等时圆与最速轨道 | qiutopia||求师得

水言清 2016-03-18

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等时圆：滑快从两端搭在竖直放置的圆上的光滑轨道无初速度下滑，且轨道至少一端过竖直方向直径上的一个端点，则下滑的时间相同。因为和圆相关，这里姑且叫做等时圆问题。这个结论很有趣，证明起来也很简单。

设圆半径为R，轨道与竖直方向夹角为 $\alpha$ ，则轨道长度为 $2Rcos\alpha$ ，滑快下滑的加速度为 $gcos\alpha$ ，下滑时间为t，所以有 $2Rcos\alpha=\frac{1}{2}gcos\alpha t^{2}$ ，可以看到下滑时间与角度 $\alpha$ 无关，都等于从竖直直径的自由落体的时间。

由上面的结论一样可以设计出很有趣的题目，比如最速轨道的选择问题。说从某点P为起点到倾角 $\alpha$ 的斜面上搭起的光滑轨道中，滑快在哪一条轨道上下滑的最快呢？首先以点P为直径上的一个端点，在竖直方向绘制圆，利用上面的结论，在同一圆上的轨道下滑时间相等，那最短的无非是对应圆的半径最短的了，也就是和斜面相切的那圆对应的轨道。

上图中已经给出很精细的构造，利用几何关系能够知道，与竖直方向夹角为 $\frac{1}{2}\alpha$ 的那条就是最速轨道了。