谈谈量子不可克隆原理

2016.03.25 - 社会 - 来源：姬扬博客

学而不思则罔，思而不学则殆

量子通讯的理论基础在于量子不可克隆原理，这个原理从根本上保证了量子通讯信道是无法被窃听的：通讯双方通过公开地交换一些测量信息（这些信息可以让所有人都知道，比如说，通过大喇叭来喊话），就可以确认是否有人窃听。

当然，通讯保密是个系统工程，最终的保密效果依赖于系统每个环节的可靠程度，决定于保密程度最差的那个环节。量子通讯只是保证了需要保密的信息不会在该环节里被泄露，其他环节的事情，他是管不着的：比如说，掌管保密信息的人本身也许就是个间谍，那么需要保密的信息肯定会被偷走，量子通讯对此肯定是无能为力的——这是常识，是任何系统工程都无法避免的，但这些并不构成否认量子通讯保密性的理由。

量子力学说起来挺玄乎，其实也是可以用些常识性的比喻来理解的。下面就谈谈量子不可克隆原理，谈谈他为什么能够保证量子通讯信道是无法被窃听的。

克隆（clone）就是复制的意思，量子不可克隆，就是说，某个任意的量子态是不能够百分百精确地复制的。需要注意的是，这里说的量子态，指的是任意的量子态，也就是说，我们事先不知道他的状态到底是什么——对于某个确定的量子态，我们是有办法精确复制的。其实，这等效于说，对于某个任意的量子态，我们是无法通过测量确定它的特性的——在量子力学里，“知道”的意思其实就是“测量”：不经过测量，你就不知道；而测量总是要影响量子态的，你要想知道，就必须选择测量方法，具体的测量方法会决定测量的可能结果。这就是量子力学的精髓，实际上是从所有实验中总结提炼出来的道理——科普文章里经常提到的海森堡测不准原理，说的也就是这么个事情。

有一些特殊的测量，是可以保证某些特殊的量子态不受扰动的，这些量子态就是本征态，其对应的测量值就是本征值。本征态是非常特殊的量子态，任意的量子态通常是多个本征态的叠加。量子不可克隆原理说的是，任意量子态是不能够精确复制的——本征态是可以复制的，因为他是非常特殊的量子态，特别是他依赖于测量方法的选择。

为什么说量子不能够被精确克隆？证明的方法是反证法。首先要承认的前提是海森堡测不准原理，这是从无数实验中总结提炼出来的事实。如果任意量子态可以被精确克隆，那么我们就可以这么做：先把这个量子态精确地复制一百份，然后用一百种不同的测量方法来精确地得到一百种不同的信息——如果一百份还不够，那么就克隆一万份好了。通过选择测量方法，我们就可以知道每个特定备份的相关性质，再加上精确克隆的假定，我们就可以知道任意量子态的任何信息，海森堡测不准原理也就不可能成立了——这个结论与实验观测事实是矛盾的。所以说，量子不可克隆原理等价于海森堡测不准原理，也等价于测量会影响量子态的这个量子力学基本假定。

还是用具体的例子来说明一下吧。先用个常见的光学测量的例子，然后再谈量子测量的例子。

我们来看看什么是光的偏振，如何确定一束光的偏振状态。光是电磁波，是所谓的横波，电磁场垂直于光的传播方向来回振动。对于一束纯粹的线偏振光来说，其电场振动方向可以是垂直于光传播方向的平面内的任何方向，比如说，可以是水平方向的（相对于某个特定方向的夹角为0度），也可以是垂直方向的（90度），或者是+45度或-45偏振的。可以用偏振片来检验光的偏振方向，偏振片本身具有一个特殊的方向：当入射光的偏振方向平行于该特殊方向的时候，光就可以全部透过；当偏振方向与之垂直的时候，光就一点儿也透过；当偏振方向与之有个夹角θ的时候，光就只能部分地透过，透射光与入射光强度的比值是sin2θ。

对于一束纯粹的线偏振的入射光，我们如何确定其偏振方向？很简单。我们先确定光的传播方向，再确定光的强度，然后把偏振片放到光路里，随便选择偏振片的偏振方向（也就是刚才说过的偏振片本身具有的特殊方向），接下来测量透射光的强度：如果透射强度为0，那么入射光的偏振方向就是90度（也就是说，入射光偏振方向垂直于偏振片的特殊取向）；如果透射强度等于入射强度，那么入射光的偏振方向就是0度；如果透射强度介于二者之间，那么入射光的偏振方向也介于0度和90度之间——需要注意的是，出射光的偏振方向改变了，现在是沿着偏振片的特殊取向了。用这个方法就可以精确地确定入射光的偏振。

光也是一种量子现象，一束光里面包含很多很多的量子（即所谓的光子）。一束纯粹的线偏振光，包含了很多很多的偏振状态相同的光量子。既然上述方法能够精确地确定这束光的偏振状态，那么他能够用来确定单个光子的偏振状态吗？不能。原因是这样的：一个光子和很多个光子，是非常不同的两种情况。

如果想确定单个光子的偏振状态（可以认为这就是该光子的量子态），我们需要这些信息：光子的传播方向；光子的能量（也就是说，单个光子构成的光束的强度）；入射光子是纯粹的线偏光。这些信息是双方都知道的，只要通讯双方事先约定好就可以了，这些信息并不一定要保密，甚至可以用大喇叭广播给所有的人。但是，有些信息不是双方都知道的：入射光的具体偏振方向，这是由信息发送方决定的，只有他才知道，这就是他想传递的消息；偏振片的安置方向，这是由信息接收方确定的，他要根据测量结果（再加上一些公开的消息）来确定对方想要传送的消息。

入射光只包含一个光子的时候，偏振片的效果就很特殊了：经过偏振片后出射的光子只能是整数，要么是1个，要么就没有，不存在半个光子，更别说什么1/3或者0.16个光子了。入射光子的偏振方向与偏振片特殊方向平行的时候，永远出射的都是一个光子；入射光子垂直于偏振片特殊方向的时候，永远都没有光子出来。二者夹角介于0和90之间的时候，出来的光子要么是1个、要么是0个，这是个随机事件，也就是说，你把这件事做100遍，可能73次出来1个光子，27次没有光子。特别是，当二者的夹角为45度的时候，这是个发生几率为0.5的随机过程，如果你把这件事做100遍，那么就会有50次出来1个光子，50次没有光子（实际情况比这个略为复杂一点，也可能是43和57，或者52和48，完全靠运气）。

现在就可以看出经典测量和量子测量的差别了，这就是1个和很多个的差别。拥有100万个全同光子的时候，你可以做的事情就很多：可以先拿出1万个试试，就会得到一点点信息，再拿1万个试试，就会得到更多信息，最后你会得到所有想要的信息。然而，如果只有1个光子，你就没有办法这么奢侈了：你只能做一次测量，得到一部分信息，然后就没有然后了，因为你把这个光子用掉了，测量以后的光子不同于测量之前的了。

量子不可克隆原理告诉我们，如果你只有一个光子，而且事先不知道他的偏振状态，那么你就不可能复制出两个完全相同的光子来，更别说100万个了。这就是量子通讯的理论基础。

那么，如何通过单光子的测量来实现无条件的安全通讯呢？我们还是用个具体例子来说明吧。

假定信息发送方是甲（经常被称为Alice），信息接收方是乙（Bob），想要偷听信息的坏蛋是丙（Eva）。甲和乙先通过大喇叭进行沟通，这些消息不怕丙听到。比如说，甲告诉乙说，他打算在今后的1000秒时间里，每秒钟发送一个偏振单光子给乙，这个单光子的偏振要么是0或90度（称为第I类），要么是+45度和-45度（第II类），但是具体是哪一类，甲不会告诉乙。接到这个信息以后，乙就会做好准备，测量甲送来的光子的偏振，他也有两类测量方法，偏振片为0度的方法I和偏振片为45度的方法II。这些准备工作做好了以后，就可以开始通讯了。

每过1秒钟，甲根据甲自己的意愿，随机地选择发送1个偏振为I类或II类的单光子，而乙则根据乙自己的意愿，随便地选择方法I或方法II来进行探测。当甲方选择的偏振类恰好符合乙方选择的测量方法的时候，乙方的测量结果是确定的；如果二者不符合，乙方的测量结果是随机的。好了，1000秒过去后，甲发送了1000次单光子，乙进行了1000次测量。注意，这时候还不算完呢，实际上，量子通讯才刚刚开始——甲和乙还需要确定有没有人偷听，传递的信息到底是什么。

怎么确定没有人偷听呢？甲拿出大喇叭，告诉乙自己发送的一些信息，注意，只是一部分信息而已。比如说，甲告诉乙，自己在第1次、第3次、第5次、……、第999次发送的偏振类，乙看到这500次的结果，对照自己当时选择的测量方法，就可以找出250个适合的结果（即入射光子的偏振类别碰巧符合测量方法的类别，这种符合的几率是0.5），就可以得到250个确定的结果，如果这250个确定的结果与甲用大喇叭告诉自己的信息是一致的，乙就可以拿出大喇叭喊了，“平安无事喽！”，没有人搞窃听。甲确定没人搞窃听了，就把另外500次的选择也用大喇叭喊出来，乙就可以相应地找到另外250个确定结果，这250个确定结果就可以作为甲传送给乙的信息。如果没有人窃听，那么故事就到这里结束了。

如果有人窃听呢？甲和乙也能看出来。如果丙想搞窃听，他就必须首先接收甲发出来的单光子，自己测量一下，再发送一个单光子给乙——如果在应该收到光子的时候却没有收到，乙就会知道，有人搞破坏，至少是通讯的信道不够好，那么就只好放弃这次通讯了。因为丙不知道甲要发射什么偏振类的光子，所以他有一半的机会搞错了测量方法，从而传递给乙错误的光子偏振类。这样在1000个光子传递完以后，甲乙核对500次测量中的250合适结果的时候，就会发现有错误，从而就知道有人在偷听了。如果有人偷听，甲和乙只能决定这次就算了，下次再说吧。然而，尽管这次没有成功，但是也没有泄密啊。

这就是单光子量子通讯的原理和实现方法——确切地说，这只是一种实现方法而已，还有很多种变型和改进。

量子不可克隆原理保证了，谁也没有办法能够百分百精确地复制某个任意的量子态，从这个意义上来说，量子不可克隆原理等价于海森堡测不准原理，是量子力学的基础，更是量子通讯保密性的基础。这是很简单的道理，随便找本标准的教科书或者科普文章读一读，就可以明白，也根本不需要花费太多时间，绝对不会比写一篇颠覆性创新的博文需要的时间更长。