【专题研究】零点个数问题的数形结合思想

　　“零点个数”是我们在高中数学非常常见的一类的题目，通常的做法，是画出图像，找出交点个数。但实际上，我们会画的函数图像是非常有限的，我们能够直接画出图像的函数只有八类，分别是：一次、二次、反比例，指数、对数、幂函数，双勾函数和三角函数。而除了这八类函数以外，很多函数的图像，我们是没有办法直接画出来的。这个时候就要用到导数的知识了。我们以几个例题，来展示如何通过“数形结合”来解决“零点个数”的问题。

　　刚才的例题1，就是数形结合，画图像找交点的经典范例。整体看来是没办法画图像的，所以我们把它拆成两个可以画图像的函数，找出它们的交点个数，其实就是原函数的零点个数。那么，对于即使分离，也没有办法直接画图像的函数，要怎么解决呢？这个时候，我们就需要利用导数的知识，列表之后，就可以描点画图了。我们再来看例题2。

例题2其实和例题1并没有什么本质的区别，零点个数，就是画图像找交点。只不过，对于不是基本函数的式子，我们可以通过求导列表的方式，画出它的图像。我们只需要求出列表，求出区间端点和极值点，用平滑的曲线连接，就可以得到函数的图像了。得到函数图像之后，就是比较直接的观察零点个数了。还想要补充的是，并不是所有的零点个数的题目，都需要分离参数，将想求出的未知数，单独的放在等号的一侧。有时这样强行分离，理论上可行，但是右侧函数很难求导，或很难求解，尤其是要做除法的时候。具体是分离参数，还是整体求导，或是进行一些变形，需要结合题目的实际情况来操作。

　　再来讲一个广州曾经的模拟考真题，也是个经典的例题。

　　以三个例题，讲解了“零点个数”这个专题的内容。

　　零点个数，画图像，找交点。这个道理并不是很难理解，但是能够熟练运用，还需要同学们多多练习。一方面要非常熟悉前面提到的八类常见函数的图像和特征，另一方面对于分离参数或者式子的恒等变换，要具有一定的想象力。需要在平时的作业及练习题中，不断的积累。