平面向量习题
（4）如图，在ABC中，11,,42OCOAODOBAD??与BC相交于点M，设
,OAaOBb??，试用,ab表示向量OM．
（3）如图，已知G是ABO的重心．
（Ⅰ）求GAGBGO??；
（Ⅱ）若PO过ABO的重心G，且,,OAaOBbOQnb???，求证：113mn??．
（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)ABC，则AC与OB的交点P的坐标为．
（1）已知非零向量12,ee不共线．
（Ⅰ）如果121212,28,3()ABeeBCeeCDee??????，求证：,,ABD三点共线；
（Ⅱ）欲使12kee?和12eke?共线，试确定实数k的值．
（2）（2013山东济南）已知,,ABC是平面内不共线的三点，O是ABC的重心，动点P，
满足111(2)322OPOAOBOC???，则点P一定为的（）
.AAB边中线的中点.BAB边中线的三等分点（非重心）
.C重心.DAB边的中点
（5）若点O是ABC所在平面内一点，且满足|||2|OBOCOBOCOA????，则ABC
的形状为．
（6）（2014山东烟台）如图，O为线段02013AA外一点，若01232013,,,,,AAAAA中任意相
邻两点的距离相等，02013,OAaOAb??，用,ab表示0122013OAOAOAOA????，其
ABC
结果为（）
.1006()Aab?.1007()Bab?.2012()Cab?.2014()Dab?
（4）（2014北京东城）在直角梯形ABCD中，90,30,23ABAB?????，2BC?，
点E在线段CD上，若AEADAB???，则?的取值范围是（）
.[0,1]A.[0,3]B1.[0,]2C1.[,2]2D
（4）P是ABC内一点，1()3APABAC??，则ABC面积与ABP面积之比是（）
.2A.3B3.2C.6D
（5）（2013辽宁五校）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
216,||||BCABACABAC????，则||AM?（）
.2A.4B.6C.8D
（2）在ABC中，P是AB上一点，且21,33CPCACBQ??是BC的中点，AQ和CP的
交点为M，又CMtCP?，则t?．
（2）如图，在中，13ANNC?，P是BN上一点，若APmAB??211AC，则
m?．
（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)ABC????．设,,ABaBCbCAc???，且
3,2CMcCNb???．
（Ⅰ）求33abc??；
（Ⅱ）求满足ambnc??的实数,mn；
（Ⅲ）求,MN的坐标及向量MN的坐标．
ABC
（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OAOB??，若OC?OA?OB??，且
1????，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（）
（3）已知||||2,abab???，若向量c满足||2cab???，则||c的取值范围是．
8．如图，设,OxOy为平面内相交成60角的两条数轴，12,ee分别是x轴、y轴正方向同
方向的单位向量，若12OPxeye??，则把有序实数对(,)xy叫做向量OP在坐标系xOy中
的坐标．若OP的坐标为(1,1)．
（Ⅰ）求||OP；
（Ⅱ）过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点,AB，试确定,AB的位置，使AOB
面积最小，并求出最小值．
8．已知,,OAB是不共线的三点，且(,)OPmOAnOBmnR???．
（Ⅰ）若1mn??，求证：,,APB三点共线；
（Ⅱ）若,,APB三点共线，求证：1mn??．
11．在ABC中，,DE分别是,BCAC边上的中点，G为BE上一点，且2GBGE?，设
,ABaACb??，试用,ab表示,ADAG．
12．设两个非零向量1e和2e不共线．
（Ⅰ）如果121212,32,82ABeeBCeeCDee???????，求证：,,ACD三点共线；
（Ⅱ）如果121212,23,2ABeeBCeeCDeke??????，且,,ACD三点共线，求k的值．
3．如图，在四边形,,,ABCD中，1ABBCCD???，且90B??，BCD??135，
记向量,ABaACb??，则AD?（）
2.2(1)2Aab??2.2(1)2Bab???
2.2(1)2Cab???2.2(1)2Dab??
6．设向量，定义一种向量积1122(,)ababab??，已知向量
1(2,),(,0)23mb???，点(,)Pxy在sinyx?图像上运动．Q是函数()yfx?图像上的
点，且满足OQmOPn???（其中O为坐标原点），则函数的值域
是．
5．已知||1,||3,0OAOBOAOB???，点C在AOB?内，且30AOC??，
(,)OCmOAnOBmnR????，则mn?．
7．如图，在ABC中，M是BC中点，点N在边AC上，且2,ANNCAM?与BN相
交于点P，则:APPM?．
2．已知直线xya??与圆224xy??交于,AB两点，且||OAOB??||OAOB?，其中O
为坐标原点，则实数a的值为（）
.2A.2B?.2C或2?.6D或6?
1122(,),(,)axybxy??
()yfx?
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)AB?，若点C满足
(,)OCOAOBR???????且1????，则点C的轨迹方程为．
10．在ABC中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDBCDCACB????，则
??．
7．已知为平行四边形ABCD所在平面内一点，且向量,,,OAOBOCOD满足等式
OAOCOBOD???，则四边形ABCD的形状为．
8．在ABCD中，,,3,ABaADbANNCM???为BC中点，则MN?
（用,ab表示）．
6．已知点O为ABC外接圆的圆心，且0OAOBOC???，则ABC的内角A等于（）
.30A.60B.90C.120D
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且,ABaADb??，则BE?（）
1.2Aba?1.2Bba?1.2Cab?1.2Dab?
2．（2015宁夏质检）如图，设O为平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB．其中可作为该平面内其他向
量的基底的是（）
.A①②.B①③.C①④.D③④
3．已知向量3,1),(0,2)ab??=(．若实数k与向量c满足2abkc??，则c可以是（）
.(3,1)A?.(1,3)B??.(3,1)C??.(1,3)D?
5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OAeOBe??，若12,ee不共线，且点P在线段AB上，
||:||2APPB?，则OP?（）
O
1212.33Aee?
1221.33Bee?
1212.33Cee?
1221.33Dee?
6．已知中，点D在BC边上，且2,sCDDBCDrABAC???，则rs?的值是（）
2.3A4.3B.3C?.0D
7．若三点(1,5),(,2),(2,1)ABaC????共线，则实数a的取值范围是．
8．在ABC中，点P在BC上，且2BPPC?，点Q是AC中点，若(4,3)PA?，(1,5)PQ?，
则BC?．
10．ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若(,)pacb??，(,)qbaca???，
且pq∥，则角C?．
第4讲平面向量的综合应用
一．知识梳理
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积，解决平行、垂直、
长度、夹角等问题．
（1）证明线段平行或点共线问题，常用向量共线定理：ab?∥ab??(0)b?
12210xyxy???．
（2）证明垂直问题，常用数量积的运算性质：0abab????12120xxyy??．
（3）求夹角问题，利用夹角公式：1212
22221122cos||||
xxyyababxyxy??????．
2．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考的热点．解答此类问
题，除了熟练掌握向量数量积的坐标运算、模和夹角外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
ABC
3．向量在解析几何中的应用
平面向量作为一个运算工具，经常与解析几何等知识结合，此类问题的解题思路是转
化为代数运算．其转化思路主要有两种途径：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二
是利用数量积的公式与性质．
二．要点整合
1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，
在利用向量解决问题时，要注意数形结合思想的应用．
2．要注意变换思维模式，能从不同的角度看问题，善于应用向量的有关性质解题．
三．典例精析
1．向量在平面几何中的应用
用向量法解决平面几何问题的步骤
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，
将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
【例题1】
（1）在直角梯形,,45,22,ABCDABCDADABBABCDM?????∥为腰BC中点，
则MAMD?（）
.1A.2B.3C.4D
（2）平面上有四个互异点,,,ABCD，已知(2)()0DBDCDAABAC????，则ABC
的形状是（）
.A直角三角形.B等腰三角形.C等腰直角角形.D不确定
【变式1】
（1）（2014北京东城）已知ABC是等边三角形，且12ABADAC??，||3CD?，那
么四边形ABCD的面积为（）
3.2A33.2B.33C93.2D
（2）在ABC中，已知向量AB与AC满足()0
||||ABACBCABAC??
且
||||ABACABAC12?
，
则ABC为（）
.A等边三角形.B直角三角形
.C等腰非等边三角形.D三边均不相等的三角形
（3）已知向量(2,0)OB?，向量(2,2)OC?，向量(2cos,2sin)CA???，则向量OA
与向量OB夹角的取值范围是（）
.[0,]4A?5.[,]412B??5.[,]122C??5.[,]1212D??
2．平面向量在三角函数中的应用
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化
简已知条件，将其转化为三角函数中的相关问题解决．
【例题2】
（1）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，若42aBCbCA??30cAB?，
则cosB?（）
11.24A?11.24B29.36C29.36D?
（2）已知锐角三角形ABC中，两向量(22sin)pA??，(sincos,qAA??1sin)A?，
且p与q共线．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求函数232sincos()2CByB???时，B的大小．
【变式2】
（1）ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，设向量(mab??，sin)C，
(3,sinsin)nacBA???，若mn∥，则角B的大小为．
3．平面向量在解析几何中的应用
平面向量与解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的
求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题．解决此类问题应从向量
的坐标运算入手，这也是解析几何问题的基本方法——坐标法．
【例题3】
（1）已知圆22:4Oxy??，直线3100xy???上有一动点P，过点P作圆O的一条切
线，切点为A，则POPA的最小值为．
（2）已知平面上一定点(2,0)C和直线:8,lxP?为该平面上一动点，作PQl?，垂足为Q，
且11()()022PCPQPCPQ???．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若EF为圆22:(1)1Nxy???的任意一条直径，求PEPF的最值．
【变式3】
（1）过双曲线221(0,0)xyabab????的左焦点(,0)Fc?，作圆2224axy??的切线，切
点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若1()2OEOFOP??，则双曲线的离心率
为．
（2）（2013黑龙江哈尔滨）如图，已知直线l与抛物线24xy?相切于点(2,1)P，且与x轴
交于点,AO为原点，定点B的坐标为(2,0)．
（Ⅰ）若动点M满足2||0ABBMAM??，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）若过点B的直线''l（斜率不为零）与（Ⅰ）中轨迹C交于不同的两点,EF（E在,BF
之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围．
四．针对训练
组基础训练
1．已知P是ABC所在平面内一点，若CBPAPB???，其中R??，则点P一定在（）
.AABC的内部.BAC边所在直线上
.CAB边所在直线上.DBC边所在直线上
3．已知||2||,||0abb??且关于x的方程2||0xaxab???有两相等实根，则向量a与b
的夹角是（）
.6A??.3B??.3C?2.3D?
4．已知点(2,0),(3,0)AB?，动点(,)Pxy满足2PAPBx?，则点P的轨迹是（）
.A圆.B椭圆.C双曲线.D抛物线
5．（2013黑龙江哈尔滨）函数tan42yx????的部分图像如图所示，则()OAOBAB??
（）
.4A.6B.1C.2D
6．（2015辽宁五校）已知数列{}na是等差数列，其前n项和为nS，若平面上的三个不共线
的向量,,OAOBOC满足12014OBaOAaOC??，且,,AB三点共线，则2014S?（）
.1007A.1006B.2012C.2014D
.A
7．在ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，若1ABACBABC??，那么
c?．
8．（2014江苏南通）在ABC中，若1,3,||||ABACABACBC????，则
||BABCBC?
．
9．（2013东北三校）在ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，若(3)bc?
coscos,2ABCAaCS??，则BAAC?．
10．已知点(0,3)P?，点A在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M满足0PAAM?，
32AMMQ??，当点A在x轴上移动时，动点M的轨迹方程是．
11．已知ABC中，C?为直角，,CACBD?是CB的中点，E是AB上一点，且2AEEB?，
求证：ADCE?．
12．已知,,ABC三点的坐标分别是(3,0),.(0,3),.(cos,sin)ABC??，其中3(,)22????．
（Ⅰ）若||||ACBC?，求角?的值；
（Ⅱ）若1ACBC??，求tan()4???的值．
组能力提升
1．（2014江南十校）已知向量(1,1),(1,1),(2cos,2sin)abc??????，实数,mn满
足manbc??，则22(1)(1)mn???的最小值为（）
.21A?.1B.2C.322D?
2．（2014四川成都）如图，在直角梯形ABCD中，,1ABADADDC???，3AB?，
.B
点P是BC的中点，设(,)APADABR???????，则????（）
4.3A5.3B5.6C7.6D
5．已知在平面直角坐标系中，(0,0),(1,1),(0,1),(2,3)OMNQ，动点(,)Pxy满足不等式
01,01OPOMOPON????，则zOQP?的最大值为．
7．（2014苏锡常镇）已知向量,ab满足||2,||1ab??，且对任意的实数x，||||axbab???
恒成立，则a与b的夹角大小为．
8．如图，已知点(1,0)F，直线:1,lxP??为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂
足为点Q，且QPQFFPFQ?．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线交轨迹C于,AB两点，交直线l于点M．已知1MAAF??，
2MBBF??，求12???的值．
（4）已知点G是ABC的重心，120,2BACABCA???，则|ABAG?|AC?的最小
值为．
（1）（2015山西忻州）已知向量(2)0,||2,||2aabab????，则向量,ab的夹角为（）
.3A?2.3B?.6C?5.6D?
（2）（2015云南玉溪）在ABC中，设222ACABAMBC??，那么动点M的轨迹必通
过ABC的（）
.A垂心.B内心.C外心.D重心
（3）在ABC中，1,2
||||ACABBCBAABBA??
，则AB边的长度为．
（4）（2015北京海淀）已知ABC是正三角形，若aACAB???与向量AC的夹角大于90，
则实数?的取值范围．
（4）已知P是边长为2的正ABC边BC上的动点，则()APABAC?（）
.A最大值为8.B最小值为2.C是定值6.D与P的位置有关
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量(1,2)a??，又点(8,0)A，(,)Bnt，
(sin,)(0)2Ckt?????．
（Ⅰ）若ABa?，且||5||ABOA?，求向量OB；
（Ⅱ）若向量AC与向量a共线，当4k?，且sint?取最大值4时，求OAOC．
7．设集合{D?平面向量}，定义在D上的映射f满足：对任意的xD?，均有
()(fxxR????且0}??．若||||ab?且,ab不共线，则[()()]fafb?
()ab??；若(1,2),(3,6),(4,8)ABC，且()fBCAB?，则??．
5．如图，在平行四边形ABCD中，若3,2ACBD??，则()ABDC?
()ACBD??．
6．单位圆上三点,,ABC满足0OAOBOC???，则向量,OAOB的夹角为．
（3）（2015广州珠海）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，向量m?
(cos(),sin()),(cos,sin)ABABnBB????，且35mn??．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若42,5ab??，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．
（1）已知,xy满足2yxxy
xa
???
????
??
，若(,1),(2,)OAxOBy??，且OAOB的最大值是最小值
的8倍，则实数a的值是（）
.1A1.3B1.4C1.8D
（3）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，向量(,)mab?，(sin,sin)nBA?，
(2,2)pba???，且35mn??．
（Ⅰ）若mn∥，求证：ABC为等腰三角形；
（Ⅱ）若mn?，边长2c?，角3C??，求的面积．
1．已知,ABAC为非零向量，且满足(2),(2)ABACABACABAC????，则ABC的
形状是（）
.A等腰三角形.B直角三角形.C等边三角形.D等腰直角三角形
9．设(2,1),(,3)ab????，若a与b的夹角为钝角，则?的取值范围是．
7．（2014重庆）已知向量,ab的夹角为60，且(2,6),||10ab????，则ab?．
8．（2015云南昆明）在90,1ABCBABBC???，点M满足2MAM?，则
CMCA?．
（1）已知||4,||8ab??，,ab的夹角是120．
（Ⅰ）计算||ab?和|42|ab?；
（Ⅱ）当k为何值时，(2)()abkab???？
（2）已知(1,2),(2,)abn???，a与b夹角是45．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）c与b同向，且a与ca?垂直，求c．
1．（2014河南郑州）如图，点,,ABC是圆O上的点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，
若2,OCmOAmOBAPAB????，则??（）
ABC
5.6A4.5B3.4C2.3D
（1）①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b方向相
同或相反；③向量AB与向量CD共线，则,,,ABCD四点共线；④如果,abbc∥∥，那么
ac∥．以上命题中正确的个数为（）
.1A.2B.3C.0D
（1）设0a为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则0||aaa?；②若a与平行，则
0||aaa?；③若a与平行且||1a?，则0aa?．上述命题中，假命题的个数是（）
.0A.1B.2C.3D
（4）（2015福建福州）在ABC中，2,,,ADDCBAaBDbBCc????，则下列等式成
立的是（）
.2Acba??.2Bcab??31.22Ccab??31.22Dcba??
（4）在平行四边形中，对角线与交于点,OE是线段OD中点，AE延长
线与CD交于点F，若,ACaBDb??，则AF?（）
11.42Aab?21.33Bab?11.24Cab?12.33Dab?
（3）在中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDBCDCACB????，则??（）
2.3A1.3B1.3C?2.3D?
（4）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OAOBaOCb??????，0a?，0,bO?为坐
标原点，若,,ABC三点共线，则12ab?的最小值为（）
.2A.4B.6C.8D
（2）已知向量121223,23aeebee????，其中12,ee不共线，向量12ce?29e?．若向量
0a
0a
ABCDACBD
ABC
dab????与c共线，则实数,??的关系为．
12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC中，点C是以A为中点的点B的对称点，D将OB
分为2:1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设OAa?，OBb?．
（Ⅰ）用a和b表示向量,OCDC；
（Ⅱ）若OEOA??，求实数?的值．
已知(1,0),(2,1)ab??．
（Ⅰ）当k为何值时，kab?与2ab?共线；
（Ⅱ）若23,ABabBCamb????且,,ABC三点共线，求m的值．
11．已知ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,,abcB为锐角，向量
2(2sin,3),(cos2,2cos1)2BmBnB????，且mn∥．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）如果2b?，求ABCS的最大值．
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