草根反思|2015学年各区一模压轴题难题难点剖析

滚滚长江东逝水,浪花淘尽英雄.

道道压轴喜相逢,

一模多少题,尽在研讨中.

刚刚过去的2015学年各区数学期末统考中（俗称“一模”）中，又涌现出一大批优秀的试题，其中部分区的压轴题给学生带来了很大的挑战。我所关心的是，已经具备了一定“基本图形”识别能力、掌握了一些解决常规类型问题“套路”的中上层学生为什么会在以下几道试题上束手无策了呢？我们在压轴题的教与学上还有什么可以继续提高与改进的地方呢？

1

没有发现两解仅仅源于审题不慎吗？

每年一模、二模、中考后都有同学慨叹又少了线段延长线上的解，老师也在课堂上反复强调“划关键词：‘射线’、‘直线’、‘线段’”，但为什么仍有那么多学生考时忽略、考完懊悔，难道仅仅是因为没听老师教诲，审题不慎吗？

我觉得不全是因为审题不慎！注意到，很多教师讲授压轴题时是“看图读题”，而我提倡的是“读题画图”！看看右边放置的备用图，你懂命题人的用心吗？（大家可以体会一下，这之间细微的区别）

类似的还有……

从审题的角度，题干道“PE交射线AD和射线CD于点E和点G”；第1题“当E、D重合时”；第2题道“当点E在AD的延长线上时”；第3题什么都不说了？这种语言结构是“点在线段及延长线上”惯用“伎俩”，然而依旧有人“上当”。

然而如果做此问时，重新绘制一张“干净的图”(如下)，情况又会如何？

2

双重几何关系之困？

在第(3)问讨论∠DGF=90°（即∠EGC=90°）时很多同学发生了困难，源于学生找不到由∠EGC=90°带来的“显然”的几何关系。

有一条重要的解题思路供参考，即考虑新增加的条件“∠EGC=90°”带来了什么新的“几何关系”？

勾股定理？稍作尝试即知“不可为”；

锐角三角比？在Rt△EGC中，tan∠GCE=EG/GC=EC/BC=x/10

（因为△EGC∽△BGC）

此为几何关系①

仅是这一组等量关系对本题而言是不够的，之前已证∠GCE=∠GBC，

过点E做EH⊥BC于H，

在Rt△EHC中，

EC=x，EH=0.6x，HC=0.8x

在Rt△EBH中，

tan∠EBH=0.6x/(10-0.8x)

此为几何关系②，

等量代换得：x/10=0.6x/(10-0.8x)，

解方程即可

现行的一模、二模、中考压轴题最后一问的本质往往是根据所给出的几何关系得到相应数量关系的等式（函数可以理解为关于两个变量的等式），限于学生能力，在一模时，大多数学生从几何关系中转化出一个等式已是“极限”，所以“双重几何关系之困”是源于学生能力所不达。

这就要求教师教的时候，不要仅关注标准答案，而是经常多问一句“还可以得到什么等量关系？”；学生在遇到类似困难时，再咬咬牙，进一步挖掘试题中还有什么几何关系没有用到位吗？也许就能有所突破。

类似的还有……

最后一问有两种情况，

以“GF⊥BC”为例

易知CO=GO=2，BO=1

几何关系① ∠HBC=∠HDF(三角比)

tan∠HBC=OF/BO=EC/DC=tan∠HDF

得OF=(3-x)/6

几何关系② △EOF∽△FOB(射影型)

OF/OE=BO/OF

x-1=[(3-x)/6]^2，x=21-6√11

3

面对“陌生”几何图形，学生的无奈

当我们老路走多了，

也许就丧失了探索新路的勇气；

当我们给予基本图形多了，

学生会否丧失分析陌生图形的能力？

当我们研究一线三等角多了，

是否就已经忘了初心：等角转化

这题难，是因为它图形狭窄，

558等腰之中拥挤多条线段；

这题难，是因为它关系复杂，

多个三角形内嵌四组相似

这题难，更因为图形的陌生！

连部分华育学子都为之折腰！

也许少给予，就是多留空间，

也许多放手，就能创造惊喜！

解构该图形

情形1

已知：∠AEB=∠ABC=∠ACB，

易知：∠FAB=∠CBP，

配上∠F=∠P，则△AFB∽△BCP

情形2

已知：∠AEP=∠ABC=∠ACB，

易知：∠FAB=∠CBP，

配上∠ABC=∠C，则△AFB∽△BCP

“情形1”、“情形2”其实是一个运动过程中的片段，具体请看视频

做完2015学年各区一模压轴题，我隐约感到识别基本图形仅是压轴题教学的起点，学会基本方法和套路是中端，提升解决压轴题的数学能力是关键，其中尤为重要的是数形结合思想及分析、解构图形的能力。

“看题画图”的本质是转化条件中数量关系为几何关系，是由数到形；由几何关系列出数量关系的等式，是由形转数。数学重在培养学生分析问题的能力，落到压轴题之上，就是对于复杂图形分析、解构的能力，而从现在看来，这恰恰是学生最薄弱的环节。

注：本专题部分图文来源于马学斌老师制作的《2016年上海各区中考数学一模图文解析》电子版，若需全文下载可点击“阅览原文”