典型例题 1、求下列函数的值域
（分离常数法）（2）（3）（换元法）
（三角换元）（5）（判别式法）
二次函数值域问题：（注意对称轴于所研究区间之间的位置关系）
定轴动区间：已知函数y=x2-2x,x∈[t,t+1],求函数在[t,t+1]上的最小值
动轴定区间：已知y=x2+2ax+1,x∈[-1,2]最小值为4,求a的值.
巩固作业 1.已知函数，则下面区间不是递减区间的是（）
A.B.C.D.
2.若一次函数在上是减函数，则点在直角坐标平面的（）
A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面
3.函数，那么下列结论正确的是（）
A.在上是减函数B.在上是增函数
C.在上是减函数D.在上是增函数
4.已知y=x2+2x+a,x∈[-3,2]最大值为4,则a=
5.考查函数：①；②；③；④，其中在区间上为增函数的有（）
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
6.函数在内递减，则的取值范围是（）B.C.D.
7.如果函数对任意实数，都有，则（）
A.B.
C.D.
已知f（x）是在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，
求解不等式f（x）＋f（x－2）＞1
9.已知函数对任意总有，且当时，
（1）求证是上的减函数；（2）求在上的最大值和最小值.
课题 函数的奇偶性与周期性 教学内容
1．偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________________，那么函
数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．偶函数的图象关于y轴对称．
2．奇函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_________________，那么
函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．奇函数的图象关于原点对称．
注：对于函数奇偶性定义的理解要注意以下几点：（1）一个函数有奇偶性的前提必须是定义域关于原点对称，这样才能保证定义域内的任意一个自变量都能满足或
（2）偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称。如果一个奇函数的定义域里面含有0，那么在此处的函数值为0，即f（0）=0
（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
3.周期性:一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
都有_________________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的___________。如果非零常数T是函数f(x)的一个周期，那么也为函数的周期。 考点一：奇偶性 典型例题 题型1：利用奇偶性的性质转换区间
如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间上是()Ａ．增函数且最小值为 Ｂ．增函数且最大值为
Ｃ．减函数且最小值为Ｄ．减函数且最大值为
是R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的解集是：（）
A．（－∞，2）B．（2，+∞）C．（－∞，－2）∪（2，+∞）D．（－2，2）
3、函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.或
4、是定义上的奇函数，且在上是减函数．下列正确的是()
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
C．（－∞，－3）∪（3，+∞） D．（－3，0）∪（0，3）
题型2：给出解析式判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：
；；
；
题型3：判断抽象函数的奇偶性
例2.已知函数对一切，都有，求证：为奇函数。
变式：已知函数（）对任意非零的实数，都有，判断的奇偶性。
题型4：利用奇偶性求解析式
例、已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．在上为奇函数，且当时，，求的解析式。
题型5：奇偶性的应用
1、若为偶函数，则
变式：若为奇函数，则
已知其中为常数，若，则=
变式：已知，，=
3、定义在（-1，1）的奇函数是减函数，且满足，求的取值范围
变式：1、函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且，
(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是减函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
知识概括、方法总结与易错点分析 判断函数的奇偶性的方法：
定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；
图象法；
性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．
3.奇函数在0时有定义，一定有f(0)=0 针对性练习 1、下列说法正确的是：()
A． B．轴相交
C． D．是偶函数，定义域为.则，
3、如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （）
A．最大值B．最小值 C．没有最大值 D．没有最小值
5、已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.或
6、若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－2)=0,则xf(x)<0的解集为_________
7、设偶函数f(x)的定义域为R，当x时f(x)是增函数，则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是（）
（A）f()>f(-3)>f(-2)（B）f()>f(-2)>f(-3)（C）f()
已知函数是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x);当x<0时，f(x)=()
A、-x(1-x)B、x(1-x)C、-x(1+x)D、x(1+x)0时，f(x)=-x2+2x,则f(x)在时的解析式是（）
A．f(x)=x2-2xB．f(x)=x2+2xC．f(x)=-x2+2xD．f(x)=-x2-2x
11、已知，那么是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于
A.B.C. D.
14、函数是偶函数，且不恒等于零，则
是奇函数是偶函数可能是奇函数也可能是偶函数不是奇函数也不是偶函数
考点二：周期性 例题 设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2011(x)＝已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.
1
2
3
4
a
b
c
d
1
2
3
4
5
5
6
1
2
3
4
4
5
1
2
3
|
|
