［摘要］混凝土的收缩开裂模型可以定量分析收缩对混凝土开裂的影响。本文主要介绍了国内外各种关于混凝土干缩和自收缩的理论计算模型，并分析了各模型的特点及适用范围。
近年来，混凝土的收缩与开裂已经成为工程实践中极其普遍和严重的问题，随着低水胶比和高活性矿物掺合料为特征的高性能混凝土的广泛应用，混凝土的裂缝出现呈现越来越早的趋势。混凝土收缩预测模型用于定量分析不同条件下混凝土的收缩情况，可预测混凝土早期裂缝的产生，因此预测模型的准确与否，对于混凝土裂缝的预测与判断至关重要。混凝土的干燥收缩指混凝土停止养护后，在不饱和空气中失去内部毛细孔和凝胶孔的吸附水而发生的不可逆收缩。自收缩指混凝土在没有与周围环境发生湿度交换的情况下发生的体积变化，它是水泥水化过程中由于没有外界水供应或外界水通过毛细孔迁移到体系内部的速度小于水化耗水速度时引起的混凝土内部的自干燥。目前，国内外对于干燥收缩的理论研究较为成熟，一些学者通过相关的理论和试验研究提出了比较适用的几个模型，而对于混凝土早期的自收缩理论模型研究较少，至今尚无一个比较系统可靠的预测模型。本文将分别介绍已有的干燥收缩和自收缩预测模型，并且分析其各自的特点及适用范围。
国内外对于干缩理论模型的研究较为成熟，许多国家都有专门的科研机构从事混凝土裂缝的研究工作，并编制了规范，如美国混凝土协会ACI224委员会，欧洲混凝土协会CEB，欧洲混凝土协会－国际预应力协会CEB－FIP，法国规范CCBA 等。此外，许多学者也做了大量的混凝土干缩方面的研究工作，如Bazant，Hong Shah等，我国学者王铁梦在总结大量实验数据的基础上也提出了一个混凝土收缩计算公式。下面是国内外常用的干缩预测模型。
2．1 ACI209模型
美国混凝土协会ACI委员会提出的预测混凝土干燥收缩的公式如下：
εsh（t，tsh，0）＝（t－tsh，0）/[35＋（t－tsh，0）]εsh∞ （湿养）
εsh（t，tsh，0）＝（t－tsh，0）/[55＋（t－tsh，0）]εsh∞ （蒸养）
εsh∞ ＝780γsh
式中：εsh（t，tsh，0）———收缩应变；
t———龄期d；
tsh，0———开始干燥的龄期d；
εsh∞ ———最终的收缩应变；
γsh———修正系数，包括：干燥前养护时间、湿度、试件的平均厚度或体积、比表面积、塌落度、砂率、单位水泥量、含气量影响等。
2．2 Bazant－Panula模型
这一模型是1978年建立的，主要反映了混凝土各组分对混凝土干缩的影响。由于公式比较复杂，各参数的影响并不明显，为了更好地应用于设计方面，在1980年Bazant又对该模型进行了简化，去掉了对干缩影响较小的参数。简化后的计算公式如下：
εcs（t，ts）＝εcs0βs（t，ts）
εcs0＝εcsβRH
εcs＝[1330－970/(390Z－4＋1)×10－6
式中：εcs（t，ts）———混凝土的收缩应变；
εcs0———混凝土最终的收缩应变；
βs（t，ts）———混凝土收缩发展因子；
t———混凝土龄期d；
ts———混凝土开始收缩的龄期d；
RH———相对湿度%；
Z———和混凝土组分、强度有关的函数；
a/c———集料和水泥的重量比；
g/s———砂率；
s/c———砂和水泥的重量比；
w/c———水灰比；
fc28———28天混凝土棱柱体抗压强度；
ks———形状因子，平板取1．0；
h———截面有效高度mm；
C1（ts）———龄期ts 时混凝土湿度扩散比例因子；
V/S———混凝土的比表面积mm。
2．3 CEB－FIP模型
欧洲混凝土协会－ 国际预应力混凝土协会（CEB－FIP）建议的收缩模型适用于抗压强度不超过90MPa的混凝土。在实际情况中，这一模型常用于预测抗压强度低于60MPa的普通混凝土的收缩。
εcs（t，ts）＝εcs0βs（t，ts）
εcso＝εs（fc28）βRH
εs（fc28）＝（160＋10βsc（9－0．1fc28））·10－6
式中：εcso－－波特兰水泥混凝土的最大收缩；
εs———混凝土的干燥收缩；
βsc———与水泥类型相关的系数，使用普通水泥时，取5；使用快硬水泥和高强水泥时，取8，配制高性能混凝土时，βsc取值须仔细斟酌；
βRH———相对湿度系数；
RH———相对湿度%；
fc28———混凝土28天抗压强度平均值；
ts———干缩开始的龄期d；
t———混凝土龄期d；
h———截面有效厚度mm。
2．4 法国建筑行业规范建议的模型［9］
1996年建立的法国建筑行业规范（the French Building Code）提供的收缩预测模型主要针对硅灰掺量5%以上的高性能混凝土，要求集料占混凝土总量67%以上。此预测模型将混凝土的总收缩分为基本收缩（the basic shrinkage）和干燥收缩（the drying shrinkage）两部分。
εcs（t，ts）＝εbs（t）＋εds（t，ts）
εbs（t）———混凝土基本收缩应变，反映了混凝土水化阶段的收缩；
εds（t，ts）———混凝土干缩应变，反映了混凝土强度发展阶段的收缩；
式中：ts———收缩开始的龄期d；
t———混凝土的龄期d；
当fc（t）/fc28≥0．10，t＜28d时，有
εbs（t，fc28）＝（fc28－20）［2．2×fc（t）/fc28－0．20］×10－6
当t≥28d时，有
εbs（t，fc28）＝（fc28－20）［2．8－1．1×exp（－t/96）］×10－6
式中：fc（t）———任意时刻混凝土棱柱体抗压强度；
fc28———混凝土28天棱柱体抗压强度。
干缩部分预测模型建立在混凝土内外湿度差之上，干缩应变的计算如下：
εds＝εds0β（t，ts）
εds0＝K（fc28）×A（fc28，RHambient）×10－6
72×exp（－0．046fc28）＋75－RHembient
βds（t，ts）＝（t－ts）/[βdsh2＋（t－ts）]
βds＝0．007 掺有硅灰的混凝土
βds＝0．021 ｛ 不掺硅灰的混凝土
式中：RHambient———环境的相对湿度%；
K（fc28）———随着混凝土强度的增长和混凝土湿度扩散率有关的变量；
A（fc28，RHambient）———混凝土内部因水化消耗水湿度降低和混凝土内潜在的自生收缩。
[page]2．5 Dilger模型
这一模型主要针对水灰比0．15到0．40，浆体体积占混凝土总体积的30%左右，使用高效减水剂，以及硅灰掺量5%以上的高性能混凝土。和法国建筑行业规范建议的模型类似，该模型也将混凝土的总收缩分为基本收缩（the basics hrinkage）和干燥收缩（the drying shrinkage）两部分。
εcs（t，ts）＝εbs（t）＋εds（t，ts）
其中，基本收缩和混凝土的水灰比有关，而硅灰的掺加会增大混凝土的基本收缩，计算公式如下：
εbs（t）＝εbs0βbs（t）×10－6
βbs（t）＝t0．7/(γbs＋αbst0．7)
γbs＝16．7×（1－αbs）
αbs＝1．04－1/3×w/c
式中：w/c———混凝土的水灰比；
t———混凝土的龄期d。
混凝土最终的干燥收缩是水灰比和混凝土28天抗压强度的函数，周围环境相对湿度对于干缩的影响是基于50%的相对湿度计算的。相对湿度的高低会减少或增大混凝土的干燥收缩。εds的计算式如下：
εds（t，ts）＝εds0βRHβds（t，ts）×10－6
εds0＝（100×w/c）2f c28－0．23＋200
βRH＝1．22－1．75×（RH/100）3
βds（t，ts）＝（t－ts）0．6/[0．0016×（v/s）2γds＋（t－ts）0．6]
γds＝6．42＋1．5ln（ts）
式中：fc28———28d混凝土棱柱体抗压强度MPa；
RH———相对湿度%；
v/s———混凝土的比表面积mm；
ts———干缩开始的龄期d；
t———混凝土的龄期d。
2．6 王铁梦模型
王铁梦对有关国家近二十年间的1220次实验数据进行了整理，归纳出了定量的影响系数，总结出了混凝土收缩变形和徐变变形计算公式：
ε（t）＝3．24×10－4×（1－e－0．01t）·M1·M2···Mn
Mn 为各种非标准条件的修正系数，如水泥品种、标号、水灰比、养护条件和配筋率等，共十种情况。该公式建立在标准状态（275号普通水泥；标准磨细度；骨料为花岗岩；水灰比为0．4；水泥浆含量20%；混凝土振动捣实；自然硬化；试件截面20×20mm；测定收缩前湿养护7天徐变试验28天加荷；周围空气相对湿度50%；徐变试验应力为棱柱体强度的50%）下混凝土的最终收缩为一定值的基础上，实际混凝土会由于配制参数和原材料的不同而最终收缩值不同，此外，确定非标准条件下的各种修正系数也比较困难。
以上讨论的几类收缩预测模型是各国科研工作者经过大量实际工程验证过的有效预测模型。其中，ACI209模型，BazantB3模型，CEB－FIP模型主要是预测普通混凝土的基本收缩，而对高性能混凝土28天前的收缩预测值偏高，法国建筑行业规范建议的模型和Dilger模型主要预测高性能混凝土的收缩。
对于混凝土自收缩的研究，目前主要集中在自收缩的测量方法、影响因素和形成机制等方面，而对于混凝土自收缩的理论计算模型研究并不成熟，下面是国外的几位学者通过理论和实验研究提出的几个模型。
3．1 Hua－Acker－Ehrlacher宏观模型
Hua等人假设毛细管负压是引起自收缩的主要原因，引入毛细管压力和粘弹性力学理论，建立了水灰比为0．42的水泥浆1d后的自收缩模型。他们把毛细孔隙视作连通体系，通过压力测孔法，计算出毛细管水的负压，通过一维变形计算，得出在毛细管水的负压作用下引起的水泥石体系的弹性变形，加上以试验结果与理论计算相结合推出的徐变值，即为由自干燥引起的自收缩值。硬化水泥浆体骨架在宏观上受球形负压力，产生的线性收缩应变为：
εr（t）＝∫tt＇（1－2ν）J（t，t＇）dΣs（t＇）
J（t，t＇）＝1/E（t＇）＋ε0∞（t＇）（t－t＇）α（t＇）[（t－t＇）α（t＇）＋b（t＇）]
对于单位荷载，徐变部分计算如下：
εcreep（t，t＇）＝ε∞（t＇）[（t－t＇）α（t＇）]/[（t－t＇）α（t＇）＋b（t＇）]
式中：J（t，t＇）——— 一维徐变函数，由弹性变形和徐变变形两部分组成，可由试验确定；
v———泊松比；
Σs（t＇）———水泥石所受的宏观负压应力；
t，t0———当前时刻，开始时刻。
Hua为了求得由自干燥引起的毛细管负压，将产生自干燥的孔隙全部视作相互连通孔隙，并压入与其等量的汞量，因此所得的毛细孔负压偏大，另外，毛细管负压对水泥石的作用是三维的，而该模型只有一维的变形计算，因此该模型具有一定的局限性。
3．2 Hua－Acker－Ehrlacher微观模型
Hua等人在1997年提出了基于水化颗粒的微观水泥净浆自收缩模型：将水泥净浆分成未水化水泥、水化产物和毛细水三部分。并做如下假设：将未水化水泥视为各向同性的线弹性体，引入刚度张量Aijkl（Ea，Va）；将水化物视为各向同性的粘弹性体并抽象为一个标准线性固体，引入刚度张量H1ijkl（Eh1，Vh1），H2ijkl（Eh2，Vh2）和ηijkl（η，Vη），再引入两个辅助变量εiij（t）和εvij（t）。真实的应变和应力为：
εij（t）＝εeij（t）＋εiij（t）＋εvij（t）
σij（t）＝H1ijk［εkl（t）－εikl（t）－εvkl（t）］
式中：εij（t）———真实应变；
εeij（t）———按照线弹性假定的应变；
εiij（t）———附加应变；
εvij（t）———粘性应变。在这一模型中，Hua从水化颗粒的微观角度阐释了自收缩过程，引入了有限元分析的概念，经过试验验证效果较好。
3．3 Tazawa模型
混凝土内水泥继续水化是自收缩的根本原因。水泥矿物成份的水化速率、水化程度及水化结合水含量是影响自收缩大小的关键因素。水化速率最快的C3A 影响最大，其结合水含量也最高，其次，C4AF，C3S与C2S影响最小。Tazawa根据普通硅酸盐水泥中各矿物组成率进行试验回归，预测水泥浆体的自收缩，并引入Hobbs的干缩模型来确定骨料的影响，得到预测混凝土自收缩模型：
ε（t）＝ －0．012aC3S（t）PC3S－0．07aC2S（t）PC2S＋2．256aC3A（t）PC3A＋0．085aC4AF（t）PC4AF
ε（t）———在水化龄期为t时的自收缩值；
ai（t）———在水化龄期为t时各矿物成份的水化程度；
Pi———矿物成份i在水泥中的含量%。
该公式仅考虑硅酸盐水泥中主要的4种组分的影响，未考虑其余掺合料的影响情况，而且，将混凝土看做是由水泥浆体和集料两相材料组成的，对其自收缩简单地按Hobbs复合定则进行预测，而没有考虑自收缩与干缩在某一部分呈非线性分布的问题。
3．4 日本工业标准JIS建议的模型［20］
试验数据表明，水灰比对混凝土的自收缩影响很大，当水灰比在0．2～0．6范围内变化时，混凝土自收缩可以用下式计算：
ε（t）＝γεc0（w/b）βa（t）
εc0（w/b）＝
βa（t）＝1－exp（－a（t－t0）b）
式中：ε（t）———龄期t时刻的自收缩；
γ———与水泥型号有关的系数，对波特兰水泥，取1．0；
εc0———混凝土的最终自收缩值，10－6；
βa（t）———自收缩随龄期发展的系数；
w/b———水灰比；
t，t0———水化时间；初凝时间；
a，b———温度影响系数，通过试验获得。
通过用该公式对水灰比0．2～0．56、集料量0．55～0．65的多个混凝土试样的自收缩率进行计算，结果发现计算值与实测值的最大误差为40%。不难发现，该公式存在着一定的局限性：考虑自收缩的影响因素较少，只包括了水灰比w/c、胶凝材料的类型r、水化时间t、温度影响系数等因素，没有考虑钢筋等限制及其它条件的影响，修正系数r和a等的准确性也有待提高，因此该模型适用范围较小。
国际上许多国家对混凝土的收缩开裂问题做了大量的研究工作，总结出了较成熟的收缩模型，并编制了规范，但是在对混凝土收缩进行预测时，应将高性能混凝土和普通强度混凝土区别对待。高性能混凝土在最初的24h到3d内，水化反应十分迅速，早期的自收缩较大。而普通混凝土早期收缩就相对小得多。对于高性能混凝土，应分开考虑早期水化阶段收缩和强度发展阶段的干燥收缩。混凝土早期的自收缩预测模型研究尚不成熟，至今没有一个广泛适用的自收缩模型，这一方面需要进行更深入的研究和探讨。
