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中学数学教学的主要任务是培养和发展学生的创新性思维。思维的开阔性是创新性思维的一种形式，它是指善于全面地思考问题，从事物的各种联系中认识事物，在认识过程中，把握事物的全体，抓住事物的基本特征，同时重视细节，不忽视个别因素。在数学教学中要注意培养学生思维的开阔性。本文从思维习惯方面谈谈在教学中培训学生开阔性思维的方法，如何与集中性思维相辅相成。 一、注意培养学生的求异思想 求异思维具有新奇、独特、流畅、变通等特征，表现在对一个问题不满足于一条思路、一个模式、一种解法，从问题的多方面多角度去思考，尽可能采用较为新颖、合适的方法去解决问题。 在学习中，一般人总是按照习惯了的比较固定的思路去解题，而对有些具有某些特点的题，总是运用固定的模式去思考，就很容易看出学生思维的呆板和僵化，与此同时问题不容易得到合适的解决。因此，在教学中应注意指引、培训学生的求异思维的能力。 分析 此题虽然可以用平面几何知识来推证，但不如化归为解析几何问题而简单推证：
二、注意培养学生反向思维 所谓反向思维即研究过程中有意去做与惯性思维不一样的探索，从问题的另外一面出发，解析问题，推出解决问题所必要的条件。这也是思维开阔的一种，在教学中，引导学生进行反向思维，培养学生思维的灵活和独创性，在解决问题中，达到事半功倍的功效。 上面例题这种分析题目和方法是反向思维的一种，我们常用的反证法也是反向思维的一种典型。即是从事物的反面出发，假设结论不成立，根据定理、定义或已知，推出的结论与已知条件矛盾，或与已经学过、公认是正确的定理、定义相矛盾，从而说明假设不成立，从而证得所要求证的结论正确。这种方法对某些从字面上很难说清道理的问题是最好的解决问题的方法。 〔分析〕：此题若用求根公式来讨论，运算量大，而运用反向思维，采用反证法来解决问题，则是易如反掌。 〔证明〕：设原方程有两个整数根α和β，根据根与系数的关系得： 由αβ=1999可得:α、β都是奇数.由奇数的性质可得两个奇数之和为偶数,而由α+β=1997即两个奇数为奇数,这与性质矛盾,所以假设不成立,α、β不可能为整数,故 此方程无整数解。 加强反向思维的训练，可以提高学生的综合分析能力，提高学生运用知识的灵活性，同时，反向思维，毕竟比正向思维困难些，所以在教学中、在培养学生的正向思维的同时，也提倡反向思维的培养，让反向思维来弥补正向思维的不足。使学生在解决问题时，多一种思维方法，更好地选用合适的方法去解决。 三、注意培养学生灵活多变的思维 灵活多变性思维是思维的开阔性的一个方面。灵活多变性，一方面是指将一个问题转化为另一个问题来解决，即“变式”思想。形式变了，而根本关系没变。另一方面是指对一个问题从多方面考虑，从不同角度去思考，分析问题，最终达到解决问题的目的，即“一题多解”。 “变式” 思想即是思维的流畅性与变通性，将两个相同类型的问题，用某些合理的手段，将它们的非本质特性发生变化，而本质的、共有的属性得到增强。“变式”思想 在中学数学里有“换元法”、“方程（组）的同解变形” 、“待定系数法”、“图形的合同变换”、“坐标轴的平移”等等，将“变式” 思想渗透于教学中，一方面可增强对基本概念公式、定理、定义的理解和掌握，另一方面反过来可提高学生的解题能力，使学生的思维不停留在某一程序或某一模式上。 〔分析〕：一般的解分式方程正向思维是去分母，化成整式方程即可。而此题按这种思维去分母，所得整式方程是高次方程，解题自然复杂些。若抓住题目的特点，分母中都含有这个因式，利用换元法解题就简便得多。 一题多解，从不同角度、不同方面分析问题，求得解决问题的方法。一题多解不仅能培养学生思维的灵敏性，而且还能培养学生思维的个体特性，从而全面掌握知识。在教学中，教师要引导学生不囿于一种解题思路和方法，大胆联想，以问题的各种条件与结论为出发点，探求解决问题的其它的新的途经。 从不同方面分析分析问题，沟通数学知识的内在联系，巩固已学知识，同时开阔学生的思路，使得思维更开阔，更活跃。 在教学中，既主张培养思维的开阔性，又要注意思维的集中性。让开阔思维与集中性思维相辅相成，相互补充,取长补短，要发挥教师的导向作用，让学生认识各种方法的长短，掌握各种方法的特点及解决问题的方法，对具体问题既能灵活运用各种方法来解决，又能根据其特点选用新颖的、简单的方法来解决。 |
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教学中，象这样的题，要引导学生分析题的特殊性，敢于打破常规，敢于提出疑问，从异向思考的问题，求得简便的解题方法。
［例4］是使用换元法简便地得出方程的根，［例5］是用待定系数法然后依照一元二次方程的根的判别式得出最大值、最小值的。“变式”思维在某些问题中运用，问题确实易解决。这种思维在教学中我们要时时注意引导。形成一种思维方式。
