之12.数系扩充与复数（含精析）
一、选择题。
1．设集合，，i为虚数单位，，则M∩N为（）
A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1）D．[0，1]
2．已知i为虚数单位，a∈R，若(a-1)(a+1+i)=a2-1+（a-1）i是纯虚数，则a的值为（）
A.-1或1B.1 C.-1 D.3
3．i，i，则=()
A．iB.iC.iD．i
4．若错误！未找到引用源。是虚数单位，设错误！未找到引用源。，则复数错误！未找到引用源。在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．复数的虚部记作，则（）
A．B． C． D．
（为虚数单位），则的值可能是（）
A. B. C. D.
7．若，则复数在复平面内所对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知，则实数，分别为（）
A．， B．， C．， D．，
9．已知为虚数单位），则（）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．若函数为纯虚数，则的值为（）
A.B.C.D.
二、填空题。
11．在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数，当且仅当，下面命题①1i0;②若，，则；③若，则对于任意，；④对于复数，则其中真命题是.
12．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________．
．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
的最小值；
(2)设，记表示复数z的虚部).将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像.试求函数的解析式．[来源:学+科+网]
已知复数，（，是虚数单位）．
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．
,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．
（1）求角的大小；
（2）若，求△ABC的面积.
16．已知复数，是实数，是虚数单位．
（1）求复数；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．
，（，为虚单位）。
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围
18．已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下列问题：
在复数范围内分解因式：；求所有满足整除的正整数n构成的集合A。
1．C
【解析】,，
2．C
【解析】(a-1)(a+1+i)=a2-1+（a-1）i是纯虚数，所以a2-1=0且a-1≠0，解得a=-1，选C.
3．
【解析】
D
【解析】
5．D
6．D
【解析】把代入验证即得。
7．B
8．D
9．D
10．A
11．①②③
【解析】命题①，1的实部是1,的实部是0,①正确；命题②，设，由已知得或，或
一个三角函数，就可最小值，，思见其最小值为；（2）
，
故，根据图象平移的知识可很快得出的表达式.
解：(1)∵，∴
.∴当，即时，
.
(2)∵，
∴.
∴.
将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是.
把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数是．
∴.
14．（1）（2）
【解析】（1）实数实数的取值范围由条件得，因为在复平面上对应点落在第一象限，故有解得（2）实系数一元二次方程的根虚数是实系数一元二次方程的根实数，即把代入，则，所以，代入方程
（1）由条件得，（2分）
因为在复平面上对应点落在第一象限，故有
∴解得
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根
所以即，把代入，则，
所以
．
[来源:Zxxk.Com]
的关系，再利用三角形的面积公式进行求解.
规律总结：解三角形，要根据条件灵活选择正弦定理、余弦定理、面积公式，本题中已知两角与其中一角的对边，较容易想到先选择正弦定理.
解：（1），①，②；
由①得③;
在中，由正弦定理得
∴∴,∵∴
(2)∵,由余弦定理得,--④
由②得-⑤由④⑤得，
∴=.
16．（1）；（2）.[来源:Z_xx_k.Com]
【解析】（1）由，化简.根据是实数，求得的值，可得的值；（2）化简，根据该复数所表示的点在第一象限，可得，解不等式组求得实数的取值范围
解：(1)因为，所以，又是实数，即，所以.
（2）由（1）得，所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，得.
所以实数的取值范围.
18．(1)；(2)或。
【解析】（1）令，由求根公式可得两根为；（2）因为，，又一个整数除以，要么整除，要么余，要么余，故分，三种情况讨论。
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