数形结合思想方法的应用
蚌埠二中
王传江
2016年4月7日
课题：高三数学专题复习——数形结合思想方法的应用
设计背景：
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包括“以形助数”和“以数促形”两个方面.数形结合是数学解题中常用的思想方法，浏览近几年高考全国卷的数学试题，数形结合思想的考查以客观题为主.运用数形结合思想，能使某些抽象数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，激发解题灵感，大大优化解题过程.本节课主要选取了近五年高考全国卷中涉及数形结合思想应用的试题，以期展示数形结合思想的巧妙应用，发现并解决数形结合思想应用过程中需要注意的问题，提高高三学生数形结合转化的能力.
学情分析：
本节课的授课班级是我校的中字班，学生整体素质较高，对于数学基础知识和基本方法掌握比较扎实，也具备一定的数学运算能力，学生已经可以应用数形结合思想解决简单基本的问题.但面对较为复杂的问题时，怎样准确作出图形，以及如何将“数”转化为“形”，把数与形结合对应，这些能力还有待进一步加强提高.
教学目标：
1.体会由数到形，由形到数，数形转化的过程，培养数形结合的基本意识
2.感受数形结合思想在解题中的应用妙处，能运用数形结合思想解决问题
3.借助“数有形时直观化，形有数时精细化”，体会数形间的联系，激发学习兴趣，训练迁移转化的思维方法
教学重难点：
教学重点：运用数形结合的思想方法解决数学问题
教学难点：如何构“形”解决抽象的“数”的问题，如何借助“数”的计算将“形”精细化
教具准备：
多媒体课件、计算机作图软件、作业展示平台
教学过程：
一、知识要点概述：
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开。把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数促形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。
二、热身练习：
1.（2014年全国卷Ⅱ，理9）设，满足约束条件，则的最大值为
A．B．C．D．
2.（2013年安徽函数的图象如图所示在区间上可找到）个不同的数，，，，使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
2014年全国卷Ⅰ，理10）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=
A.B.3C.D.2
4.（2013年全国卷Ⅰ，理11）已知函数若，则的取值范围是
A．B．C．D．
．2011年全国卷Ⅰ，理10）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是
A．B．C．D．
6．（2011年全国卷Ⅰ，理12）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和为
A．2B．4C．6D．8
2014年全国卷Ⅰ，理11）已知函数=，若存在唯一的零点，
且＞0，则的取值范围为
A.B.C.D.
8.（2015年蚌埠市高三二质检，理10）已知函数，设，，且，若，，成等差数列，是的导函数，则
A.B.C.D.符号不确定
9.（2015年全国卷Ⅰ，理16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
10.（201年全国卷，理16），若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是_______
11.已知函数的两个零点为和，则
12.（2014年全国卷Ⅰ，理15）已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为
（该组练习通过作业平台提前布置给学生，教师根据学生上传反馈的结果，发现查找问题，在课堂上有针对性的解决问题）
三、预设例题：
例1：函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围是
变式练习1：
已知偶函数满足，当时，，则函数的图象与函数的图象的交点个数为
A.2B.4C.6D.8
例2：已知函数，若存在实数，满足且，是的导函数，则
A.B.
C.D.符号不确定
例3：已知函数，若关于的方程（，）有8个不同的实数根，则由点确定的平面区域的面积为
A．B．C．D．
借助“形”的直观性来解决“数”的数量关系，借助“数”的精确性来解决“形”的位置关系，数形结合将代数问题和几何问题统一联系。
五、课后练习：
1.（2015年安徽卷，理8）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
（2015年全国卷Ⅰ，理），其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是
A.B.C.D.
3.已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是
4.（2015年全国卷Ⅰ，理1），满足约束条件，则的最大值为
5.已知抛物线：，直线经过抛物线的焦点且与抛物线相交于，两点，作，垂足为点，则点的轨迹方程为
2016年安徽省
高三数学研讨会
研讨课教学设计
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