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多变量条件概率等价式推导

黑尘子 2016-03-10

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多变量条件概率等价式推导：

$\text{Pr}\{Y|X\}=\frac{\text{Pr}\{Y,X\}}{\text{Pr}\{X\}}.$

$\text{Pr}\{Y|X_1,X_2\}=\frac{\text{Pr}\{Y,X_1,X_2\}}{\text{Pr}\{X_1,X_2\}}=\frac{\text{Pr}\{Y,X_1|X_2\}\cdot \text{Pr}\{X_2\}}{\text{Pr}\{X_1|X_2\}\cdot \text{Pr}\{X_2\}}=\frac{\text{Pr}\{Y,X_1|X_2\}}{\text{Pr}\{X_1|X_2\}}.$

$\text{Pr}\{Y|X_1,X_2,...,X_n\}=$

$\frac{\text{Pr}\{Y,X_1,X_2,...,X_n\}}{\text{Pr}\{X_1,X_2,...,X_n\}}=$

$\frac{\text{Pr}\{Y,X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_k}|X_{t_{k+1}},X_{t_{k+2}},...,X_{t_n}\}\cdot \text{Pr}\{X_{t_{k+1}},X_{t_{k+2}},...,X_{t_n}\}}{\text{Pr}\{X_1,X_2,...X_{t_k}|X_{t_{k+1}},X_{t_{k+2}},...,X_{t_n}\}\cdot \text{Pr}\{X_{t_{k+1}},X_{t_{k+2}},...,X_{t_n}\}}=$

$\frac{\text{Pr}\{Y,X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_k}|X_{t_{k+1}},X_{t_{k+2}},...,X_{t_n}\}}{\text{Pr}\{X_1,X_2,...X_{t_k}|X_{t_{k+1}},X_{t_{k+2}},...,X_{t_n}\}}.$

其他：

$E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }x\cdot p(x)~dx=\int_{-\infty }^{+\infty }x\cdot [\int_{-\infty }^{+\infty } p(x,y)~dy]~dx$

$=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot p(x,y)~dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot p(y)\cdot p(x|y)~dxdy$

$=\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot p(x|y)~dx]\cdot p(y)~dy=\int_{-\infty}^{+\infty}E(X|y)\cdot p(y)~dy=E(E(X|Y)).$

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