未知方差统计法评定混凝土强度问题探讨

一克拉的幸福6 2016-03-16

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［摘要］现场混凝土强度评定作用之一是对混凝土强度合格性作出判定。目前用得最多的现场混凝土强度评定方法是GB107-87标准规定的未知方差统计法.随着混凝土质量控制和管理水平的发展，该方法在实际操作中存在一些问题.本文利用概率统计基本知识和抽样检验理论来评析GB107-87中未知方差统计法评定混凝土强度所用的验收函数和验收界限，分析其接收概率和生产方风险的不合理之处，并提出解决问题的设想。

0 引言
现场混凝土强度评定是一个非常重要的问题，它涉及建设、设计、施工、监督管理等部门，其作用之一是施工、监理、监督部门对混凝土强度合格性作出判定。当判定合格时，说明混凝土能满足设计与结构安全的要求，当判定不合格时，应确定混凝土强度已达到的强度等级，即混凝土强度评定值，以便给设计单位提供核算依据，采取加固补强措施。目前建筑行业普遍采用《混凝土强度检验评定标准》（GB107-87）评定现场混凝土强度。按照GB107 - 87标准规定，混凝土强度验收评定应分批进行，根据同一验收批中混凝土的组数，分别采用已知方差统计法、未知方差统计法和非统计法三种方法来评定混凝土的强度。构成同一验收批的条件为强度等级相同、龄期相同以及生产工艺和配合比基本相同的混凝土，具体到单位工程施工中，为了便于管理和控制质量，基本按分部工程来划分验收批，对施工周期较长的分部工程（如主体分部）考虑到龄期因素，还要划分为几个验收批进行评定，因此对每一验收批而言，混凝土试块组数不可能太多。再考虑到我国目前施工现场原材料供应变动频繁，生产管理水平易波动等实际情况，已知方差统计法对现场混凝土强度评定基本不适用。非统计法评定混凝土强度未涉及混凝土强度分布的标准差，样本容量变化时，其验收界限值保持不变，对不同质量的混凝土强度其检测功效不高，现场混凝土强度评定中也不提倡采用。用得最多的现场混凝土强度评定方法是未知方差统计法.

1 　GB107-87标准中未知方差统计法评定混凝土强度的相关条款
　　在GB107-87标准中用未知方差统计法评定混凝土强度时其强度应同时满足下列两式的规定：

mf_cu —λ₁s_fcu≥0.9f_cu_，k （ 1 ）
f _cu_，min≥ λ2f_cu_，k （ 2 ）

式中：mf_cu———同一验收混凝土立方体抗压强度的平均值（MPa）
sf_cu———同一验收混凝土立方体抗压强度的标准差（MPa）
当sf_cu的计算值小于0.06f_cu_，k时取sf_cu＝0.06 f_cu_，k
n——— 一个验收批混凝土试件的组数
f_cu_，k ——— 混凝土立方体抗压强度标准值（MPa）
f_cu_，min ——— 同一验收批混凝土立方体抗压强度的最小值（MPa）
λ₁、λ₂——— 合格判定系数，按表1采用。

表1 混凝土强度合格判定系数

试件组数	10-	14	15-24
λ₁	1.70	1.65	1.60
λ₂	0.90	0.85	0.85

2 未知方差统计法评定混凝土强度举例
表2列举了几个利用未知方差统计法评定混凝土强度实例。

表2 利用未知方法统计评定混凝土强度实例

例1：验收批混凝土设计强度等级			C20				组数						14
混凝土立方体抗压强度标准值（MPa）	22.1		20.4		23.6		25.8			26.9			37.6*			24.0
	28.1		26.4		21.8		27.2			20.9			23.4			22.7
评定过程	mf_cu＝ 25.1 　　　sf_cu ＝ 4.36 第一条件值：mf_cu-λ₁sf_cu＝17.7≤0.9f_cu_，k＝18.0不符合第二条件值：f_cu_，min＝20.4≥λ2f_cu_，k＝18.0符合
结果评定	该验收批混凝土强度不合格
疑点提问	1.强度不低于要求强度等级的百分率q＝14/14＝100%总体评定不合格，两者互相矛盾。 2.注＂*＂的混凝土强度值超强，为可疑值。
例2：验收批混凝土设计强度等级				C40				组数						20
立方体混凝土强度标准值（MPa）	53.5	48.8		47.7		49.0		48.9	45.7			36.8		46.2	34.8		42.8
	39.2	41.7		48.3		52.4		51.6	47.5		37.4			50.8	47.0		38.6
评定过程	mf_cu＝45.4 　　　sf_cu＝5.60 第一条件值：mf_cu-λ₁sf_cu＝36.2≤0.9ff_cu_，k＝36.0符合第二条件值：f_cu_{， min} ＝34.8≥λ₂f_cu_，k＝34.0符合
结果评定	该验收批混凝土强度合格
疑点提问	强度不低于要求强度等级的百分率q＝16/20＝80%，sf_cu＝5.60，混凝土生产质量水平为差，总体评定合格，两者互相矛盾
例3：验收批混凝土设计强度等级					C30					组数			14
立方体混凝土强度标准值（MPa）	33.6		38.4		36.7		35.0			30.8			34.7			32.3
	35.8		36.7		39.2		36			.2			40.5			26.0
评定过程	mf_cu＝ 35.0 　　　sf_cu＝ 3.68 第一条件值：mf_cu-λ₁sf_cu＝ 28.7≥0.9f_cu_，k＝27.0 符合第二条件值：f_cu_，min＝ 26.0λ₂≤f_cu_，k＝27.0 不符合
结果评定	该验收批混凝土强度不合格
疑点提问	强度不低于要求强度等级的百分率q＝14/14＝100%，sf_cu＝3.68混凝土生产质量水平为优良，总体评定不合格，两者互相矛盾。

3   原因分析
通过理论和实践多方面检验可知，同一验收批混凝土试块强度所代表的现场混凝土总体强度基本呈正态分布，因此混凝土强度检验评定标准的建立，也必须按正态分布规律来考虑。
  目前国内用作混凝土最终质量评定的信息依据是混凝土的标准试件强度，由于测试时间冗长，又是破坏性的，所以验收标准多以一次抽检结果来判断总体混凝土强度。下面以概率统计基本知识和抽样检验理论来评析GB107-87中未知方差统计法评定混凝土强度的验收条文式（1）和式（2）。
  设某验收批要求的混凝土强度等级为Cf_cu,按照GB107-87对混凝土强度等级的定义，混凝土的强度等级是强度正态分布的代表，是按强度标准值（f_cu_，k）即强度正态分布的特征值来划分的，标准值是强度正态分布的5%分位数，要达到设计要求的强度等级，须满足f_cu_，k≥f_cu（混凝土设计强度等级值）。满足混凝土强度等级Cf_cu下限要求的混凝土总体的强度分布如图1所示：

图 1

  验收条文式（1）是按照标准差未知，采用一次计量检验方案得出的，即以较少试件（n＝10～25）的强度标准差（sf_cu）代表总体标准差（σ）（实际不定性很大），经数学处理得出的。由统计基础理论可知，验收批的混凝土强度为来自混凝土强度正态总体的样本，抽样方案相同的所有验收批的强度均值（mf_cu）也呈正态分布，正态样本的标准化变换中用样本标准差（sf_cu）代替总体标准差（σ）后的分布是自由度为n-1的ｔ分布，记为ｔ（n-1）。从图1所示混凝土强度总体中抽取的样本量为n的混凝土验收批强度标准值的平均值（mf_cu）应服从图1所示的ｔ分布图。其中：
  其中：f_m＝f_cu_，k＋1.645σ为混凝土强度的总体均值；
σ ——— 总体混凝土强度标准差
  f_cu_，k——— 混凝土强度标准值

mf_cu＝ f_m＝f_cu_，k＋ 1.645σ （ 3 ）

由以上分析可知f_a即为验收批混凝土强度标准值的平均值的验收界限。
当时，认为该验收批混凝土强度标准值代表的混凝土总体强度合格，整批混凝土可以接收，否则拒收。
又由式（1）得： mf_cu≥ 0.9 f_cu_，k＋λ₁s f_cu
即验收批强度的验收界限为：

f_a＝0.9f_cu_，k＋λ₁s f_cu_，k（ 6 ）

  设混凝土生产质量为中等水平，取混凝土强度变异系数C_V＝0.15，σ＝sf_cu
  对混凝土强度等级为Cf_cu、组数为n的验收批而言则有：
C_V＝s f_cu/mf_cu＝σ/（f_cu_，k＋1.645σ）＝0.15
  由上式计算得：

sf_cu＝σ＝0.199 f_cu_，k（ 7 ）

将式（7）代入式（6）得：
  f_a＝0.9f_cu_，k＋λ₁sf_cu_，k＝f_cu_，k＋λ₁sfcu-0.1f_cu_，k
  ＝f_cu_，k＋λ₁sf_cu-0.1×（ sf_cu/ 0.199 ）
  ＝f_cu_，k-（0.1/0.199 -λ₁）sf_cu
  ＝f_cu_，k＋ 1.645σ-1.645σ-（0.1/0.199-λ₁）sf_cu
  ＝f_cu_，k＋ 1.645σ-（1.645＋0.1/0.199-λ₁）sf_cu
  ＝f_cu_，k＋ 1.645σ-（2.148-λ₁）sf_cu

将式（5）与式（8）对比可得：ｔ_α是该验收批生产方风险为α时的分位数，由式（9）可知ｔ_α是验收批组数n的函数，将n和对应的λ₁代入式（9）可求得ｔ_α，再利用ｔ分布函数可求得其对应的α1（生产方风险），见表3 。
验收条文（2）是按照标准差未知，采用计数一次抽检得到的最小值验收公式，检验效果远不如计量抽检方案，常作为辅助条文列出。根据抽样检验理论，无限总体的计数一次抽检可按二项分布进行计算。设验收批混凝土的总体强度不合格率为p（强度低于要求强度界限的百分率），合格率为q（q＝1-p），验收批的抽样方案为（n，d）。其中d为不合格数，c为接收数，如d≤5认为该批混凝土符合要求，予以接收。则其接收概率为：
  又由式（2）知该验收批混凝土强度的最小值的验收界限为：f_amin＝λ₂f_cu_，k
设n的取值范围为10-14，取λ2＝0.9代入上式得：
f_amin＝λ₂f_cu_，k＝ 0.9 f_cu_，k＝f_cu_，k - 0.1 f_cu_，k
＝f_cu_，k - 0.1σ/0.199
  ＝f_cu_，k＋ 1.645σ-1.645σ-0.1σ/0.199
  ＝f_cu_，k＋ 1.645σ-2.148σ
　即 f_amin＝f_m-2.148σ（其中n＝10-14）     （ 11 ）
同理得：f_amin＝f_m-2.399σ（其中n＞14）     （ 12 ）
由式（11）、式（12）确定的f_amin在满足该验收批混凝土强度等级下限要求的混凝土总体强度正态分布图中的位置如图2所示：

图 2

由图2知u_α1＝2.148、u_α2＝2.399利用正态分布函数求得对应于最小值验收界限f_amin 的混凝土强度总体合格率（强度标准值≥f_amin在强度总体中的比例）和不合格率分别为：q1＝
将用于检验混凝土强度最小值的计数一次抽检方案（n，0）（混凝土强度总体为正态分布，根据连续随机变量的特点，取混凝土强度值刚好等于f_amin的概率为零，可确定d≤A＝0）和求得的p₁、p₂、q₁、q₂代入式（10）求得其接收概率Ｌ（p）和生产方风险α2见表3。

表3

n	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
ｔ_α	1.417	1.486	1.552	1.615	1.676	1.929	1.992	2.050	2.113	2.171	2.227
α₁（%）	9.5	8.4	7.4	6.6	5.9	3.7	3.2	2.8	2.5	2.2	1.9
u_α	2.148	2.148	2.148	2.148	2.148	2.399	2.399	2.399	2.399	2.399	2.399
q	0.984	0.984	0.984	0.984	0.984	0.992	0.992	0.992	0.992	0.992	0.992
p	0.016	0.016	0.016	0.016	0.016	0.008	0.008	0.008	0.008	0.008	0.008
Ｌ（	p	）	0.852	0.839	0.825	0.812	0.799	0.884	0.876	0.869	0.862
α₂（%）	14.8	16.1	17.5	18.8	20.1	11.6	12.4	13.1	13.8	14.5	15.2

　　分析表3中的α₁、α₂可发现以下问题：
（1）对验收条文式（1）而言，不同组数对应的生产方风险α₁不同，反映标准方案宽严不一，随着组数的增加，生产方风险逐步减小（当n≥15时，α₁＜5%）。表2中例2反映了这一特点。
  （2）对验收条文式（2）而言，不同组数对应的生产方风险α₂也不同，但随着组数的增加，生产方风险逐步增大，与验收条文式（1）发展规律相反。
  （3）使用验收条文式（2）的生产方风险太高（α＞11%），与对应的验收条文式（1）相比， α₂＞α₁，即最小值方案的验收界限定得偏高，导致验收条文式（2）从辅助地位转为主导地位。表2中例3反映了这一特点。

4  建议
  （1）根据混凝土强度总体符合正态分布的特点和GB107-8中对混凝土强度等级的基本定义，以概率理论和抽样检测理论为指导，重新设置抽检方案、验收函数和验收界限，保证生产方风险在允许的范围内（一般α≯5%）。尤其是最小值方案，应按计数一次抽检理论重新设置，必须谨慎选定其验收界限，以防最小值方案从辅助地位转为主导地位，喧宾夺主。
  （2）从混凝土强度的定义可知混凝土强度是一个最大值，在GB107-87的验收条文中仅对混凝土强度的最小值有限定，而对混凝土强度的最大值没有任何限定要求，这对于目前我国的施工管理和质量控制状况而言，很难保证其真实性和经济性要求。建议增加控制混凝土强度最大值或控制混凝土均方差的相关条款。
  （3）GB107-87标准中，各种评定方法所依据的验收批混凝土立方体抗压强度值信息设定为属于同一正态总体，而在其数据实际采集过程中很可能存在异常值，异常值可能是由于总体固有的随机变异性的极端表现，也可能是由于试验条件和试验方法的偶然偏离或产生于观测、计算、记录中的失误。按统计学原理，在未知方差的情况下，可用格拉布斯检验法或狄克逊检验法来判断和处理异常值，对检出的异常值可采用其他方法查找原因，作为处理异常值的依据。在混凝土强度的评定标准中应考虑异常值的剔除问题。如例1所示情形。