之8.解析几何（含精析）
一、选择题。
1．如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）
A、5B、C、D、
2．如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
3．已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为（）
A．1B．C．2D．
4．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图可能是
二、填空题。
5．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:可以被认为由圆作纵向压缩变换或由圆作横向拉伸变换得到的。依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为.
6.若P0(x0，y0)在椭圆＝1(a＞b＞0)外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线＝1(a＞0，b＞0)外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是.
我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：
双曲线是黄金双曲线；
若，则该双曲线是黄金双曲线；
若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，﹣）且，则该双曲线是黄金双曲线；
若经过右焦点且，，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为．
若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，则称直线l：y＝kx＋b为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x2，φ(x)＝2elnx(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为.
分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,为在点处的切线,为上异于的一点,直线交于,为中点,有如下结论:①平分;②与椭圆相切;③平分;④使得的点不存在.其中正确结论的序号是_____________.
10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；③设是的一内角且则表示焦点在轴上的双曲线④已知两定点和一动点若，则点的轨迹关于原点对称
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.
（1），互相垂直，求圆的方程；
（），的斜率存在，并记为，，求证：；
（）是否为定值．
已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；
是否存在常数使得恒成立的值，若不存在，请说明理由。
13．如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.
14．已知椭圆过点，其焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处
的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
∴直线l的方程为，
与联立，可得或，
∵，∴，
∴，∴c=2b，∴．故选：B．
3．A
【解析】∵圆的方程为，即，
∴圆的圆心为，半径为2.
∵直线过点且与直线垂直
∴直线.∴圆心到直线的距离.
∴直线被圆截得的弦长，
又∵坐标原点到的距离为，
∴的面积为.
4．A
【解析】原方程可化为①②；当异号且时，①为
7．①②③④
【解析】对于①，，则，，，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，，整理得
解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于③，由勾股定理得，整理得由②可知所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于，把代入双曲线方程得，解得，，由对称关系知为等腰直角三角形，，即，由①可知所以双曲线是黄金双曲线.
8．y＝2x－e
【解析】容易观察到h(x)和φ(x)有公共点(，e)，又(x－)2≥0，即x2≥2x－e，所以猜想h(x)和φ(x)间的隔离直线为y＝2x－e，下面只需证明2elnx≤2x－e恒成立即可，构造函数λ(x)＝2elnx－2x＋e.由于λ′(x)＝(x>0)，即函数λ(x)在区间(0，)上递增，在(，＋∞)上递减，故λ(x)≤λ()＝0，即2elnx－2x＋e≤0，得2elnx≤2x－e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y＝2x－e.
【解析】设，则的方程为：，令得.
对①，的方程为：即，所以点M到直线PF的距离为
若则为的斜边中线，这样的有4个故④不成立.
②④
【解析】对于①，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由，可知点为弦的中点，连结，则有即，而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以②正确；对于③，由两边平方可得，所以，因为是的一个内角，可判断为钝角，所以且，联立，从而方程为，表示焦点在轴上的椭圆，所以③错误；对于④，设动点，则由可得，将代入等式左边可得，所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②④.
11．（1）；（2）；（3）定值为36．
【解析】（1）因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以；再结合点在椭圆上，得到关于的方程组进行求解；（2）设出的直线方程，利用直线与圆相切，得到与的关系；再根据在椭圆上，得出关系，整理即可；（3）分别联立两直线与椭圆的方程，得出的关系，借助进行证明.[来源:学§科§网][来源:Z|xx|k.Com]
（1）的方程知，圆的半径的半径，
因为直线，互相垂直，且和圆相切，
所以，即，①
又点在椭圆上，所以，②联立①②，解得
所以所求圆的方程为．
（）：，：，与圆相切，
所以,化简得
同理，
所以是方程的两个不相等的实数根，
因为点在椭圆C上，所以，即，
所以，即．
（）值
理由如下：
法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,
联立解得
所以，同理，得，由，
所以
（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，
综上：．[来源:学&科&网]
不落在坐标轴上时,设,
因为，所以,即，[来源:Z+xx+k.Com]
在椭圆C上，所以，即，
所以，整理得，
所以，所以．
即可．
试题解析：（1）由题可知：
双曲线C的方程为：
（2）设直线的方程为：，另设：
又直线AP的方程为，代入
同理，直线AQ的方程为，代入
（3）当直线的方程为时，解得.易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：.
下证：对直线存在斜率的情形也成立.
∴结合正切函数在上的图像可知，
；（2）.（创作：学科网“天骄工作室”）
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.
试题解析：(1)设，则根据椭圆性质得
而，所以有，即，，
因此椭圆的离心率为.
(2)由(1)可知，，椭圆的方程为.
根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，
并设则由消去并整理得
从而有，
.（创作：学科网“天骄工作室”）
因为，所以，.
由与相似，所以
.
令，从而
，即的取值范围是.
；（2）；（3）．
【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．[来源:Zxxk.Com]
I）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：
，所以椭圆的方程为．
（II）（，则椭圆在点B处的切线
令，，令，所以
又点B在椭圆的第一象限上，所以
，当且仅当
所以当时，三角形OCD的面积的最小值为
（）设，在点处的切线为：
又过点，所以，同理点，
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